Appunti di Fisica 1 chiari, completi e pronti per lo studio

N

X

I

F = F = 0

i,j

i,j=1

Perché ad ogni forza ne corrisponde una uguale e contraria.

E ad ogni istante e rispetto a qualunque polo il momento risultante delle forze interne è nulla.

N

X

I I

×

M OP F

= = 0

i

O i

i=1 E I

L’equazione del moto dell’i-esimo punto materiale si scrive come F = F + F = m a

i i i

i i

1° equazione cardinale: dQ

E (8)

F = dt

P P

Dimostrazione. F = m a usando la (7) ottengo

i i i dQ

dv d

E P P P P

F = F = m a = m m v =

=

i

i i i i i i

dt dt dt t E

R 2

−

Otteniamo cosı̀ anche il teorema dell’impulso per i sistemi materiali: Q(t ) Q(t ) = F dt

2 1 t

1

La quantità di moto e il momento angolare di un sistema isolato sono costanti del moto.

⃗

E

Osservazione: F = 0 =⇒ Q(t) è costante

2° equazione cardinale: dL

O

E ×

M = + v Q (9)

′

O

O dt

Per un polo mobile, dove v è la velocità del polo rispetto al sistema di riferimento usato.

′

O

Dimostrazione. Abbiamo già dimostrato la (5), che vale per un punto materiale.

⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗

d

L d

L E

P P PP

× × ×

Per un punto P generico di un sistema posso scrivere: = ⃗r F e per la (6) = ⃗r F + ⃗r F .

O

O i i i i i,j

i i

dt dt

Il secondo termine rappresenta il momento delle forze interne.

⃗ ⃗

−

Per il terzo principio della dinamica F = F e dato che le forze interne sono centrali, sono dirette lungo la

i,j j,i

−

congiungente dei punti: ⃗r ⃗r :

i j

⃗ ⃗

1 P

PP × − ×

⃗r F = (⃗r ⃗r ) F = 0 perché i due vettori sono perpendicolari, e rimane solo il contributo delle

i i,j i j i,j

2 12

forze esterne. Il fattore compare perché, quando si sommano le coppie di forze interne tra tutte le particelle, si

conta ogni interazione due volte, e quindi è necessario dividere per 2 per evitare il doppio conteggio.

Alla fine otteniamo:

⃗ ⃗ ⃗

d L E E

P ×

= ⃗r F = M

O i i O

dt E

Dalla (9) segue dL = M dt e integrando ottengo l’equazione del teorema della quantità di moto per i sistemi

O O

materiali: l’impulso della quantità di moto è t

Z 2 E

− M dt

L (t ) L (t ) =

O 2 O 1 O

t 1

17

Quindi se:

• ⃗ ⃗ ⃗

E

P →

F = 0 il sistema è isolato, la quantità di moto totale P = M⃗v e il momento angolare L rispetto

CM O

i

ad un polo O qualsiasi sono costanti del moto.

• ⃗ E

P →

= 0 non ci sono momenti esterni e il momento angolare totale rispetto ad un polo O si conserva.

M i

• ⃗

P →

I = 0 I momenti esterni non sono impulsivi

O

3.1 Moto del centro di massa

Def-centro di massa: è il punto geometrico che si comporta come se tutta la massa del sistema fosse concentrata

in esso e tutte le forze esterne fossero applicate a tale punto. Viene indicato con G o CM e la sua posizione è la

media ponderata delle posizioni dei vari punti con i relativi pesi. Può essere definito anche come il punto in cui se

calcoli la posizione del centro di massa, questa risulta essere 0.

N

P m ⃗r

i i

i=1

⃗r = (10)

g M

Dove m è la singola massa e M è la massa totale, ossia la somma di tutte le masse e ⃗r = (x , y , z )

i g g g g

Se derivo questa equazione ottengo: N ˙

P m ⃗

r

i i

i=1 (11)

⃗v =

g M

Dimostrazione. (11) ˙

P P

m ⃗

r m ⃗

r

d d i i i i

⃗v = ⃗

r = =

g g

dt dt M M d(mv )

E g

Notiamo inoltre che Q = mv e F = .

g dt

1° teorema del centro di massa: Il centro di massa di un sistema materiale si muove come un punto materiale

di massa uguale alla massa totale del sistema e soggetto ad una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti

sul sistema.

Il CM di un sistema materiale isolato si muove di moto rettilineo uniforme.

E

F = M a (12)

g

2° teorema del centro di massa:la quantità di moto totale di una sistema è uguale alla Q che avrebbe un punto

materiale di massa M e v . In assenza di forze esterne, la velocità del centro di massa è costante.

g E

F = 0 =⇒ v = costante

g

Per il CM valgono anche la prima(8) e la seconda(9) equazione cardinale.

Def-massa ridotta: è una quantità usata per semplificare lo studio di un sistema di due corpi interagenti, come nel

caso di orbite gravitazionali, problemi di collisioni o moto sotto forze centrali. Si indica con la lettera µ.

1 1 1

= +

µ m m

1 2

18

m m

1 2

µ = m + m

1 2

Il moto relativo tra i due corpi può essere descritto come il moto di una singola particella di massa µ soggetta alla

stessa forza d’interazione (es. gravitazionale, elettrostatica).

