Appunti di controlli automatici

RIASSUNTO

Studiare come un sistema risponde a un gradino (cioè un ingresso che "scatta" da 0 a un valore costante) è super

importante perché ti dice come il sistema si comporta nel tempo quando subisce una variazione improvvisa e può aiutarti

a identificare il sistema sperimentalmente, trovando la sua funzione di trasferimento H(s).

Ci concentriamo solo su sistemi LTI (lineari tempo-invarianti) SISO (ingresso singolo, uscita singola), BIBO-stabili e

strettamente propri (cioè il grado del numeratore è minore di quello del denominatore).

Un sistema è BIBO-stabile se: tutti i poli di H(s), dopo semplificazioni zero-polo, devono avere parte reale strettamente

negativa. Se anche solo un polo ha parte reale ≥ 0, la risposta può divergere → instabilità BIBO.

() =

Risposta di un sistema del primo ordine: , dove è la costante di tempo e K è il guadagno statico. La risposta

+1

al gradino unitario è un esponenziale crescente monotona, senza oscillazioni. La monotonia è crescente se K>0 e

decrescente se K<0.

Risposta di un sistema al secondo ordine:

➔ Un sistema con zeri reali causa una sovraelongazione se il valore più vicino all’origine è lo zero; se invece lo zero

è a sinistra dei poli nasce una sottoelongazione.

Più i poli sono vicini l’origine, più è lenta la risposta.

2

➔ () =

Poli complessi coniugati: , dove è la pulsazione naturale, è il fattore di smorzamento e

2

2

+2 +

K è il guadagno statico.

- Se ζ<1, i poli sono complessi coniugati e la risposta è oscillante.

- Se ζ=1, i poli sono reali doppi, e la risposta è criticamente smorzata, senza oscillazioni.

- Se ζ>1, poli reali distinti, risposta monotona lenta e smorzata

Più basso è lo smorzamento più il picco arriva prima, la sovraelongazione è maggiore e la convergenza è più lenta.

Introduzione

Lo studio della risposta al gradino di un sistema dinamico LTI esternamente stabile è importante per due motivi:

1. Permette di studiare il comportamento del sistema dato nella transizione tra una situazione di equilibrio ed

un’altra

2. In alcuni casi, consente di determinare, a partire dal suo rilievo sperimentale, la funzione di trasferimento del

sistema dinamico

Il comportamento della risposta al gradino di sistemi dinamici LTI esternamente stabili sarà studiato solo nel caso TC.

Si farà quindi riferimento alla descrizione di tali sistemi mediante la funzione di trasferimento H(s):

()

() = ()

() () () () ()

funzione razionale fratta in s, polinomio del numeratore, polinomio del denominatore, e

non hanno radici in comune.

In questo contesto, l’attenzione sarà concentrata sui

→ ()

- Sistemi del 1° ordine polinomio di 1° grado

→ (

- Sistemi del 2° ordine ) polinomio di 2° grado

i cui poli hanno parte reale strettamente negativa → ( )

Inoltre, studieremo solo il caso di sistemi del 1° e del 2° ordine elementari di grado zero (polinomio costante).

44 ()

Consideriamo un sistema dinamico SISO e LTI con una certa funzione di trasferimento e restringiamo l’attenzione a

()

() deg < ().

sistemi del I e II ordine. Inoltre, supponiamo strettamente propria: ℎ

Si considera come ingresso:

() =

̅ () → () = ̅

- () =

̅ () → () = ̅

-

Teorema del valore iniziale lim () = lim ()

+ →∞

→0 () deg () <

Se entrambi i limiti esistono e sono finiti; in particolare occorre che sia strettamente propria:

deg ()

Teorema del valore finale lim () = lim ()

→∞ →0 ()

Se entrambi i limiti esistono e sono finiti; in particolare occorre che NON abbia poli nel semipiano destro chiuso

→ () deve avere tutti i poli con parte reale negativa (niente poli nel semipiano destro o sull’asse immaginario).

Stabilità esterna (o BIBO-stabilità) ()

Un sistema dinamico SISO è BIBO-stabile se per ogni ingresso limitato

() < ̅ < ∞, ∀ < ∞

()

La corrispondente uscita è limitata () < ̅ < ∞, ∀ < ∞

Un sistema dinamico SISO LTI è BIBO-stabile se e solo se la sua funzione di trasferimento, una volta effettuate tutte le

∀

cancellazioni zero-polo, ha i rimanenti poli p con parte reale negativa

45

46

47

Risposta al gradino di sistemi del 1° ordine

La funzione di trasferimento di un sistema del primo ordine elementare può essere espressa come:

() ().

