Calcolo delle probabilità: Appunti

Notate che quasi tutti i giochi di azzardo si basano su questo tipo di percezione. Moltissima gente ha

letteralmente rovinato la propria esistenza solo perché aveva “percezioni” sbagliate del tipo: “Quel

cavallo vince di sicuro! Me lo sento….”.

Di questo tipo di probabilità la matematica non se ne occupa proprio (lasciamola ai Book-Makers e

ai poveri giocatori d’azzardo).

Probabilità matematica (concetto classico di probabilità)

Se lancio un dado che probabilità ci sono che esca il numero 6 ?

Questo è un evento casuale che non dipende dalla statistica (ogni lancio è diverso dagli altri e non ci

sono modi specifici di lanciare per avere il 6) e inoltre non è soggettivo (io posso anche fare il “tifo”

per il 6 ma il dado se ne frega…).

La probabilità di questo evento si può misurare in modo oggettivo. È la probabilità matematica nel

senso classico. Di questa ci occuperemo.

Il calcolo della probabilità matematica

Il calcolo delle probabilità è quella parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di

regole e leggi precise, quanto un evento casuale sia probabile.

Questa procedura quindi riesce a “misurare” la probabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti

casuali solo perché il loro verificarsi dipende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi.

Poter misurare la probabilità di un evento permette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di

eventi, qual è il più probabile.

Dal punto di vista storico il primo matematico che si occupò di questo aspetto fu Blaise Pascal

(1623-1662). Pascal enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono ripresi e ampliati più tardi

da altri matematici come Jakob Bernoulli che scoprì la Legge dei grandi numeri.

pag 2 di 7 Prof. Roberto Bossi - 2004

Calcolo delle probabilità - Appunti

1. Calcolo della probabilità di un evento semplice

Prima di tutto un po’ di simboli.

p E p(E)

Indicheremo con una la probabilità e con una un evento generico. La scrittura indica la

E.

probabilità di un evento generico

Partiamo subito con un semplice caso di probabilità matematica.

Allora, lanciando il dado, qual è la probabilità che esca il 6 ? p(E )

Il dado è un cubo e ha sei facce. Su una sola c’è il 6. Per calcolare la applicheremo la

6

formula: ( ) numero dei casi favorevoli all ' evento

=

p E numero dei casi possibili

Nel nostro caso sarà

( ) 1

= = =

p E 0

,

1

6 16

,

7

%

6 6

Ci aspettiamo quindi che l’evento succeda nel 16,7% dei casi. Ovvero su 100 lanci mi aspetto che il

6 esca circa 17 volte.

La probabilità matematica di un evento p(E) si esprime con un

rapporto fra i casi favorevoli all’evento e tutti i casi possibili.

Il valore del rapporto è sempre compreso fra 0 e 1.

p(E)=0 significa evento impossibile. p(E)=1 significa, invece,

evento certo. Un evento è tanto più probabile quanto più la sua

p(E) si avvicina ad 1.

0 ≤ p(E) ≤ 1

Oltre che con una frazione la probabilità può essere espressa anche in forma di numero decimale o

in percentuale.

Proviamo a fare un confronto fra due diversi eventi: ♣

E’ più probabile pescare una figura da un mazzo di 40 carte oppure una carta di ?

Vediamo un po’

( ) 12 3

= = = =

p figura 0

,

3 30

%

40 10

( ) 10 1

= = = =

p carta di Fiori 0

, 25 25

%

40 4

È più probabile pescare una figura.

Ora un caso un po’ più complesso.

Lanciando in aria 3 monete, qual è la probabilità di ottenere 2 TESTA e 1 CROCE?

Dobbiamo prima pensare a quanti sono i casi possibili e poi a quali sono. Ragioniamo insieme: le

monete sono 3 e, per ognuna di esse, abbiamo due possibilità TESTA (T) o CROCE (C). I casi

3

possibili sono quindi 2 x 2 x 2 = 2 =8.

Sappiamo quanti sono, resta da vedere quali sono.

pag 3 di 7 Prof. Roberto Bossi - 2004

Calcolo delle probabilità - Appunti

Facciamo una tabella a 3 colonne, una per ciascuna moneta, e 8 righe, una per ogni possibile

combinazione. Suggerimento:

Prima moneta Seconda moneta Terza moneta Per trovare tutte le combinazioni fai

T T T così: Nella prima colonna alterna T e C

C T T uno alla volta (TCTCTC…). Nella

T C T seconda colonna alterna due alla volta

C C T (TTCCTTCC..). Nella terza quattro alla

T T C volta (TTTTCCCC….) e vai avanti così

raddoppiando ogni volta.

C T C In questo modo, per ogni riga, avrai

T C C combinazioni diverse. E le avrai tutte!

C C C

Sono state messe in evidenza le combinazioni che danno 2 TESTA e 1 CROCE. Sono 3. Quindi:

( ) 3

+ = = = .

p 2 TESTA 1

CROCE 0

,

375 37

,

5

%

8

2. Evento composto

Si parla di evento composto quando si prendono in considerazione due eventi distinti nello stesso

insieme di possibilità. Si considera la probabilità che avvenga almeno uno di essi.

Esempi di eventi composti:

• Prendendo una sola carta dal mazzo essa è una carta di Picche un Re.

oppure

• Lanciando il dado una sola volta esce il 3 un numero pari.

o

Per procedere al calcolo bisogna prima distinguere i casi di eventi INCOMPATIBILI da quelli

COMPATIBILI perché le formule sono diverse.

