Appunti di Analisi matematica II

SERIE DI FOURIER

Definizione: funzione periodica

f : A → ℝ, A ⊂ ℝ, A ≠ ∅

Una funzione è periodica di periodo T>0 se

f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ A , e quindi le quote della funzione si ripetono uguali per ogni periodo.

T = 2π

Il classico esempio di funzioni periodiche sono seno e coseno, di periodo .

È possibile cambiare il periodo di una funzione periodica tramite contrazioni e dilatazioni. Quindi è

sempre possibile passare da un periodo T>0 a un periodo T’>0.

T T

g(x) = f ( x) dove è il coefficiente della variabile x nella funzione f(x).

T′ T′ → g(x + T′

) = g(x)

La funzione g(x) è periodica di periodo T’>0

Dimostrazione: T T

g(x + T′

) = f ( (x + T′

)) = f ( x) = g(x)

T′ T′

Ad esempio, prendendo in considerazione una funzione trigonometrica come il seno:

2π

sin x → ω = dove T è il nuovo periodo della funzione

T

sin ωx è la funzione di prima dove il nuovo periodo vale T.

sin k x, cos k x → k ∈ ℕ

2π 2π

k = → T =

T k

La somma di due funzioni periodiche di periodo T=2π è ancora una funzione periodica di periodo

T=2π.

Le funzioni costanti sono periodiche di qualsiasi periodo.

2π

T′ =

Se una funzione è periodica di periodo essa resta comunque periodica di periodo T=2π.

T

POLINOMIO TRIGONOMETRICO

n

a 0 ∑

P (x) = + a cos k x + b sin k x

n k k

2 k=1

Quindi il polinomio trigonometrico è una somma di n addendi (quindi un polinomio di grado

infinito) e, dato che i suoi addendi sono funzioni seno e coseno, è periodico di periodo T=2π.

Sviluppando la serie:

a 0

P (x) = + a cos x + b sin x + . . . + a cos n x + b sin n x

n 1 1 n n

2 lim

Applicando ora il vediamo che il polinomio è una serie che chiameremo serie

n→+∞

trigonometrica, proprio come le serie di potenze.

Di questa serie possiamo studiare convergenza o divergenza attribuendo a x determinati valori.

Esistono tuttavia dei criteri e dei teoremi che ci aiutano nello studio delle serie trigonometriche.

ASSOLUTA CONVERGENZA

+∞

a 0 ∑

+ a cos k x + b sin k x

k k

2 k=1

a cos k x + b sin k x ≤ a cos k x + b sin k x = a cos k x + b sin k x ≤ a + b

| | | | | | | | | | | | | | | | | |

k k k k k k k k

Il criterio dell’assoluta convergenza dice che:

+∞ +∞

∑ ∑

a b

| | | |

e

Ip: convergono entrambe

k k

k=1 k=1

+∞

a 0 ∑

+ a cos k x + b sin k x ∀x ∈ ℝ

Ts: converge

k k

2 k=1 Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

PRIMO CRITERIO DI DRICHLET

+∞ +∞

∑ ∑

(1) a cos k x (2) b sin k x

e

Consideriamo le due serie k k

k=1 k=1

a ≥ 0 ∨ b ≥ 0 ∀k ∈ ℕ

Ip: k k

a ↓ 0 ∨ b ↓ 0 (quindi se sono due successioni monotone decrescenti e tendono a 0)

k k

{ (2) ∀x ∈ [0; 2π]

converge

Ts: (1) ∀x ∈ (0; 2π)

converge

Il criterio non dice che la serie (1) converge sicuramente in 0 e 2π. Però 0 e 2π sulla circonferenza

goniometrica sono lo stesso numero, per cui basta dare alla x della serie (1) valore 0 e vedere la

convergenza di (1) in x=0.

SECONDO CRITERIO DI DRICHLET

+∞ +∞

k k

∑ ∑

(1) (−1) a cos k x (2) (−1) b sin k x

e

Consideriamo le due serie k k

k=1 k=1

a ≥ 0 ∨ b ≥ 0 ∀k ∈ ℕ

Ip: k k

a ↓ 0 ∨ b ↓ 0

k k

{ (2) ∀x ∈ [0; 2π]

converge

Ts: (1) ∀x ∈ [0; π) ∪ (π; 2π]

converge

Prima, dalla definizione di serie trigonometrica, abbiamo visto che se converge essa converge in

una funzione periodica di periodo 2π. a , a , b

Per poter ricavare la funzione dobbiamo però vedere come si ricavano i coefficienti . Per

