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Se sostituisco:
fem = 3RI - RI C = 3RI - R dQQ = -3R dQ + RIdt
nella prima equazione mi ricavo I:I = fem + R dQ= fem + 1 RdQ------3R 3Rdt
e la sostituisco nella seconda:
Q = -3 R dQ + R fem - R 1QdE 3R 3 QdE
dQ---
dt- -fem = 8 RdQ3dt
- moltiplico tutto per C:Q / Q = fem C
- 3R C = Q / C ---
3 3che
3dQ
paga 8RC = T3
=>=>
=> Q - C femQ - T = -T
DF= dtDF3R
>
risolvo per separazione delle variabili: dQ = - dtQ-Cfem T
integro tra "0" e "Q" e tra "0" e "t":
Q∫O
= ∫-dt
-> ln Q-Cfem = -tfl
C = -Cfem
->
passando all'esponenziale ottengo: Q =
Cfem(1-e-t/TR)C
la corrente i C = DQdt =
<Q
= Cfem e(t/TR)=
3T----t = -t/TR/>
3R
Ve
= >
=
fem1 - t/TR
3 = 1-e
-Teoremi di Thevenin
Lo stesso problema si pò risolvere utilizzando il teorema di Thevenin:
"Qualunque circuito lineare, indipendentemente dalla sua complessità, visto
da pundi A-B è equivalente ad un generatore reale di tensione costituito
da un generatore idela di tensione in serie ad un Resitore"
Esaminiamo lo stesso esempio con Thevenin:
Il circuito
diventa
La costante di tempo caratteristica vale: τ = ReqC
quindi calcolo Req: Req = 2R + 2R · R/2R + r = 2R2 + 2R/3R = 2R2 + 6R2/3R =
quindi τ = ReqC = 8R/3RC = 8R/3
ora calcolo la feq: feq = R - R = I con I = fem/3R => feq = rfem/3R = fem/3
Esempio 2: Rigidezza Dielettrica
Ho un dielettrico tra le armature di un condensatore per un tratto x.
Il Campo Elettrostatico del Conduttore tende a spingere l’interno il dielettrico polarizzato
La forza è pari a:
Fx = -∂U/∂x = qd(εr-1)/εob(λ + x(εr-1))2
e l’energia:
U = 1/2(q2/εob(λ + x(εr-1)))
quindi se l'acceletazione che agisce sulla carica è l'accelerazione centripeta siamo:
F→ = ma→ = m vt2/R = q₀·v₀B₀ sin(90°)
da questo posso ricavare le informazioni del moto:
- Raggio di Curvatura R = m vt2/q₀B₀, m vt/q₀B₀
- Velocità angolare ω = vt/R = q₀B₀/m
- Periodo del moto T = 2π/ω = 2πm/q₀B₀ (non dipende da vt)
Ora esaminiamo il caso più generico in cui v₀→ e B₀→ non sono perpendicolari:
si ha che
- v⊥ = v₀ sin(Θ)
- v∥ = v₀ cos(Θ)
- lungo la direzione di v⊥ la forza di Lorentz impone alla carica un moto circolare uniforme → R = m v₀sin(Θ)/q₀B₀, T = 2πm/q₀B₀
- lungo la direzione di v∥ invece la forza di Lorentz è nulla per cui la carica continua a muoversi di moto rettilineo
La composizione di questi 2 moti fa sì che la carica compia un Moto Elicoidale
passo dell'elica:
p = v∥ T = v₀ cos(Θ) 2πm/q₀B₀
Si nota una certa analogia con il Momento di un dipolo Elettrico
infatti:
DIPOLO ELETTRICO IN UN C. ELETTRICO
- F = (p • ∇) Eo
- Ml = p x Eo
- u = -p • Eo
SFRA IN UN CAMPO MAGNETICO
- F = (m • ∇) Bo
- Ml = m x Bo
- u = -m • Bo
Ora vogliamo studiare il Campo d'Induzione Magnetica prodotto da un circuito lungo ℓ'.
- considero un tratto infinitesimo dℓ'
- il contributo al campo Bo prodotto da ℓ' in p è:
dBo = μo / 4π I dℓ’ × Δζ
Quindi il campo Bo prodotto da tutto il circuito è:
Bo→ = (μo I / 4π) ∫ (dℓ' × Δζ) / |Δζ2|3/2
μo è una costante → permeabilità magnetica nel vuoto
μo = 4π • 10-7T • m / A
Se invece di un circuito filiforme ho un circuito di spessore non trascurabile:
- si parte sempre col contributo dato dal tubo di sezione infinitesima dτ':
dBo = (μo / 4π) ∬ n • dS' j dℓ'' × Δζ
integrando ottengo il campo prodotto da tutto il circuito:
Bo→ = μo / 4π ∬ (j→ × Δζ) dτ' / |Δζ2|3/2
nota: analogia con il campo elettrico generato solo dalle distribuzioni ρ:
E = 1 / 4πεo ∬ ρ Δζ dτ / |Δζ2|3/2
Ma come sono fatte le linee di forza nel campo prodotto da un solenoide?
Il campo all'interno = la somma di tutti questi contributi
Il campo all'esterno è molto inferiore (linee fitte) e tende ad avere una forma rettilinea.
(In un solenoide infinito B0 è l=0)
II legge di Maxwell
Finora abbiamo scritto le equazioni di Maxwell solo per il campo elettrostatico:
1a ∇ · E = ρe / ε0
3a ∇ × E = 0
Siccome E e B0 hanno diverse proprietà, è vale la pena chiedersi: ad esempio quanto vale la divergenza di B0? B0?
Non sappiamo che se abbiamo un circuito nello spazio:
per la I legge di Biot-Savart:
B0(P) = (μ0I)/4π ∮ (dl'×Δi)/|Δτ|3
faccio la divergenza:
porta ∇ dentro l'integrale perché non dipende da questo.
ora ricordo che in generale la divergenza di un prodotto vettoriale è:
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) - A · (∇ × B)
quindi ottengo:
∇ ·B0 = (μ0I) / 4π ∮ (dl'×(∇·Δi))/|Δτ|3)
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