Probabilità composta di eventi incompatibili

Due eventi sono quando ovvero non

incompatibili non possono avvenire contemporaneamente

possono avvenire insieme.

Esempio: lanciando il dado una sola volta l’evento 3 è incompatibile con l’evento numero pari.

∪E

La formula per calcolare la probabilità di un evento composto incompatibile E è la seguente:

1 2

∪

p(E E ) = p(E ) + p(E )

1 2 1 2

In pratica bisogna fare solo la somma delle probabilità semplici dei due eventi.

Probabilità composta di eventi compatibili

Due eventi sono, invece, compatibili se c’è anche una sola possibilità che possano avvenire

contemporaneamente.

Esempio: prendendo una sola carta dal mazzo l’evento carta di Picche è compatibile con l’evento

Re in quanto esiste una carta che li comprende tutti e due (il Re di Picche). ∪E

La formula per calcolare la probabilità di un evento composto compatibile E è la seguente:

1 2

∪ ∩

p(E E ) = p(E ) + p(E ) – p(E E )

1 2 1 2 1 2

In pratica bisogna fare la somma delle probabilità semplici dei due eventi e togliere la probabilità

che essi avvengano assieme. pag 4 di 7 Prof. Roberto Bossi - 2004

Calcolo delle probabilità - Appunti

Con il linguaggio degli insiemi possiamo vedere bene la differenza fra eventi compatibili e

incompatibili. E E

1 2

E E

1 2 Compatibili

Incompatibili

Esempi di calcolo di evento composto:

a). Lanciando una volta il dado calcola la probabilità che esca 3 o un numero pari.

Gli eventi sono incompatibili per cui sommiamo le probabilità.

+

( ) ( ) ( )

1 3 1 3 4 2

= = = = = = =

p 3 ; p Pari ; p 3 o Pari 0

, 6 66

,

7

%

6 6 6 6 3

b). Calcola la probabilità che, scegliendo una carta da un mazzo di 40, essa sia di Picche oppure sia

un Re.

Gli eventi sono compatibili (c’è il Re di Picche) per cui sommiamo le probabilità ma poi togliamo

la probabilità che avvengano assieme. + −

( ) ( )

10 4 1 10 4 1 13

= = = = = = =

p ( Picche

) ; p Re ; p (Re e Picche

) ; p Re o Picche 0

,

325 32

,

5

%

40 40

40 40 40

c). Prendendo un numerino della Tombola calcola la probabilità che contenga la cifra 7 oppure che

sia multiplo di 5.

Sono compatibili (c’è il 70 e anche il 75). + −

( ) ( ) ( ) ( )

18 18 2 18 18 2 34 17

= = = = = = = =

p ha il 7 ; p M ; p ha il 7 e M ; p ha il 7 o M 0

,

3

7 37

,

8

%

5 5 5

90 90 90 90 90 45

3. Evento condizionato

Si parla di evento condizionato quando si prendono in considerazione due o più eventi distinti che

debbano avvenire in successione uno all’altro.

Questa è la situazione che si presenta in moltissimi giochi a premi: Totocalcio, SuperEnalotto, Lotto

. Si deve quindi

eccetera. In questi giochi vince chi indovina una serie di eventi consecutivi

effettuare più di una “estrazione”.

Come vedrai le probabilità risultano quasi sempre molto basse (altrimenti si vincerebbe spesso!).

Calcolo della probabilità di un evento condizionato

La formula per questo calcolo è la seguente: ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

p ( E e E e E e .... e E ) p E p E p E ..... p E

1 2 3 n 1 2 3 n

tutte le singole probabilità semplici di ogni evento della serie.

In pratica devi moltiplicare pag 5 di 7 Prof. Roberto Bossi - 2004

Calcolo delle probabilità - Appunti

Abbiamo detto che qui si devono fare più estrazioni. Prima di cominciare con gli esempi bisogna

stabilire se, dopo ogni estrazione, bisogna rimettere l’oggetto estratto nell’insieme di partenza

oppure no. Se si rimette, l’insieme di partenza è sempre lo stesso, altrimenti cambia.

Esempi:

a). in un sacchetto ci sono 5 palline NERE, 9 BIANCHE e 6 ROSSE.

Tu vinci se, estraendo per 3 volte una pallina, riesci a fare la sequenza NERA-NERA-NERA.

La pallina va rimessa nel sacchetto dopo ogni estrazione.

Vediamo se è difficile vincere a questo strano gioco.

( ) ( )

5 1 1 1 1 1

= = = ⋅ ⋅ = = =

p NERA ; p NERA e NERA e NERA 0

,

015 1

,

5

%

20 4 4 4 4 64

La matematica ci dice che si può vincere 1 volta ogni 64 tentativi.

b). Un giocatore del Lotto tenta la fortuna giocando i numeri 10-31-44-60-82 sulla ruota di

Napoli. Che probabilità ha di fare una bellissima CINQUINA?

vengono rimessi nell’urna dopo

Fai attenzione ai calcoli perché nel gioco del Lotto i numeri non

l’estrazione.

1 1 1 1 1

= = = = =

p (

10

) ; p (

31

) ; p ( 44

) ; p ( 60

) ; p (

82

)

90 89 88 87 86

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1 1 1 1 1

= = = =

p (

10 e 31 e 44 e 60 e 82

) 0

,

0000000018 0

,

00000018

%

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

90 89 88 87 86 5 273 912 160

Come vedi la probabilità è bassissima, è una sola su più di 5 miliardi di possibilità! Molto vicina

allo zero (cioè quasi impossibile).

NOTA

In realtà questa probabilità &eg