Appunti di Fisica 1

Vettori

• Definiamo il momento

M_Oi = r_i x F_i

M_Oi Momento unitario rispetto al polo O_i

r_i distanza tra la forza F_i e il polo O_i

F_i forza (vettore)

• M_Oi = ∑_A=1^N r_i x F_i in generale

Casi particolari

1. Il vettore agisce tutto su P

M_Oi = ∑_A=1^M r_i x F_i = ∑_A=1^M r_i x R_i + r_i x R_i

∑_A=1^M r_i = R_i

2) m vettori complanari e paralleli

C: centro dei vettori paralleli

3) m vettori equipollenti e paralleli ma non complanari

IN GENERALE

• se hanno verso opposto
• (IN GENERALE)
• ma occorre un polo in riferimento piu’ comodo

a(t) = -k v(t) k positivo

a = dv/dt = -k v => dv = -k v dt

1/v dv = -k dt => ∫(v₀ to v) 1/v dv = ∫(0 to t) -k dt

ln(v(t)) - ln(v₀) = -k t

ln(v(t)/v₀) = -k t => v(t) = v₀ e^-kt

v₀(t) = v₀ e^-kt

V = dx/dt x(t) = ∫(v₀ e^-kt) dt

= [-v₀/k e^-kt] (from 0 to t) + c = -v₀/k e^-kt + c

= c - v₀/k (e^-kt - 1)

x(t) = x₀ - v₀/k (e^-kt - 1)

Dipende tutto da k

1/τ = k τ "tempo medio" E_X = 0,637 v

Moto Rett. Immorato Esponenzialmente

a(t) = -ω² x(t)

x = x_m cos Φ funzione sinusoide

x(t) = A cos (ωt + θ₀) o A cos (ωt + δ')

Armonico Forzato Modo Forzato

v(t) = dx/dt = Aω [-sin(ωt + θ₀)] = -ωA sin(ωt + θ₀)

a(t) = d²x/dt² = -ω²A cos (ωt + θ₀)

Ossia

d²x/dt² + ω²x = 0 => Eq. oscillatore armonico

Moto Armonico Semplice

Nel caso in cui l’ampiezza del moto sia corrispondente a un’ame

x(t) = x_m cos (ωt + θ₀) => a(t) = -ω²cos(ωt + θ₀)

d²x(t)/dt² + ω²cos(ωt + θ₀) = 0

note il principio della sovrapposizione

^f1_a ^f2_a

[terzo principio] Principio di azione-reazione

Interazioni tra corp. => sistema isolato (tra loro)

Vale sempre:

m₁a₁² = -m₂a₂²

^f21 = ma₁a¹F che il corpo 2 esercita su 1 muovendosi di a¹

^f12 = m_aa₂²F che il corpo 1 esercita su 2 muovendosi di a₂²

F₂₁ = -F₁₂

In un sistema isolato

• 1 forza esercitata e opp.
• 2 tutte della f. essere scoperte
• 3 ottena direziona

Fun. e Masse

T_m = M_gg

T_app = (m_b + (m_B)g

Fune genere sol. analitico

^mb_Tg² fm^bt

Sul blocco agisce T - F_obb eo energia dalle fune nel blocco

T_obo T

Sulla fune agisce F - F_f energia dal blocco - le f. en attorno la fune

F_f - m_bg4

In generale

F_gob = T_fop (tre punti)

F_gob = T = m_ba_o. T = m_ba_b

F_b = T_ob = m_ba_p. F - T = m_ba_p

Incognite T su a bos non f^2aqf² m_b m_p

Come nostro Un'impedire che la fune c'è meccanoche l'enti del - costi o - cosa a₁ o 2f e

Oe. os fune indeterminato

CONSERVAZIONE DELLE FORZE

Ψ(x, y, z, t) = f(xvv empou)

U(x, y, z, t) = V - ∆ep

E^o = ∇ψ = -∇U

F_x = -∂U(x, y, z, t) / ∂x

F_y = -∂U(x, y, z, t) / ∂y

F_z = -∂U(x, y, z, t) / ∂z

Se le forze in gioco sono conservative

L_A→B = -∆U = -∆E_P

L_A→B = ∫_A^B F^c · dℓ = ∫_A^B (F_zi + F_yj + F_zk) · (dxc + dyj + olz k) =

= ∫_A^B {'-((∂U / ∂x)i + (∂U / ∂y) j + (∂U / ∂z)·k)'}(dixc + dy j + olz k) =

= ∫_A^B {'∂U / ∂x dx + ∂U / ∂y dy + ∂U / ∂z dz'} =

= ∫_x0^xA ∂U / ∂x dx_x0 + ∫_y0^yA ∂U / ∂y dy_y0 + ∫_z0^zB ∂U / ∂z dz_z0 =

= ∫_x0^xA dU_x + ∫_y0^yA dU_y + ∫_z0^zA dU_z = -[U(B) - U(A)] =

L_A→B = -∆U

ENERGIA MECCANICA

L_A→B = E_C(B) - E_C(A)

Teso Forze vive

L_A→B = E_P(A) - E_P(B)

Se F conservatrice

E_C(B) - E_C(A) = E_P(A) - E_P(B)

E_C(B) + E_P(B) = E_P(A) + E_C(A)

E_C + E_P = COST

• Quindi (1) le forze in gioco sono conservative

• 3 mo grandezza noiotaz EM che in mutture cost nel tempo

Proprietà

• E_C = 1/2 mv² sempre > 0 E_P non sembrn > 0

• => E_M potziale enercie negativa

• E_C + E_P rimpie constaule in presenza di fiore conservatine

• E_C + E_P non é constaule se non a sono noco fisle concentrae dumniato in calore

Sistema di riferimento

Se ₀ e ₀^o

o il M quieta

mare di M tali impulsitenti o

_p = _c = _p

_p = 0

_{p p F}

Ma se ^J e ₀

O at universo e

_p + . _c = ^F_p + _F

_F

+ ^F ₌ +

M_p = M₀ + M_c M_c

^F_p -_F = ^F + _F

F e F sono definiteforze apparenti o ancheFORZE INERZIALI

Periodo ed angolare

III^o Principio Dinamica

F sempre a coppie di azione reazione

∑_A=1 F_A = 0 → ∑_A=1 R_A = 0

M_Op = ∑_A=1 V_A × F_A = 0

Il moto obliquo sempre determinato se momento rispetto ad un P_A o in O^op fisso con massa ne il polo fermo mobile

Op e un moto con V_P=V_AOP

d/dt (O_p)

d_t/dt = V_op x V_A

Dt_Op / dt = ∑_k=1 V_iop x M_i x r_op + V_iop x k R_oE^p

d/dt{O_p} = ∑_k=1 V_iop x H_iop = ∑_B=1 V_B x k r_opi

In conclusione

Se M > 3

• 6 gdl → Se il corpo rigido è libero di muoversi nello spazio, ovvero non è soggetto ad altre vincoli oltre a quello di rigidità.
• 3 gdl → Se il corpo rigido è vincolato ad un piano privo della zvaria.
• 1 gdl → Se il corpo è vincolato ad avere 2 pb fissi nello spazio.

CINEMATICA DEI CORPI RIGIDI

Per via del vincolo di "rigidità"

_{p'_R} e _{p'_C} non = 0

Quindi

• ^{p'_A =} p'_C + ^a'_π'_Px_RP

Se il moto è di puro traslazione

Se il moto forma di punto rotazione@_{p'_A ==p'_C + @ x^r_p_AxF^r_p}

Nel caso finiscPrediamo P#_P^p_R

^{p_A = _{p_I +}} @ x^r_p_A