Appunti di Calcolo delle probabilità

Calcoli Combinatori

Disposizioni di k oggetti di un insieme determinato A.

Esempio: formare ⁵C³ lettere tra (A, B, C, D, E) senza ripetizione. 2. lettere da 0 a 9 (con possibilità di ripetere). Quando sono le permutazioni senza ripetizione. Quindi, formati con [4, 3, 10, 10, 10] sono 6000

• Principio fondamentale: in un esperimento si compie una selezioneⁿ (senza ripetizione) ed ogni scelta del prodotto:

• 2) Disposizione: dati m oggetti distinti se ne scelgono n, l'ordine di scelta è rilevante e l'oggetto può al più essere ripetuto.
• A) Disposizione senza ripetizione
• B) Disposizione con ripetizione

Esempio: la fabbrica con 20 operai sceglie un operaio fra ogni giorno (fra lunedì e venerdì) per fare il suo lavoro senza ripetizione e l'operaio serve ogni giorno. Non ci sono combinazioni se lunedì non ci sono operai.

• Primo esempio 20, 19, 16, 12, 16 (45, 45)
• Secondo esempio 20, 17, 15, 13, 45 (15, 15)

3) Permutazioni: disposizione senza ripetizione in cui formano 3=n quindi ⁿC=5(_n(n-1)(m-1)...). 4 = n!

Selezionati essenzialmente diversi in ogni caso è la conferma di a b c d e

Esempio: 5 4 2 l'oggetto + dimmi lo stesso sottoservire diverso infine differenti

5 oggetti distinti, avere la permutatione.

Alcunisci ricundie di persona e ande in reaserche in cambio d'ordine su felt.

oggetti 56 vala per questo esercizi sono S! e poi tiplicia quello da:

supletto qui ma clocolo con aabbc!

(5 2) (3) ⟹ a² b¹ [b!×a!b!]

tale quarsi non gli augurini di statistica, anche prov'r senior?

STATISTICA calfundas 2S, 2A, 2T, 1M, 1C

so (total permutationi)

so: 40!

20 specie scegli 5 di loro per la nuta Cambia e marchi (senza ripetizioni)

A veri non ve interomz l'ordine. Quanto potestatti?

(Top linear, 15% × 0 = nul)

Co muncianda e umetti, sojetti relevant ti n en, un wirem non

approval (and respectem Euleti.)

Osurran: (x+y)ⁿ = Σ (k) xⁿ y^k

Exemple: (2x+3)³ - 2x+0 = (k) (2x)^k (3)^3-k

(2x) (3)^k 1 . x + 2 + 6

18x + 1×x + (2x)⁵ + (k) x¹ 3 + (3) x + (4)

Exemple: 20 esperi, 7 demu e 13 secuni.

5 specia da luni e suerdia recita consiguiti en giurno speccito en le

in tatela suerimi e 2 demva. Euale e omnia non exludendo dell'ordine?

numero sculti mute: Carlo si urenda. A la resta 12, ma a la cond.)

Assorbimento

A : (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̅)

Dimostrazione

N.B. A ∩ B ⊆ A ∪ B sse incapsulato

Tableau di verità:

• A
• B
• A ∩ B
• A ∩ B̅
• (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̅)

• V V V F V (Ultima colonna)
• V F F V V (Ultima colonna)
• F V V F F (Ultima colonna)
• F F F F F (Ultima colonna)

Altro artificio: Legge di De Morgan: A ∪ B = A ∩ B̅ e A ∩ B̅ = A ∪ B

Dimostrazione: corsi e disc. Most come sopra

Dim De Morgan:

A ∩ B̅ = A̅ ∪ B̅

• A
• B
• A̅
• B̅
• A ∪ B̅
• (A ∩ B̅)

• V V F F V F
• V F F V F V
• F V V F V F
• F F V V F V

Le ultime due colonne sono uguali, quindi è dimostrato.

Assegnare una misura di probabilità

S: esito compiuto = {'E', 'E_i'}

Due forme di ragionamenti del tizio:

1. assegnare probabilità a ogni singolo faccia avvenuti. P({'E_i'}) t.c. se P({'E1'};{'E2'};{'En'}) = 1.
2. assegnare probabilità a ogni evento A P(A) = se i:acc P({'E_i'})

Esempio: preso un dado truccato, la faccia 6 ha una probabilità tripla rispetto a ognuna delle altre.

