Appunti di Calcolo numerico

=I

-a B-a

-c

analogamente ƒ (x) è una funzione continua su un intervallo chiuso [a,b] quindi esiste finito

1

n +

il numero M per cui limitatezze

l'uniforme

he

in rispetto

derivate

delle derivazione

di

lazdice

*

consideriamo l'ipotesi che il numero M non dipenda dall'ordine n della derivata, ovvero che esiste

un unico maggiorante che limita le derivate di ƒ di ogni rodine; si esclude il caso che il

maggiorante della derivata prima sia minore di quello della derivata seconda, ecc. Si deve avere

che per ogni valore di n intero non negativo

dalla (19) si deduce ovvero il polinomio di interpolazione converge uniformemente alla funzione ƒ

WM

L

I =1f(x)-Pm()/

0

-> qualunque sia la distribuzione dei punti di interpolazione x , i=0,…,n

i

!

1)

(n M

+ di

esempio in cui M dipende da n Rouge

funzione

-

↳

be funzione definitatze [-1 FAI=

1]

ricoundere -ex

si

.

consideranc punti dave equidistanti

I

intera peritive

(i/n) distante

puntixi

i In

=- 1+2

X

in in

: 0 me newe

= can

, .... .

,

fépari f(

f(x) x)

: = -

se si calcola il polinomio di interpolazione p (x) di grado n passante per i punti (x ,ƒ(x )),

n i i

i=0,…,n, si osserva che, al crescere di n, quindi all'aumentare del grado del polinomio

ovvero all'infittirsi dei punti xi, l'errore di interpolazione cresce in valore assoluto.

Questo è dovuto al fatto che il termine M che limita in modulo la derivata (n+1)-esima

della funzione aumenta man mano che n cresce, cioè M dipende da n. funzione

in conse

Pr 10 mero

comm Pn COMM 20

= =

ci chiediamo se esiste una distribuzione di punti che renda l'errore di interpolazione in modulo

in (19) più piccolo possibile.

le(x) Iw(l

si cerca una distribuzione di punti di interpolazione x , i=0,…,n, che minimizzi

i

questo è possibile se prendo i punti x sono gli zeri di un particolare polinomio, detto polinomio

i

di Chebyshev. Con questa distribuzione di punti si ha la convergenza uniforme del polinomio

di interpolazione alla funzione al crescere di n.

10

S 20

M

M =

m = =

policana Chebycher

di

interpolazione il

di secondo

muti mei

con quell'inclinas

vete abbie

che

si

ivuole grande

h prenti

qui

pen

pause

- S

40

Interpolazione con dati sulle derivate: formula di Hermite ·

. 41 e

I

To )

p'(x z

=

1

siano dati n+1 punti (di osservazione) x , x , …, x (punti di interpolazione) con x <x <…<x ,

,

0 1 n 0 1 n

in corrispondenza dei quali sono dati due insiemi di valori y , y , …, y e z , z , …, z . Si vuole

0 1 n 0 1 n

determinare un polinomio di grado al più 2n+1 tale che 4

You "derinate di ess"

2

si vuole calcolare un polinomio di grado 2n+1 tale che passi per i punti (x ,y ) e che nei punti x

i i i

abbia la retta tangente con inclinazione pari a z si hanno quindi 2n+2 condizioni e possiamo

i;

determinare un polinomio di grado 2n+1 descritto da 2n+2 coefficienti α , α , …, α .

0 1 2n+1

Scriviamo il polinomio p (x) come combinazione lineare dei monomi 1, x, …, x nei

1

24 +

2n+1

coefficienti visti prima, ovvero

la derivata di p (x) ha espressione

2n+1

e i

condfici E

⑮ B

S

condizio di

pi(Xi) zi

= incognite

im

2m+2 eq antr

.

cerchiamo delle funzioni "elementari" l. indip. per p (x) in modo tale che il sistema determinato

2n+1

dalle 2n+2 condizioni ammetta un'unica soluzione e sia di facile risoluzione.

Scriviamo il polinomio p (x) come combinazione lineare dei polinomi h (x), h (x), …, h (x) e

2n+1 0 1 n

-

h (x), h (x), …, h (x)

-

- 0 1 n

-

dove h (x) e h (x) sono i polinomi di Hermite e si definiscono a partire dai polinomi l (x) di

j j j

Lagrange, per j=0,…,n, -

grada z n +1

Se

l,(x)

noiché = 0

K M

J = ....,

,

scrivendo il polinomio p (x) come combinazione lineare dei polinomi di Hermite, si può scrivere:

2n+1

il polinomio di interpolazione con la formula di Hermite si scrive zmkn(x)

zoo(x) z(x)

=Yoko + yhn() Yuhu(x)

+ + + +

+ +

... ...

esempio d'avere

supponiamo X2 tangenti

X X3

Xo ,

,

. mute y-concavità

-

~

-

p(xd) Yo ⑧

=

p(x ) Ze

=

, do I

p'(X2) zz

= . s

z

grado

pi(3) We

= /manudor

I 3 genere

↓

P3(Xd) x8

2x

co C1Xo 2 40

+

+

= = Fastellet

+ , (e) risibile

facilmente

p(X) ?

21 2x2x 323x

= + Ze

+ = ·

pi3(X) 3x3x2

2x2x2 zz

2

= + +

1 =

p"3(xz) 2xn 623xz W3

= + = CAPITOLO 20

APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI

Polinomio di miglior approssimazione, metodo dei minimi quadrati

siano assegnati m+1 punti di osservazione distinti x , x , …, x assegnati all'intervallo [a,b]

0 1 m

dell'asse reale con x <x <…<x e in corrispondenza di essi, siano assegnate m+1 osservazioni

0 1 m

y , y , …, y

0 1 m 20

es m = 20

m = bello mm)

più

In 1

= - ,

per m grande il polinomio tende

a oscillare molto, fa schifo

il polinomio di interpolazione non descrive bene il fenomeno fisico

A

allora, assegnati m+1 punti di osservazione distinti, x , i=0,…,m, e m+1 relative osservazioni

i

y ,i=0,…,m, non adoperiamo necessariamente le condizioni di passaggio per i punti (x ,y ), ma

i i i

cerchiamo un polinomio di grado n, p (x), con n<m (meglio se n<<m), tale che nei punti x ,

n i

approssimi le osservazioni y :

i interpole prato (Xxial

il

-maleEr= pul

s

denotati con gli m+1 scarti, in generale, abbiamo

che ε ≠0 per i=0,…,m. Se per qualche punto (x ,y ). Poiché n<m, in generale il polinomio p (x)

i k k n

non interpola tutti gli m+1 punti (x ,y ).

i i funzioni I

elementari

sia lin

polinomio

il di i=a

camb i Di(x) m

. .....

,

.

.

si vogliono determinare i coefficienti α , α , …, α in modo tale che p (x) approssimi in x le

0 1 n n i

osservazioni y .

i

Un criterio per calcolare i coefficienti α , α , …, α è qeullo di rendere minima la somma S degli

0 1 n

scarti al quadrato criterio

altro (Eil-simmimizze

min il rispetto

max .....

max Co

um : <M

02

(20 ~)

.....

lo scarto ε ha espressione

i

tale polinomio p (x) si chiama polinomio di miglior approssimazione.

n

il calcolo dei suoi coefficienti si effettua mediante la minimizzazione della somma degli scarti al

quadrato

principio dei minimi quadrati o metodo dei minimi quadrati

i c m

= ..... E B

(x) ( 1)

x +

- ti l.ipeniza

E hezango manime niccome .....

m

=

dove I I

↳Er Er [e In

E : ....

richiedere che la somma degli scarti al quadrato sia minima è come cullel

richiedere che la norma Euclidea al quadrato del vettore ε sia minima:

per calcolare il calcolo dei coeff con il principio dei minimi quadrati

implica la risoluzione del seguente problema dei minimi quadrati

⑰ il vettore α che lo risolve è la soluzione dei minimi quadrati

il problema ai minimi quadrati può essere risolto mediante la fattorizzazione QR per sistemi

*

sovradeterminati oppure, mediante la risoluzione del sistema lineare equivalenti

-

·

#

dove la matrice E E è simmetrica e def. pos. in quanto E ha rango massimo.

e q=E

EE dielementi

Ha

poniamoH= l

can

q

= n

? o

5 = ....,

,

elementi

di

e

g

risolvibile con l'algoritmo di Cholesky I

H a

-

scegliendo elementari

funzion he

1 si

came

cason = s ex :

,

Polinomi ortogonali "nel discreto"

un altro metodo di risolvere con l'algoritmo di Cholensky è quello di scegliere un opportuno

insieme di funzioni elementari φ (x), i=0,…,n che, con i valori assegnati x , x , …, x , permetta

i 0 1 m

di ottenere una matrice H semplice.

Si scelgono le funzioni l. indip. φ (x), i=0,…,n, in modo che, con i valori assegnati x ,

i i

i=0,…,m, si abbia h =0 per j≠l, ovvero

jl

la soluzione vale

Heq

per il pelinomio di miglior approssimazione boh

è

->

questa scelta è possibile se le funzioni φ (x), i=0,…,n sono i polinomi ortogonali nel discreto

i

rispetto i punti assegnati x , i=0,…,m, ovvero se vale

i

i polinomi ortogonali nel discreto soddisfano la seguente relazione definiti da

dove ge

n-1

0 neuo

per =

j ..... :

,

con esempio del calcolo del polinomio di migliore approssimazione utilizzando i polinomi

ortogonali nel discreto mi calcol la

(2 (2

( - parabole

1) uniglion

0)

dati i punti Po ( P

3 h) Pz di

Pr a) appassimazione

2 = =

= = -

, ,

,

,

, , ,

fazurlaziconive punti

polimoniostogenei nel discreto

be

utilizzando aspetto Sche

cantuiscano 5 =1x3=

: =-2

xo 2

ni ai x x2 =

= -

,

, .

,

la simmetrie dei prutix rispetto 0 fr

xf0 0

:

~ = =

a -

22 x

P2(x)

⑭

As x0-1

21x

· +

= +

CAPITOLO 21

CALCOLO APPROSSIMATIVO

DI DERIVATE E INTEGRALI

Differenze finite per la derivata prima e seconda

differenza finita in avanti b)

b])

[ =2 xothe[a

If cowhco

f(x) (Ta

f(x) xoth)

FxE(xo

ciane e xo

econ

e ,

, ,

.

,

la formula di Taylor per la funzione ƒ(x), considerando i punti x e x +h, si scrive

0 0

Xath)

St(Xo

con , h(prima

dell'ordine

termini d ordivel

*I differenta

le finita

dice

eseudo de

si

di in

approssimazione o

errore

- ,

,

differente da ordine

avauti primo

è

finta avanti

in

differenza finita all'indietro

el

If FxE(xo-h xoxothe[a

canho

xo) b)

(x)

supponiance con

e e

i ,

la formula di Taylor per ƒ(x), considerando i punti x e x –h, si scrive come:

0 0 0(h)

di approssimazione

erroze i

Seko-hixale

com I

differenza finite all