Chiamata forma polinomiale di = forma zeri-poli di Ponendo

()

Si ottiene la forma di Bode di (funzioni razionali fratte con termine noto 1)

Se al sistema descritto viene applicato un ingresso u(t) a gradino di ampiezza

Si ottiene la risposta: () () → ∞

- Valore a regime è il valore a cui tende la risposta per

∞

% + %

- Tempo di salita è il tempo richiesto perché la risposta passi, per

la prima volta dal 10% al 90% del valore di regime

± %

- Tempo di assestamento è il tempo necessario perché la

,%

risposta differisca definitivamente dal valore di regime per una quantità

∞

pari all’ε % di quest’ultimo.

Valori tipici di ε sono: ε = 1, ε = 2, ε = 5. In pratica, il tempo di assestamento

[(1 −

è il tempo necessario affinché la risposta entri nella fascia

]

0.01, 1 + 0.01 e non vi esca più

∞

Osservazione: dopo che è trascorso un tempo pari a tre volte la costante di

tempo τ, la risposta del sistema raggiunge il 95% del valore a regime y∞

=

,%

Dopo che è trascorso un tempo pari alla costante di tempo τ, la risposta del

sistema raggiunge il 63% circa del valore a regime ∞

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Determinazione di un modello del 1° ordine

Dato il seguente sistema dinamico del 1° ordine:

determinare i parametri K e τ in modo che la sua risposta ad un gradino di ampiezza unitaria (ū = 1) sia quella illustrata in

figura → →

calcolo di K calcolo di

MatLab

s = tf('s'); % Transfer function crea un oggetto che sa essere una funzione di trasferimento elementare

% Definisco 3 funzioni di trasferimento:

H1 = 1/(s+10);

H2 = 1/s;

H3 = 1/(s-10);

figure,

impulse(H1) % Plotta la risposta all'impulso della funzione di trasferimento

title('Impulse Response of H1')

figure

impulse(H2)

title('Impulse Response of H2')

figure

impulse(H3)

title('Impulse Response of H3')

figure

impulse(H1, H2, H3)

title('Impulse Response of H1, H2, and H3') 49

% Imposto le coordinate degli assi cartesiani

axis([0,1,0,2])

figure % Nuova finestra di plot

step(H1) % Step plotta la risposta di un sistema dinamico

title('Step Response of H1')

axis([0,1,0,2])

figure

step(H1, H2, H3)

title('Step Response of H1, H2, and H3')

axis([0,1,0,2])

ltiview % Apre un tool per la visualizzazione delle risposte

% [Cliccare su File > Importa > Scegliere le funzioni di trasferimento da importare]

% Su Edit e Plot Configuration puoi scegliere anche se plottare Bode o altro.

% Possiamo anche plottare costante di tempo, setting-time ecc. (Tasto destro e scegli da

'Plot Types');

% Tasto destro e 'Properties', sezione Options, possiamo impostare la percentuale di

limite del setting time)

% Se lo metto uguale a 0-63% troviamo la costante

Insert>Line

Farla partire da t=0 e poi trascinarla in modo che sia tangente al grafico, per calcolare

il piede della tangente. Si guarda in che punto intercetta l’asse orizzontale.

Si può fare sia con la risposta all’impulso sia con il gradino.

Risposta al gradino di sistemi del 2° ordine

Consideriamo sistemi elementari del 2° ordine descritti dalla funzione di trasferimento:

Smorzamento implica che i poli siano nel semipiano aperto sinistro

Applicando al sistema del 2° ordine un ingresso u(t) a gradino di ampiezza u:

Si ottiene la risposta:

Inviluppo esponenziale e termine trigonometrico oscillante, quindi è uno sviluppo esponenziale decrescente.

Ha una sovraelongazione e poi converge a valore finale in modo oscillante (non monotona)

50

→ ∞

- Valore a regime è il valore a cui tende la risposta y(t) per , si calcola sfruttando il teorema del valore

∞

finale

- Valore di picco è il valore istantaneo massimo della risposta y(t)

- Sovraelongazione massima è il rapporto tra il massimo scostamento in ampiezza della risposta rispetto al valore

di regime ed il valore di regime

La sovraelongazione massima può anche essere espressa in termini percentuali

(̂) =

- Tempo di picco è l’istante in cui la risposta raggiunge il valore di picco max

La sovraelongazione massima dipende solo dallo smorzamento

̂

Il tempo di picco dipende sia dallo smorzamento sia dalla pulsazione naturale

Più lontani sono i due poli dall’origine tanto prima il picco viene raggiunto

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→ =

Tempo di salita è il primo istante in cui la risposta raggiunge il valore di regime (solo per sistemi con risposta

∞

oscillante, cioè sistemi del II ordine con poli complessi coniugati)

% ÷ %

Tempo di salita è il tempo richiesto perché la risposta passi, per la prima volta dal 10% al 90% del valore

=

di regime ∞

Entrambi dipendono sia dallo smorzamento ζ sia dalla pulsazione naturale .

Tempo di assestamento a ± ε % è il tempo necessario perché la risposta differisca definitivamente dal valore di

,%

regime per una quantità pari all’ε % di quest’ultimo. Valori tipici di ε sono: ε = 1, ε = 2, ε = 5

∞

In pratica, il