0 k k

ricavare questi coefficienti si usano calcoli integrali e differenziali dove sono compresi funzioni

seno e coseno. Quindi adesso facciamo un recap delle formule che si usano per le funzioni

trigonometriche:

FORMULE TRIGONOMETRICHE

±

cos(α β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

± ±

sin(α β ) = sinα cos β sin β cos α

cos(α − β ) + cos(α + β )

cos α cos β = 2

cos(α − β ) − cos(α + β )

sin α sin β = 2

sin(α + β ) + sin(α − β )

sin α cos β = 2

α = β

Se 1 + cos α

2

cos α = 2

1 − cos α

2

sin α = 2

1

sin α cos β = sin 2α

2

CALCOLO INTEGRALE CON SENO E COSENO

{

π 0 k ≠ m

∫ se

cos k x cos m x d x = π k = m

se

−π Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

{

π 0 k ≠ m

∫ se

sin k x sin m x d x = π k = m

se

−π

π π sin(k + m)x + sin(k − m)x

∫ ∫

cos k x sin m x d x = d x = 0 ∀k, m

2

−π −π

Questo se calcoliamo l’integrale di queste funzioni su un intervallo che è lungo quanto un periodo

(notiamo che la lunghezza dell’intervallo di calcolo dell’integrale è lungo proprio 2π).

π

∫ 1d x = 2π , ovvero l’integrale definito di 1 vale tanto quanto la lunghezza dell’intervallo di

−π

calcolo. Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

SERIE DI FOURIER

Abbiamo parlato delle serie di Fourier e abbiamo visto che una serie trigonometrica converge ad

una funzione:

f T = 2π

è periodica

f [−π; π] = T

è R-integrabile in +∞

a 0 ∑

a , a , b ? : + a cos k x + b sin k x = f (x) ∀x ∈ [−π; π]

0 k k k k

2 k=1

Vediamo come ricavare i coefficienti a0, ak e bk:

a

• 0 +∞

π π π π

a

∫ ∫ ∫ ∫

0 ∑

f (x)d x = dx + a cos k x d x + b sin k x d x supponendo che il

k k

• 2

−π −π −π −π

k=1

segno di integrale può andare dentro alla sommatoria

π π

a a

∫ ∫

0 0

dx = 1d x = a π

0

• 2 2

−π −π

+∞ π π

∫ ∫

∑ a cos k x d x + b sin k x d x , sappiamo che gli integrali definiti di seno e coseno

k k

• −π −π

k=1

calcolati su un periodo sono 0, quindi la sommatoria sarebbe una somma di 0

π π

1

∫ ∫

f (x)d x = a π → a = f (x)d x

0 0

• π

−π −π

a

• k +∞

a 0 ∑

f (x) = + a cos k x + b sin k x

k k

• 2 k=1 m ∈ ℕ cos m x

• Considero un numero e moltiplico a sinistra e a destra dell’equazione per

+∞

a 0 ∑

f (x)cos m x = cos m x + a cos k x cos m x + b sin k x cos m x , dove abbiamo

k k

• 2 k=1

cos m x

moltiplicato per e abbiamo portato dentro il segno di sommatoria il fattore

+∞

π π π π

a

∫ ∫ ∫ ∫

0 ∑

f (x)cos m x d x = cos m x d x + a cos k x cos m x d x + b sin k x cos m x d x

k k

• 2

−π −π −π −π

k=1

π π

a a

∫ ∫

0 0

cos m x d x = cos m x d x = 0

• 2 2

−π −π

π

∫ b sin k x cos m x d x = 0

k

• −π {

π π π

0 k ≠ m

∫ ∫ ∫

se

a cos k x cos m x d x = a cos k x cos m x d x = → a cos k x cos k x d x = a π

• k k k k

≠ 0 k = m

se

−π −π −π

π π

1

∫ ∫

f (x)cos m x d x = a π → a = f (x)cos k x d x

k k

• π

−π −π

b

• k

• Seguiamo lo stello ragionamento che abbiamo seguito per ak, moltiplicando a destra e

sinistra per sin mx, e otteniamo la formula:

π

1 ∫

b = f (x)sin k x d x

k

• π −π

Quindi ricapitolando:

π π π

1 1 1

∫ ∫ ∫

a = f (x)d x; a = f (x)cos k x d x; b = f (x)sin k x d x

0 k k

π π π

−π −π −π

Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

Questi coefficienti si chiamano coefficienti di Fourier. Sostituendo questi valori di a0, ak e bk nella

serie iniziale otteniamo proprio una serie di Fourier.

