Appunti di Analisi matematica II

V

11.7.1 Nastro di Moebius

Il nastro di Moebius è dato dalla rotazione di un segmento sul proprio asse che contempo-

raneamente ruota su se stesso, tale segmento non ruota parallelo a se stesso ma si inclina di

u quando ruota di un angolo u; non si riesce a distinguere la parte interna della superficie da

2

quella esterna. u

∈

v [−1, 1] OH = 2v sin 2

 u

−

x = (2 v sin ( )) sin u

 2



 u

−

y = (2 v sin ( )) cos u

2

 u

 z = v cos( )

 2 

 u

u 1 u −

− − x = sin(

x (u, v) = (2 v sin( )) cos u v cos( ) sin u sin u)

v

u 

 2 2 2 2



 

 u 1 u u

− − −

y (u, v) = (2 v sin( ))(− sin u) cos( ) cos u y = sin( cos u)

u v

2 2 2 2



 1 u u



 −

z (u, v) = v sin( ) z = cos( )



 u v

2 2 2

u u u

−2 −

φ (u, 0) = (2 cos u, sin u, 0) φ (1, 0) = (− sin sin u, sin cos u, cos )

u v 2 2 2

⃗k

⃗i ⃗j u u

u

⃗k

⃗i ⃗j

u u u

− = 2 sin u cos + (−2 cos u cos + (2 sin u sin

sin sin u sin cos u cos

2 2 2 2 2 2

−2

2 cos u sin u 0

× ̸

φ φ (u, 0) lim φ (u, 0) = lim φ (u, 0) non c’è parte interna e esterna

u v u u

−

+

k→0 k→0

Questo è un esempio di superficie non orientabile.

60

11.8 Esercizi ⃗ y 2

2 2

− −

Calcolare il flusso uscente ϕ del campo F (x, y, z) = (xy + , y sin x + 2yz, (5 2y)z z )

1. F 2

2

z

2 2 = 1.

uscente dall’ellissoide 16x + y + 9 2

z

3 2 2

{(x, ∈ 1}

E = ∂V V = y, z) : 16x + y + ⩽

R 9

Notiamo che la superficie stessa è il bordo del volume racchiuso. Applico il teorema della

divergenza: ZZ ZZZ

⃗ ⃗ ⃗

·

F N ds = div

F dxdydz

E V

⃗ 2 2

− − −y

div

F = y + 2y sin x + 2z + (5 2y) 2z) = + y sin x + 5

ZZZ −y dxdydz = 0 simmetrico

V

ZZZ 2

sin x dxdydz = 0 dispari

V

ZZZ 4 πabc = 5π

5 dxdydz = 5vol(V ) = 5 3

V

⃗ ⃗

4 x

Dato F = (2xy + y e , 3 cos(xy), 0), calcolare il flusso del rot F uscente dalla superficie che

2. 2 2

{(x,

delimita l’insieme E = y, z) : x + y z 4} La superficie è data dall’unione di sue

⩽ ⩽

superfici: (

z =4

∪

S S =

1 2 2

x + y 4

⩽

Parametrizzata diventa: 

x = ρ cos θ





 ∈ ∈

S = θ [0, 2π]; ρ [0, 2]

y = ρ sin θ

1 



z = 4





x = u





 2 2 2

∈ {(u, ∈

S = (u, v) D = v) : u + v 4}

⩽

y = v R

 2 2



z = u + v



ZZZ ZZ ZZ ZZ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · ·

div(rot

F ) dxdydz = rot

F N dσ = rot

F N dσ + rot

F N dσ = 0

∪

E S S S S

1 1

⃗

La divergenza del rotore di un campo F è sempre zero.

61

⃗ ⃗ y

xy √

, , 0 . Calcolare il

Sia F il campo vettoriale definito da F (x, y, z) =

3. 2 2

1+x +y 2 2

1+ x +y

⃗ p 2 2

−

flusso del rot

F uscente dalla superficie laterale del cono Σ di equazione z = 4 x + y ; z =

− |y|;

4 z 0.

