Appunti di Antenne

Le quantità di partenza potranno allora pensarsi come sorgenti o cause delle quantità finali, restando

fermo sul concetto che una simile attribuzione non ha carattere fisico ma esclusivamente

matematico ed è strettamente legata a un particolare algoritmo.

Alcuni esempi possono essere:

• Carica elettrica puntiforme costante ferma in spazio libero

• Carica elettrica ferma in presenza di conduttori. È possibile risolvere questo problema con lo

stesso algoritmo del problema precedente: occorre fare riferimento a tutte le cariche presenti,

cioè mettere in conto anche quelle spostate sui conduttori. Dal punto di vista fisico non c’è

motivo di pensare che il campo sia dovuto a tutte le cariche piuttosto che “solo” a quelle

forzatamente messe all’inizio e di valore noto.

• Cariche elettriche in libero movimento (correnti di conduzione)

• Correnti impresse equivalenti. Un importante algoritmo fa ricorso a delle ideali correnti

laminari elettriche e magnetiche impresse sulla superficie di contorno, che sostengono il

campo entro la predetta regione, in sostituzione di tutto ciò che avviene all’esterno. In questo

caso, dunque, una identificazione di carattere fisico di tali sorgenti è manifestamente

impossibile, dato che tali correnti sono uno strumento puramente matematica.

Variazione del campo in corrispondenza di discontinuità spaziali

Condizioni iniziali e condizioni al contorno

Considerando le equazioni di Maxwell nel dominio del tempo, si usa distinguere le condizioni iniziali e

le condizioni al contorno: le condizioni iniziali specificano i valori del campo all’istante a partire dal

quale esso viene calcolato (istante t=0); le condizioni al contorno sono quelle per cui, considerando

un campo con volume V, esso deve soddisfarle sulla superficie S che ne limita il volume.

Se il volume V è tutto al finito e , il problema del calcolo del campo viene detto problema

= +

1 2

interno; in caso contrario, quando cioè V si estende all’infinito, si parla di problema esterno. In

quest’ultimo caso, almeno in parte le condizioni che riguardano il comportamento del campo sono

all’infinito.

Quando si opera nel dominio della frequenza non vi sono più condizioni iniziali. Questo riflette il fatto

che le soluzioni in tale dominio corrispondono a regime, cioè esistenti da tempo infinito.

Teorema di unicità

Per specificare interamente un campo elettromagnetico, soluzione delle equazioni di Maxwell, in un

volume V per ogni istante di tempo t>0 basta assegnare:

• I valori del campo in tutto il volume all’istante t=0 (condizioni iniziali);

• Le sorgenti per tutti i tempi ≥ 0;

• La componente tangenziale del campo elettrico o di quello magnetico sulla superficie S per

tutti i tempi (condizioni al contorno).

≥ 0

In questa ipotesi la soluzione è unica (teorema di unicità).

Quando si opera nel dominio della frequenza non vi sono più condizioni iniziali, le sorgenti sono

specificate (frequenza e ampiezza) in ogni istante. Rimane solo la terza condizione (condizioni al

contorno).

La conclusione è rappresentata dal teorema di equivalenza: il campo elettromagnetico, all’esterno di

una superficie chiusa S, è esprimibile in termini di sorgenti equivalenti , che possono essere

,

determinate a partire dalla conoscenza su essa delle componenti tangenziali dei campi.

È questa la formulazione elettromagnetica del cosiddetto principio di Huygens (o di Huygens-

Kirchhoff), che considera ciascun punto investito dal campo come nuova sorgente per la successiva

produzione del campo stesso.

Teorema di equivalenza (teorema di Love)

Molto importante è anche il teorema di equivalenza o teorema di Love. Consideriamo le sorgenti ,

tutte interne a un volume V limitato da una superficie S (pura superficie geometrica, che ha l’unico

scopo di separare il volume V dallo spazio esterno).

Le sorgenti producono un campo E, H in tutto lo spazio; sia il suo valore nei punti della

,

superficie.

Introduciamo a questo punto un altro campo , di nuovo in tutto lo spazio tale che:

,

1 1

= = 0

1 1

= = ⅆ

1 1

In presenza di correnti impresse sulla superficie S, di densità lineare e in assenza delle sorgenti

originarie . Si vuole sapere se tale campo è soluzione dele equazioni di Maxwell (cioè se è un

,

campo elettromagnetico) e se può riguardarsi come prodotto dalle correnti superficiali.

Equazione delle onde (o di Helmhotz)

È un algoritmo per lo studio dei campi elettromagnetici con variazione nel tempo di tipo sinusoidale

entro un mezzo omogeneo e isotropo. Equazioni circuitali

Equazioni di flusso

Studio dei campi elettromagnetici con variazione nel tempo di tipo sinusoidale entro un mezzo

omogeneo e isotropo dove:

• è l’induzione magnetica (la derivata temporali è la densità di corrente assorbita)

=

• è l’induzione elettrica (la derivata temporale è la densità di corrente di spostamento o

=

dielettrica)

• è la densità di corrente di conduzione

• (anche indicata come ) e sono la densità di corrente impressa magnetica e quella

elettrica

• e vengono chiamati ammettività e impedività

̂ = + ̂ =

Mentre in un mezzo privo di correnti magnetiche impresse, dalle equazioni di Maxwell, tramite

l’eliminazione di una delle due funzioni incognite (E o H), si arriva all’equazione delle onde nella

funzione incognita rimasta.