Quando studiamo una funzione con le serie di Fourier, quando possibile è sempre utile disegnare

il grafico della funzione per valutare se essa è pari o dispari. Infatti, se l’intervallo di integrazione è

simmetrico rispetto all’origine:

a a

∫ ∫

f (x)d x = 2 f (x)d x

Se una funzione è pari:

• −a 0

a

∫ f (x)d x = 0

Se una funzione è dispari:

• −a f g → f ⋅ g

pari e dispari dispari

f g → f ⋅ g

dispari e pari dispari

f (x) ⋅ g(x)

Se abbiamo una situazione del tipo: f g → f ⋅ g

pari e pari pari

• f g → f ⋅ g

dispari e dispari pari

Se abbiamo una funzione con un periodo diverso da T=2π, allora possiamo moltiplicare tutti i

coefficienti di seno e di coseno per omega:

2π

ω = dove T al denominatore è il nuovo periodo.

T

Allora le formule per trovare i coefficienti di Fourier diventano:

T

T

2 2

∫ ∫ 2

a = f (x)d x f (x)d x

oppure

0 T T T

0 − 2 T

T

2 2

∫ ∫ 2

a = f (x)cos ωk x d x f (x)cos ωk x d x

oppure

k T T T

0 − 2

T

T

2 2

∫ ∫ 2

b = f (x)sin ωk x d x f (x)sin ωk x d x

oppure

k T T T

0 − 2

Adesso dobbiamo capire se una serie di Fourier converge effettivamente alla funzione data

oppure no. Per capirlo diamo una definizione e un teorema.

Definizione: funzione generalmente regolare (o regolare a tratti)

f : [0,T ] → ℝ

La funzione è generalmente regolare o regolare a tratti se:

n 1

⋃

∃I , . . . , I : I = [0,T ] : f ∈ C (I ) ∀i = 1,...,N [0,T ]

consecutivi e f limitata in

1 N i i

i=1

Quindi una funzione è regolare se è di classi C1

Generalmente o a tratti si usa per indicare quando il periodo può essere suddiviso in intervalli

dove vale la proprietà, in questo caso la funzione è suddivisibile in intervalli dove è regolare.

TEOREMA DI CONVERGENZA DELLE SERIE DI FOURIER

f : [0; T ] → ℝ

Ip: la funzione è generalmente regolare in [0,T]

+∞ f (x) + f (x)

a + −

0 ∑

+ a cos k x + b sin k x = ∀x ∈ ℝ

Ts: la serie di Fourier della funzione k k

2 2

k=1

f (x) = lim f (y) f (x) = lim f (y)

Dove e

+ − −

+ y→x

y→x

Quindi praticamente il teorema ci dice che se una funzione è generalmente regolare allora la serie

di Fourier converge nel punto medio dei limiti della quota x.

f (x) + f (x)

+ −

f ∈ C(x) → = f (x)

Se .

2 Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

Quindi se una funzione è continua la serie converge alla funzione che è sviluppabile secondo la

serie di Fourier.

Se una funzione è di classe C e C1 allora è sviluppabile.

Se una funzione non è continua allora nei punti di discontinuità la serie converge nel punto medio

tra i limiti destro e sinistro del punto di discontinuità.

Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

TIPOLOGIE DI FUNZIONI IN ANALISI 2

Fino all’Analisi 1 abbiamo studiato funzioni che avevano, sia come dominio sia come codominio,

ℝ

l’insieme dei numeri reali .

In Analisi 2 studieremo funzioni che hanno come dominio e codominio degli spazi vettoriali di

dimensione diversa da 1.

n m n m

f : A → ℝ , A ⊂ ℝ , n, m = dim ℝ , ℝ

Le dimensioni degli spazi vettoriali di partenza e di arrivo possono assumere valori diversi.

Vediamoli in una tabella:

→ n =1 n ≥ 2

dimensione del

codominio

↓ dimensione del

dominio

m =1 Funzioni dell’Analisi 1 Curve

m ≥ 2 Funzioni scalari di più Campi vettoriali

variabili

CURVE

Una curva è una funzione che trasporta dei vettori da uno spazio vettoriale di dimensione 1 ad

uno spazio vettoriale di dimensione maggiore di 1.

n

ϕ : I → ℝ I ⊂ ℝ

I è un intervallo,

I = [a, b] ma può essere anche illimitato

Una curva è definita da una n-upla, ovvero se lo spazio vettoriale di arrivo è di dimensione n,

allora per definire una curva avremo bisogno di n funzioni (chiamate “componenti”). Questo

insieme di n funzioni si chiama n-upla.

ϕ(t) = (x (t), x (t), . . . , x (t)), t ∈ [a, b]

1 2 n

x : I → ℝ, i = 1,...,n

i

Un esempio di come si scrive una curva:

ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0,2π]

La variabile delle funzioni la chiamiamo t.