⩾

Sia C il dominio racchiuso da Σ e S .

1

ZZZ ZZ ZZ

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

·

div(rot

F ) dxdydz = (rot

F ) N dσ + rot

F N dσ = 0

C Σ S

1

p 2 2

{(x, ∈ − }:

Un altro modo è con Σ = y) S e z = 4 x + y

1

 x = u





 2 2 2

∈ {(u, ∈

(u, v) v) : u + v 16}

Σ= ⩽

y = v R

√



 2 2

− u + v

z = 4



−u −v

√ √

φ = 1, 0, φ = 0, 1,

u v

2 2 2 2

u + v u + v

 x = 4 cos θ







{(ρ, ∈

S = θ) : 0 ρ 4, θ [0, 2π], z = 0} ∂S =

⩽ ⩽ y = 4 sin θ

1 1 

 z = 0



ZZ Z Z xy y

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· ·

rot

F N dσ = F T ds = dx + dy =

p

2 2

1 + x + y 2 2

1 + x + y

Σ ∂S ∂S

1 1

2π

·

Z 4 sin θ

4 cos θ 4 sin θ (−4 sin θ) + dθ = 0

= 1 + 16 1+4

0 62

12 Teoremi di Guldino

12.1 Primo teorema di Guldino

Dato un solido generato dalla rotazione di un angolo α di un dominio regolare D del piano

intorno ad un asse r, il volume del solido S è dato dal prodotto dell’area di D per la lunghezza

dell’arco di circonferenza descritta nella rotazione del baricentro di D.

Se consideriamo un dominio normale T all’asse y che ruoti di un giro completo intorno a tale

asse, il volume del solido generato sarà: · ·

vol(S) = Area(T ) y 2π

G

3

dove y è il baricentro rispetto all’asse y in :

R

G ZZ

1 y dydz

y =

G Area(T ) T

Quindi la formula del volume diventa: ZZ ZZ

1

· ·

vol(T ) = 2π Area(T ) y dydz = 2π y dydz

Area(T ) T T

Toro 

x = R + ρ cos θ





 0 ρ r

⩽ ⩽

y =0





z = ρ sin θ

 2 2

Vol(toro) = 2Rr π

12.2 Secondo teorema di Guldino

Il secondo teorema di Guldino afferma che la superficie generata da una curva che ruota attorno

ad un asse è pari al prodotto tra la lunghezza della curva e la lunghezza dell’arco descritto dalla

rotazione del baricentro: Z

· ·

Area = 2π y l(γ) = 2π y ds

G γ

1

R .

dove y = y ds

G l(γ)

γ 63

13 Numeri complessi 2

=

C R

∈

(a, b) è una coppia in cui ci sono operazioni di somma e prodotto.

C

13.1 Somma −→

(a, b) + (c, d) (a + c, b + d)

Se cambiamo la somma degli elementi abbiamo lo stesso risultato.

Elemento neutro (0, 0) (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)

−b)

Elemento inverso (−a, ∀(a, ∈ −b)

b) (a, b) + (−a, = (0, 0)

C

Dunque la somma è associativa e commutativa.

(a, b) + (c, d) + (e, f ) = (a, b) + [(c, d) + (e, f )] = [(a, b) + (c, d)] + (e, f )

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

13.2 Prodotto

Il prodotto è differenti e ci restituirà un numero complesso.

· −→ −

(a, b) (c, d) (ac bd, ad + bc)

Moltiplicato per la coppia, la restituisce uguale.

Elemento neutro (1, 0) · −

(a, b) (1, 0) = (a 0, a + b) = (a, b)

a

b

− ,

Elemento inverso 2 2 2 2

a +b a +b

b

b a a

∀(a, ∈ − {(0, ∃ − · −

b) 0)} , tale che (a, b) , = (1, 0)

C 2 2 2 2 2 2 2 2

a + b a + b a + b a + b

13.3 Rappresentare i numeri complessi in forma polinomiale

(a, b) = (a, 0) + (0, b), posso sempre scrivere la coppia (a, b) in questo modo.