Funzione di Green

La funzione di Green dipende da una generica coppia di punti, il primo dei quali individua l’effetto

mentre il secondo la sorgente: ( , ).

1 2

Va osservato che la sorgente posta in è, in generale, una quantità distribuita nello spazio, cioè

2

caratterizzata da una densità spaziale (di cariche, di corrente, ecc.). perché tale sorgente possa avere

effetto deve avere una certa estensione spaziale; si schematizzerà allora la sorgente distribuita come

una o un insieme di sorgenti elementari caratterizzate sia sa un elemento estensivo (a

∆, ∆ ∆

seconda che si abbia a che fare con sorgenti volumetriche, superficiali o lineari), sia da un elemento

̅̅̅ ̅̅̅

estensivo (la densità di sorgente in un punto intermedio entro indicata con

∆), ( ).

2 2

Determinazione della funzione di Green (caso stazionario)

Si vuole determinare la distribuzione spaziale della grandezza scalare stazionaria nel tempo:

Ψ

Ed avremo:

Con:

Inoltre, sarà possibile calcolare la funzione di Green che risulterà:

Determinazione della funzione di Green (caso dinamico)

In questo caso consideriamo una sorgente variabile nel tempo con legge sinusoidale.

Assumendo un sistema di coordinate polari e ponendo l’impulso nell’origine:

che si può risolvere con l’aiuto della variabile ausiliaria:

le cui soluzioni sono della forma:

Soluzioni simili a due ode di tensione o corrente propagatesi in direzioni opposte nel caso di una linea

di trasmissione:

Tenendo conto che per il problema dinamico tende a quello statico, allora la funzione di Green

→ 0

assumerà valore:

come si vede, rispetto a una sorgente stazionaria, una sorgente pulsante genera un effetto

caratterizzato da una propagazione oltre che dalla dipendenza secondo la legge 1 ∕ .

Risoluzione del campo con il metodo dei potenziali

Il metodo dei potenziali ha il vantaggio di una maggiore semplicità rispetto alla soluzione diretta e

consente l’utilizzo di una funzione di Green scalare. Partiamo dal vettore solenoide H espresso come

rotore del potenziale vettore:

La prima soluzione di Maxwell fornisce:

̅

̅

È possibile esprimere il vettore come gradiente di un potenziale

+ ̂ Φ:

Applicandola nella seconda equazione di Maxwell abbiamo:

con la posizione di Lorentz:

otteniamo:

che mostra come il potenziale vettore soddisfi l’equazione di Helmholtz.

Inoltre:

dove l’effetto è il potenziale scalare e la sorgente la carica elettrica.

Dopo aver calcolato il potenziale vettore, E ed H si ottengono tramite le relazioni:

Radiazione di un piccolo dipolo elettrico

Si considera una sorgente di tipo impulsivo unitario.

Dal punto di vista matematico questo tipo di sorgente è il limite di una densità di corrente

concentrata in un volume quando in modo che il prodotto di

→ 0

mantenga un volume unitario.

Si osservi che può pensarsi come il prodotto di una corrente

ⅆ ⅆⅆ

per la lunghezza dz del tratto in cui essa fluisce.

Se si considera un dipolo elettrico posto nell’origine di un sistema di

riferimento cartesiano, è possibile calcolare il campo irradiato mediante:

il potenziale vettore

con funzione di Green e momento di dipolo elettrico.

Partendo dalle equazioni di Maxwell,

sostituendo e calcolando il campo elettrico:

si ottiene:

Il modo di propagazione a grande distanza dall’antenna è TEM con

Per il campo H si ottengono le espressioni relative a 2 contributi:

• Campo di radiazione, dipendente da 1/;

• 2

Campo di induzione, dipendente da .

1/

Per il campo E si ottengono le espressioni relative a 3 contributi:

• Campo di radiazione, dipendente da 1/;

• Campo di induzione, dipendente da ;

2

1/

• Campo quasi-statico o campo vicino, dipendente da .

3

1/

Resistenza di radiazione

Si osservi che la parte reale del vettore di Poynting che

questa è direttamente associabile alla componente di

radiazione. Pertanto, si può dedurre che le componenti di campo vicino e di

induzione non determinano l’emissione di potenza reale del dipolo, ma solo di

potenza reattiva, o, se si preferisce, l’ammontare totale di energia elettrica e

magnetica immagazzinato nella regione di spazio che circonda il dipolo.

La direttività

La funzione di direttività è pari a:

Per un polo Hertziano, sostituendo il valore della parte reale del vettore di Poynting, la funzione

direttività risulta:

da cui si ricava:

La lunghezza efficace elettrica

La lunghezza geometrica del dipolo hertizano coincide con la lunghezza efficace elettrica del dipolo

stesso. Se il dipolo