DEFINIZIONE: Sostegno

ϕ : I →ℝ

Il sostegno è il codominio della curva

n

γ = ϕ(I ) ⊂ ℝ

Come si disegna una curva?

Supponiamo di conoscere le componenti di una curva.

Per disegnarla dobbiamo dare a t dei valori compresi nell’intervallo del dominio. Nell’esempio di

prima:

t ∈ [0,2π]

A questo punto calcoliamo l’immagine della curva per ogni valore di t nell’intervallo. Nell’esempio

di prima:

t = 0 → ϕ(0) = (cos 0, sin 0) = (1,0)

π π π π

t = → ϕ( ) = (cos , sin ) = (0,1)

2 2 2 2

Chiaramente la curva è definita su spazi vettoriali di dimensioni diverse, quindi se scegliamo un

numero del dominio che ha dimensione 1 (che quindi è rappresentabile su una retta) otteniamo

una coppia di numeri nel codominio che ha dimensione 2 (che quindi è rappresentabile su un

piano cartesiano). Per cui adesso disponiamo sul piano cartesiano le immagini della curva. In

particolare, questa curva ci restituisce una circonferenza di centro O e di raggio 1.

Il sostegno di una curva ha anche l’orientamento, ovvero la direzione che si segue quando la si

disegna. Questa curva va in senso antiorario, le immagini da 0 a 2π vanno in senso antiorario.

Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

DEFINIZIONE: Curva chiusa

Una curva si definisce chiusa se le immagini degli estremi sono uguali.

ϕ : [a, b] → ℝ ϕ(a) = ϕ(b)

è chiusa se

DEFINIZIONE: Curva semplice

Una curva è semplice se è iniettiva. Il comportamento di iniettività è escluso per gli estremi del

dominio. · ·

n

ϕ : I → ℝ ∀t , t ∈ I, t ∈ I ∨ t ∈ I, t ≠ t → ϕ(t ) ≠ ϕ(t )

p semplice se 1 2 1 2 1 2 1 2

Se almeno un componente della curva è iniettivo allora la curva è semplice.

Il viceversa non vale

DEFINIZIONE: Curva regolare

n

ϕ : I → ℝ è regolare se

1

ϕ ∈ C (I )

1. ϕ

• è continua se le componenti sono continue

ϕ

• è derivabile se le componenti sono derivabili

2. È semplice ·

ϕ′

(t) ≠ 0 ∀t ∈ I

3. ·

ϕ′

(t) > 0, ∀t ∈ I

| | | |

•

Se una curva non è regolare si può spezzare nei punti in cui ci sono problemi di regolarità, e allora

la curva sarebbe generalmente regolare.

La regolarità di una curva non dipende dal sostegno ma dalla parametrizzazione delle

componenti. Infatti, una stessa curva (raffigurazione della curva) può essere descritta usando

componenti diversi. Con alcuni componenti potrebbe essere regolare, con altri componenti

potrebbe non esserlo.

ϕ′

(t)

Perché deve essere diverso da 0? ϕ(t + h) − ϕ(t)

R(h) =

Sappiamo che la derivata si definisce come un rapporto incrementale h

2

ϕ : I → ℝ

Allora considerando una qualsiasi curva possiamo prendere qualsiasi

(per comodità)

valore t nel dominio e un suo incremento t+h. Nel dominio questi saranno due punti separati, ma

quando vengono trasportati nel codominio saranno due punti della curva. Chiaramente, la curva è

disegnata nel piano cartesiano, ma due punti generici nel piano cartesiano possono identificare

ϕ(t), ϕ(t + h)

un vettore applicato nell’origine O. Quindi i due punti considerati prima giacciono

sì sulla curva, ma identificano anche due vettori applicati in O. Nella definizione di rapporto

incrementale i due vettori vengono sottratti tra loro, ma il risultato sarà ancora un vettore. Questo

vettore risultato è diviso per l’incremento h, che può contrarlo, allungarlo o cambiargli la direzione.

Ma questo vettore sarà

ancora applicato in O.

Per pensarlo come

vettore secante alla

curva dobbiamo

traslarlo nel punto t e

t+h. Applicare poi il

limite al rapporto

incrementale

ϕ(t + h) − ϕ(t)

lim h

h→0

rende questo vettore tangente nel punto t, non più secante alla curva in t e t+h ma solo tangente

in t, e per il teorema di Lagrange questo vettore tangente sarà parallelo al vettore secante in t, t+h.

Testo creato da Andrea Di Silverio - È vietata la riproduzione

CURVE PIANE ℝ

Le curve piane sono delle curve che hanno come dominio un intervallo dell’insieme numerico e