• S = {'E{1}'; 'E{2}'; 'E{3}'; 'E{4}'; 'E{5}'; 'E{6}'}
• P({'E{1}'} = P({'E{2}'}) = ... = P({'E{5}'}) = ¹/₉
• P({'E{6}'}) = ³/₉

altra incidente: A = "il punteggio è almeno 4"

• P(A) = P({'E{4}'}) + P({'E{5}'}) + P({'E{6}'}) = ¹/₉ + ¹/₉ + ³/₉ = ⁵/₉

Modello uniforme

• P({'E{1}'; 'E{2}'}) = ¹/_n con i = 1; 1; 2; ...; n

E.g. lanciare due dadi regolari e A: "somma pari o a 4"

• S = {'E{1}'; ...; 'E{2}'; ... i = 1, 2, ...; 3 ...}
• P({'E{1}'}) = ¹/_{36} (cioè pari del singolo elemento)
• A ={1; 3}; {'E{3}'; {'E{4}'; {'E{2}'; ...}
• P(A) = ⁹/₃₆ = ¹/₄ = ¹/₁₂

n° ... pari ai 4

n° ** favorevoli = i pari ...

per e limitate : 3; 2; ...

Correzione esercitazione

Es 7

1. 120 perché ogni studente è un oggetto diverso

b)

di 3!

• MMM FFF

• FFF MMM

d)

è 46.

le permutazioni 3:3

3:3

3:3 = 72

Es 15

• tra gli uomini: 5 tra 12
• tra le donne: 5 tra 10

b)

120 · 792 · 252 = 23,950,080

Es 19

non ci possono essere subscerchiamo e lo...

• si vogliono e F non contemporaneamente

• donna rimane fuori e 3 tra

1. 1 caso F viene con
2. 1 caso Gino e non Gino fuori
3. non c'è una

(1)(1)3

quindi in definitiva viene una

con lo stesso ragionamento 1120

segue di verificare al caso, di, di, con, di, con.

P(A) =

P(B) =

P(C) =

P(A∩B) =

P(A∩C) =

P(∩∩C) =

P(A∩B∩C,) =

⇒ gli eventi sono e due a due indipendenti, ma non sono mutualmente indipendenti.

Def: n eventi A, A, ..., A. si dicono (mutuamente) indipendenti se ogni loro sottoinsieme finito è costituito da eventi indipendenti.

Esempio: A, A2, A3, A4, A5 sono mutuamente indipendenti

P(9) =, con 2,4,5

Qual è la prob. di almeno uno dei primi 3 verifichi?

P(almeno) = 1 - P(numero le 3) = 1 - P(A ∩A ∩A) = 1 - P(A)(P(A)P(A) = 1 - (1 )

( 1 - ) (1 - ) 1 -

= 0,3529

Qual è la prob che almeno tre gli ultimi due n verifichi?

P(almeno) = 1 - P(numero. le due) = 1 - P(A, ∩A) = 1 - P(A)P(A) = 1 - ( - ) (1 - ) 1 -

= 0,5111

Qual è la prob di n verificare attuali la precedenti richieste?

0,3529, 0,5111 = 0,1204

- Solitro b.3.5 e conclusione capitolo 3

Esercitazione 2

Bag 56 es 10

A: avere in curriculum C: avere una lingua

P(A̅) = 0.2

P(C̅) = 0.3

P(A ∪ C) = Dr Morgan A̅ ∩ C̅ = A̅ ∪ C̅ =>

= P(A ∪ C) = 1 - P(A̅ ∩ C̅) = 0.6

P(A ∪ C) = P(A) = P(C) P(A ∩ C) P(A̅ ∩ C̅)

P(A ∩ C̅) = P(A) + P(C̅) - P(A ∪ C) = 0.2 + 0.3 - 0.6 = 0.1

BAG 56 es 12

P(E) = 0.28

P(F) = 0.26

P(T̅) = 0.46

P(E ∩ F̅) = 0.42

P(E ∩ T) = 0.04

P(F ∩ T) = ?

P(E̅ ∪ F ∪ T̅) = 1 - P(F̅) * P(E) - P(T̅) - P(E ∩ T) - P(E ∩ F) - P(F ∩ T) - P(T AT) - P(E ∩ F)

= 1 - (0.28, 0.26, 0.46, 0.04, 0.06, 0.02 ) = 0.5

b) frequenza su 1000 corsi

Cumula:

• vue = 10 + 40 + 9 = 0.32

c) almeno a oggi c'è estrema frequenza almeno 1 corso ¯

• 1 - (numero di due * i) 50-69 * 3/325

offerta sviluppata con primere

Alture tt residenza

Es da esame mistione 2012

a) 1 opzione tra 1 ? = 4 / 7

opus = casi possibili = (2, 2, 2, 1)

caso favorevole: restano più rimanere gli altri = (2, 2, 1, 2)

= hasi 4/7

b) i fatti restano nove più per rimanere gli altri in ogni verifica delli ex cioè 3 (2, 2, 1)

= 3 / (3, 1, 2, 1) + 3 / 24 = 4 / 7