La scelta tra massa ridotta e massa totale dipende dal tipo di problema che stai risolvendo e dal sistema di riferimento

che stai utilizzando:

• La massa ridotta µ è utile quando studi il moto relativo tra due corpi interagenti (es. gravitazione, forza

elettrostatica, molle) o lavori nel sistema del centro di massa e vuoi descrivere la dinamica interna

Esempi : moto orbitale, problemi a due corpi con forze centrali (es. massa collegata a una molla), urto tra

due particelle (per analizzare l’energia cinetica nel sistema CM)

• La massa totale M è rilevante quando descrivi il moto del CM del sistema, analizzi il sistema come un unico

corpo soggetto a forze esterne

Esempi : moto traslazionale del sistema (es. un blocco che scivola con due masse attaccate), conservazione

della quantità di moto totale in urti o esplosioni, problemi in cui le forze esterne agiscono sul CM (es. caduta

libera di un sistema legato)

Esempio combinato: Urto elastico.

Uso M per trovare la velocità del CM prima/dopo l’urto e µ per calcolare l’energia cinetica relativa o gli angoli

di scattering nel sistema CM.

moto relativo di due punti materiali interagenti tra loro è equivalente al moto di un punto materiale di massa

Il

uguale alla massa ridotta e soggetto a una forza uguale a quella di interazione tra i due punti.

3° teorema del centro di massa: Le forze interne al sistema non influenzano il moto del centro di massa

poiché si annullano a coppie per il 3° principio di Newton.

4° teorema del centro di massa o Teorema di König per l’energia cinetica: L’energia cinetica totale di un

sistema è la somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica relativa rispetto al CM .

1 1

X ′2

2

K = M v + m v

tot i

CM i

2 2

i 1 2

P m v .

Dimostrazione. K di un sistema di N punti materiali è definita come la somma delle K di ogni punto: K = i i

2

Se consideriamo un SdR con l’origine coincidente col CM si ha v = v + u dove u è la velocità relativa tra i due

i g i i

punti.

Otteniamo: 1 1

1 2

2 2 2

P P

P · ·

+ u + 2v u ] = +

m [v M v m u + v m u

K = g i

i i g i i

g g

i i

2 2 2

P

Osserviamo che m u è la quantità di moto totale che è 0.

i i N

12 2 2

P

Otteniamo cosi K = +

mv m v

i

g i

i=1

Teorema delle forze vive per sistemi di N punti materiali: La variazione di energia cinetica totale di un sistema

materiale in un certo intervallo di tempo è uguale al lavoro compiuto in quell’intervallo di tempo da tutte le forze,

interne ed esterne, agenti sul sistema. E I

∆K = L + L

Dimostrazione. Partendo dalla definizione di lavoro e applicando la seconda legge di Newton a ciascuna particella:

⃗ ⃗ I E

PR

· → ·

dL = dK = F d⃗r ∆K = F d⃗r con F = F + F

i i i tot i i i i i

Osservazioni:

• Le forze interne possono modificare Ktot, a differenza della quantità di moto totale, che dipende solo dalle

forze esterne

• I

Se le forze interne sono non conservative L dissipa energia in calore

Teorema di conservazione dell’energia meccanica per sistemi di N punti materiali: se tutte le forze agenti su un

sistema materiale sono conservative E del sistema resta costante nel tempo e si ha:

E = E + E

tot CM rel

19

3.2 Gli urti

Teorema di conservazione della quantità di moto: se due corpi si colpiscono senza interagire con altri sistemi mate-

riali, la quantità di moto totale prima e dopo l’urto si conserva. La quantità di moto si conserva anche se durante

l’urto i corpi sono soggetti a forze esterne.

t +τ

R 1 −

teorema dell’impulso si ha F (t) dt = m v m v .

Per il 1 1 2 2

t

1

• Urto elastico

Alla fase di compressione ne segue una di espansione in cui i due corpi hanno la stessa forma, temperatura e

struttura della fase precedente.

In un urto elastico si conserva sia la quantità di moto che l’energia meccanica totali, cosı̀ abbiamo un sistema

di quattro equazioni e sei incognite da risolvere.

(

m v + m v = m v + m v

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

1 1 1

1 2 2 2 2

+ + U + U =

m v m v m v + m v + U + U

1i 2i

1 2 1 2 1f 2f

1i 2i 1f 2f

2 2 2 2

In presenza di movimenti di rotazione prima e dopo l’urto, si ha anche la conservazione del momento angolare.

Se l’urto elastico è centrale, la velocità relativa dei due corpi è diretta secondo la retta che unisce i centri

′

di massa. Calcoliamo ogni velocità tenendo conto delle velocità relative ai loro centri di massa (v ), cosı̀

otteniamo: ′ ′

( −m

(m )v +2m v

1 2 2

v = 1 2

1f m +m

1 2

′ ′

−m

(m )v +2m v

2 1 1

v = 2 1

2f m +m

1 2

Se le masse sono uguali i corpi si scambiano le velocità.

• Urto anelastico

Se i corpi dopo l’urto subiscono cambiamenti nella struttura, forma o temperatura a causa per esempio delle

forze di attrito. Se dopo l’urto i due corpi restano uniti si parla di urto perfettamente anelastico.

Negli urti anelastici si conserva solo la quantità di moto.

Se l’urto anelastico è centrale, v = v = v , dopo l’urto i due corpi si muovono alla stessa velocità:

1f 2f f ′ ′

m v + m v

1 2

1 2

v =

f m + m

1 2

Si osservi che la velocità finale ottenuta corrisponde alla velocità del centro di massa del sistema.

Per il teorema di Konig un urto anelastico dissipa tutta K .

rel

• Urti parzialmente anelastici

Esempi:

• Esplosioni

Un corpo di massa m inizialmente in quiete viene spezzato in due frammenti m e m .

1 2

La quantità di moto