(a, 0) = a(1, 0) (0, b) = b(0, 1)

Se mi limito a guardare questi numeri, applicando somma e prodotto, trovo sempre numeri

dello stesso tipo, che si trovano sempre sugli assi:

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) asse ascisse

· − ·

(a, 0) (c, 0) = (ac 0, 0 + c 0) = (ac, 0) asse ascisse

64

Posso esprimere un isomorfismo con il campo dei numeri complessi.

→

applicazione lineare R C

→ {(a, ∈ ∈

0) : a

R R} C

→

a (a, 0)

Potrei allora identificare la coppia (a, 0) con il solo elemento a.

(0, b) = b(0, 1), sull’asse delle ordinate.

Nel caso dell’operazione di somma: (0, b) + (0, d) = (0, bd), va bene.

Non è cosı̀ per il prodotto: · −

(0, 1) (0, 1) = (0 1, 0 + 0) = (−1, 0)

−1.

Ricavo cosı̀ il numero reale

Moltiplicando due elementi dell’asse delle ordinate ottengo un elemento di quello delle ascisse,

per questo considero l’asse verticale come asse immaginario, mentre quello orizzontale come

asse reale.

Chiamerò allora (1, 0) unità reale e (0, 1) unità immaginaria, quest’ultima da identificare con

il simbolo i. · −1, −1:

Questa considerazione ci dice che i i = numero che ci permette di estrarre la radice di

√

−1

i =

Rappresento cosı̀, in forma polinomiale, la coppia (a, b):

(a, b) = a + ib

Il prodotto cosı̀ diventa: 2 −

(a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i bd = ac bd + i(bc + ad)

−

dove ac bd è la parte reale, mentre bc + ad è la parte immaginaria.

a + ib : a = parte reale b = coefficienti della parte immaginaria

13.4 Coordinate polari

Talvolta è conveniente indicare la parte reale con la x e il coefficiente della parte immaginaria

con la y: z = x + iy x = parte reale Re z y = coefficienti parte immaginaria Im z

|z| = modulo del numero complesso z (vettori)

p p

2 2 2 2

|z| x + y = (Re z) + (Im z)

= ρ =

Posso anche individuare l’angolo che si forma con l’asse x, dal vettore che passa per 0 e z.

L’angolo θ prende il nome di argomento (arg z, non esiste per l’origine).

65

Esso viene scelto nell’intervallo [0, 2π] oppure [−π, π] e si definisce argomento principale:

(

x = ρ cos θ

∈

Arg z [0, 2π] =⇒ y = ρ sin θ

Supponendo che x o y sia diverso da zero:

y sin θ

= = tan θ =⇒ θ = arctan θ

x cos θ

π π

−

L’arcotangente va da , .

2 2

La rappresentazione polare si usa per facilitare le operazioni.

Nel campo dei numeri complessi non posso stabilire una relazione d’ordine con i simboli > e <;

infatti, se esistesse una relazione d’ordine, dovrei saper dire se i 0 o i 0 e in più dovrebbe

⩽ ⩾

essere compatibile con il prodotto, senza contraddire le regole dei numeri reali. L’unico modo

per fare un confronto, è tramite i termini in modulo, per capire quanto sono distanti dall’origine,

dato che sono sempre numeri reali.

Abbiamo detto che z = x + iy, ma possiamo anche dire che z = [ρ, θ], cioè modulo e ar-

gomento.

13.5 Prodotti, potenze e radici

Prodotto z = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ (cos θ + i sin θ )

1 1 1 1 1 1 1 1

z = [ρ , θ ] z = [ρ , θ ] =⇒

1 1 1 2 2 2 z = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ (