Appunti di Analisi matematica I

DEFINIZIONI NELLA TEORIA DEGLI INSIEMI

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

Abbiamo già visto nei precorsi cosa sono gli insiemi numerici e abbiamo già visto

come l’ultimo di questi quattro sia nato come conseguenza dell’assioma della completezza:

A, B A ≠ B ≠ : A, B → a ≤ b

∈ ℝ, ∅, ∅ ∀a ∈ ∀b ∈

: a ≤ c ≤ b, A, B

∃c ∈ ℝ ∀a ∈ ∀b ∈

Basandoci su questo assioma possiamo dare alcune definizioni che riguardano la teoria degli

insiemi:

• INSIEME LIMITATO INFERIORMENTE

• Un insieme A si dice limitato inferiormente quando esiste, nell’insieme dei numeri reali, un

valore che sia più piccolo di tutti gli elementi dell’insieme. Questi numeri sono detti minoranti

di A. I minoranti di un insieme sono infiniti.

: h ≤ a, A

∈ ℝ ∀a ∈

•∃h

• Ecco un esempio:

A={x : x > 2}

• ∈ ℝ

• Figurandoci l’insieme sull’asse reale capiamo subito come questo sia un insieme limitato

inferiormente perché esistono infiniti valori h (h=2, h=1, h=0, h=-1…) che sono tutti inferiori

di qualsiasi elemento dell’insieme A

• INSIEME ILLIMITATO INFERIORMENTE

• Una volta data la definizione di insieme limitato inferiormente deduciamo per negazione la

definizione di insieme illimitato inferiormente. Per dare una definizione matematica diciamo

che preso un valore h reale esisterà sempre almeno un elemento dell’insieme A più piccolo di

h A : h > a

∈ ℝ ∃a ∈

•∀h

• Ecco un esempio:

A={-n^2 : n fa parte dei numeri naturali}

• Notiamo che non esiste un minorante di questo insieme perché qualsiasi valore h noi

considerassimo ci sarà sempre un elemento a dell’insieme A più piccolo di h

• INSIEME LIMITATO SUPERIORMENTE

• Un insieme A è limitato superiormente quando esiste, nell’insieme dei numeri reali, un valore

k che sia maggiore di tutti gli elementi di A. Questo valore è detto maggiorante e anche i

maggioranti di un insieme sono infiniti

: a ≤ k A

∈ ℝ ∀a ∈

•∃k

• Ecco un esempio

A={-1/n : n fa parte dei numeri naturali}

• Notiamo come il maggiorante k in questo insieme sia k=0 (ma anche k=1, k=2, k=3…),

infatti non esistono elementi di A che siano maggiori di 0.

• INSIEME ILLIMITATO SUPERIORMENTE

• A questo punto deduciamo anche la definizione di insieme illimitato superiormente, ovvero

quella in cui per qualsiasi valore k prendiamo esiste sempre un elemento a dell’insieme A che

sia più grande di A.

A : k < a A

∈ ℝ ∃a ∈ ∀a ∈

•∀k

• Ecco un esempio:

A={x : x > 2}

∈ ℝ

• Vediamo come non esiste un valore reale k che sia maggiorante dell’insieme, ovvero che

sia più grande di tutti gli elementi dell’insieme A, ci sarà sempre almeno un valore a di A

più grande di k

• INSIEME LIMITATO

• Un insieme A è limitato se lo è sia superiormente sia inferiormente

k : h ≤ a ≤ k, A

∈ ℝ ∀a ∈

•∃h, > 0 : a ≤ m, A → − m ≤ a ≤ m

| | ∀a ∈

•∃m

• Questo secondo modo di scrivere è più utile perché non abbiamo bisogno di avere due

parametri ma abbiamo lo stesso un maggiorante e un minorante uguali e opposti nel

valore.

• INSIEME ILLIMITATO

• Un insieme è illimitato se o non è limitato superiormente o non lo è inferiormente

• ESTREMO SUPERIORE DELL’INSIEME

• Adesso consideriamo un insieme A non vuoto e limitato superiormente. Si chiama estremo

Testo creato da Andrea Di Silverio – È vietata la riproduzione

superiore dell’insieme il maggiorante più piccolo tra gli infiniti che possono esserci. Lo

indichiamo così: S=supA. Questo è un maggiorante dell’insieme A ed è il maggiorante più

piccolo. Per cui al supA dobbiamo dare due caratteristiche:

≥ a, A

∀a ∈

•S → S ≤ k

•∀k maggiorante di

> 0 A : a > S− ϵ

∃a ∈

•∀ϵ

• Queste due caratteristiche vanno applicate ai maggioranti che sospettiamo essere estremi

superiori di un insieme. Se sono entrambe verificate allora il termine in analisi è un estremo

superiore.

• Può accadere che il sup sia elemento dell’insieme, verificando sicuramente la seconda

proprietà. In questo caso si chiama massimo, maxA

• ESTREMO INFERIORE

• Considerando sempre un insieme A non vuoto e limitato inferiormente l’estremo inferiore

dell’insieme è il minorante più grande dell’insieme A che stiamo studiando, ed è il più grande

dei minoranti possibili per quell’insieme. Lo indichiamo come: i=infA e anche per lui esistono

due caratteristiche:

< a, A

∀a ∈

•i → i ≥ h

•∀h

minorante di A

> 0 A : a < i + ϵ

∃a ∈

•∀ϵ

• Può accadere che l’inf sia elemento dell’insieme, verificando sicuramente la seconda

proprietà. In questo caso si chiama minimo, min

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ESTREMI

Abbiamo visto la definizione di infA e supA. In alcuni casi inf e sup possono essere anche

elementi dell’insieme, il che verifica sempre la seconda proprietà. In questi casi sup prende il

nome di maxA (massimo) e inf prende il nome di minA (minimo). Inf e sup ci sono sempre in

un insieme e a dimostrarlo c’è un teorema:

TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE

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Se:

FUNZIONI

Il discorso di limitato illimitato inferiormente e superiormente si può trasportare anche nel

mondo delle funzioni. Tutte le definizioni che daremo saranno relative al codominio di una

funzione, ma questa caratteristica ci porta problemi: come sappiamo, mentre ricavare il

dominio di una funzione si può sempre fare ed è anche un passaggio semplice, ricavare il

codominio non sempre è semplice o addirittura fattibile. Per cui siccome la scrittura f(A)

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darebbe fastidio perché è inutilizzabile in ambito pratico dato che il codominio di una

funzione non si può conoscere scriviamo tutte le prossime proprietà in funzione del dominio:

• Limitata inferiormente

o

• Limitata superiormente

o

• Limitata

o

• Illimitata superiormente

o

• Illimitata inferiormente

o

Anche per le funzioni esistono i valori di sup e inf:

• Limitata superiormente

o

• Illimitata inferiormente

o

• Caso particolare: se allora

• Limitata inferiormente

o

• Illimitata inferiormente

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o

• Caso particolare: se allora

SUCCESSIONI

Abbiamo già parlato di funzioni. Le funzioni tradizionalmente intese sono quelle definite su

tutto l’insieme dei numeri reali. Le successioni sono particolari funzioni che sono definite

solo sull’insieme dei numeri naturali e come codominio hanno invece tutto l’insieme dei

numeri reali.

La scrittura della successione si chiama Termine generale e compare nella forma:

Quindi an è l’immagine della funzione.

Il grafico di una successione ha poco senso rappresentarlo perché essendo essa definita solo

nei numeri naturali verrebbe solo un insieme di punti sconnessi. Ha comunque senso

rappresentare la retta con l’insieme del codominio e rappresentare le immagini della

successione lì.

Ecco alcune proprietà delle successioni:

• Limitata inferiormente

o

o

• Limitata superiormente

o

o

• Limitata

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o

• Illimitata superiormente

o La scrittura n segnato si usa quando vogliamo indicare che ci basta un

o elemento per far si che la scrittura sia vera. In realtà in una successione

illimitata superiormente ci sono infiniti n che rispecchiano questa caratteristica

ma a noi basta trovarne uno

• Illimitata inferiormente

o

Ciò che noi dobbiamo fare con le successioni non è tanto disegnarle ma più che altro

descriverne l’andamento. Potrebbero capitare (come abbiamo visto dagli esempi in classe)

tre situazioni in particolare:

• Si avvicina ad un numero l

Per chiarire cosa significa “si avvicina ad un numero l” noi prima di tutto

o identifichiamo il nostro numero l e dopo di che stabiliamo un Intorno di l, ovvero

un insieme di numeri che stanno tutti vicino a l e che si spostano sia a destra

sia a sinistra di un raggio r, come una sorta di recinto. Per quanto riguarda

questo caso stabiliamo un raggio molto molto piccolo ma comunque uno

qualsiasi e lo indichiamo generalizzandolo con la lettera greca . È importante

adesso che gli elementi della successione entrino in questo intorno, non

importa se tutti, ma ciò che conta è che ne entri uno in particolare e dopo di lui

tutti i successivi.

o

• Va a +infinito

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In questo caso bisogna prendere un intorno di + infinito, che chiaramente non

o esiste ma cerchiamo di immaginarlo come un numero M molto grande che

definisce l’intorno di +infinito

o

• Va a -infinito

o

Adesso vediamo un po’ di nomenclatura e definizioni

• È convergente se

• È divergente se

• È oscillante o indeterminato se

• È regolare se ha limite (convergente o divergente)

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Dimostriamo questo teorema che dice che se esiste il limite di una successione allora questo

è unico.

Dim: per assurdo supponiamo che ci siano due limiti tali che l1≠l2 e di conseguenza

consideriamo anche i loro intorni tali che la loro intersezione sia vuota

Allora possiamo dire che:

•

•

Detto ciò possiamo considerare

Quindi concludiamo che

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Adesso facciamo delle osservazioni:

Se è regolare, è limitata?

Se è limitata, è regolare?

Vediamo Se è regolare. Essa può:

• Convergere, questo implicherebbe che la successione sia limitata

• Divergere, questo implicherebbe che la successione sia illimitata in particolare se

superiormente tenderebbe a +infinito se inferiormente tenderebbe a -infinito

Per comodità dimostriamo solo il caso in cui la successione converge:

Dim:

Se da un certo n segnato in poi tutti i valori rientrano nell’insieme vuol dire che tutti quelli

prima di n segnato non ci entrano, e quindi sono più grandi o più piccoli del limite l e quindi tra

loro si possono trovare le maggioranti e i minoranti della successione.

Non vale il viceversa, se una successione è limitata non per forza è regolare. Un esempio è

A questo punto possiamo dedurre che:

• Se una successione tende a +infinito è

Illimitata superiormente

o Limitata inferiormente

o

• Se una successione tende a -infinito è

Limitata superiormente

o Illimitata inferiormente

o

Disegniamo il mondo delle successioni

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SUCCESSIONI MONOTONE

Introduciamo il concetto di successione monotona, che ricalca le definizioni di monotonia

che abbiamo già visto ai precorsi.

•

•

Per quanto riguarda le successioni monotone esiste un teorema molto importante che

stabilisce la regolarità delle successioni monotone:

TEOREMA DI REGOLARITÀ DELLE SUCCESSIONI MONOTONE

Convenzionalmente consideriamo la successione monotona crescente

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Considero il

Analizziamo il primo caso in cui S è un numero reale:

•

• La funzione è monotona crescente, quindi

• Quindi se a con n segnato è maggiore di S – epsilon e se a con n è maggiore di a con n

segnato e se S è maggiore di a con n si può scrivere la definizione di limite:

•

• Questo dimostra che se una successione è monotona è anche regolare

Analizziamo il caso in cui S è infinito:

•

• La funzione è monotona crescente per ipotesi quindi

• E quindi, come prima, vale

• Ne discende la definizione di limite

Quindi possiamo dire che se una successione è monotona è limitata essa è convergente.

Se una successione è monotona e illimitata essa è divergente.

Se una successione è monotona crescente può tendere o al sup o a +infinito.

Se una successione è monotona decrescente può tendere o all’inf o a -infinito.

Non vale il viceversa: se una successione è monotona è regolare ma se una successione è

regolare non è detto che sia monotona.

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TEOREMI DEL CONFRONTO

Abbiamo visto la definizione di limite e i vari comportamenti delle successioni. Adesso

vediamo dei teoremi in cui vengono confrontati i comportamenti di 2 o più successioni

confrontandole tra loro:

1. TEOREMA DEL CONFRONTO

a. i.

ii.

iii. 1.

iv.

b. Dimostrazione:

i. Supponiamo per assurdo che a>b

ii.

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1.

2.

iii. Consideriamo

1. a.

b.

2.

c. Ne discende che:

i. Se abbiamo 2 successioni legate da un maggiore o uguale o da un

minore o uguale e sappiamo che entrambe ammettono un limite allora

possiamo applicare la funzione limite ad entrambe le successioni senza

cambiare il verso della disuguaglianza. Insomma, quando si passa al

limite si conservano le disuguaglianze al più si attenuano. Cosa vuol dire

si attenuano?

1. Supponiamo di avere

2. Quando si passa al limite

3. Esempio:

ii. Corollario:

1.

2.

3. a. Dimostrazione:

i.

ii.

iii.

2. TEOREMA DEL VALORE ASSOLUTO

a. i.

b. Dimostrazione:

i.

ii.

iii.

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1.

iv. Riscrivendo:

1.

c. Con questo, se dovessimo calcolare il limite di un oggetto dentro un modulo,

potremmo omettere il modulo, calcolare il limite in maniera classica, e alla fine

fare il modulo del risultato ottenuto.

d. Per questo teorema non vale il viceversa: con il teorema affermiamo che se una

successione tende ad un limite a allora il valore assoluto della successione

tende al valore assoluto di a, ma non possiamo affermare che se il limite del

valore assoluto di una successione tende al valore assoluto di a allora quella

successione senza modulo tende ad a. Un esempio è (-1) alla n, in modulo

tende a 1 ma senza modulo il suo limite non esiste. L’unico caso in cui vale il

viceversa è nel caso in cui il limite sia 0.

3. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

a. i.

ii. a≠0

iii. 1. Cioè a con n ha lo stesso segno del limite da un certo punto in poi

b. Dimostrazione:

i.

ii.

iii. 1.

4. TEOREMA DEI CARABINIERI

a. i. 1.

ii.

iii.

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b. Dimostrazione:

i.

ii.

iii.

iv.

v. 1.

2.

vi. Ma siccome b con n è compreso tra a con n e c con n

1.

c. Corollario:

i.

ii.

iii. 1. Esempio:

2. Dimostrazione:

a. i.

b.

c. i.

ii.

iii.

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Tutti questi teoremi ci aiutano nel calcolo dei limiti. Adesso passiamo un po’ nel vivo del

calcolo dei limiti vedendo un po’ di caratteristiche di successioni particolari:

• Potenza

o ▪

▪

▪

Prima di continuare dobbiamo vedere alcune regole su come trattare gli infiniti e gli zeri;

quindi, vediamo una sorta di aritmetizzazione di infinito:

SOMMA

PRODOTTO

QUOZIENTE

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LIMITI

Abbiamo già visto come si calcolano i limiti delle potenze. Facciamo un breve riassunto:

• Potenza

o

• Successione geometrica/esponenziale

o q si chiama ragione della successione o base

▪ •

•

• o

o

Dopo aver fatto questa breve panoramica su potenze ed esponenziali definiamo che cos’è un

infinito:

Def:

CONFRONTO TRA INFINITI:

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Analizziamo uno alla volta caso per caso:

1.

2.

3.

Analizziamo questi casi volta per volta:

Se È di ordine superiore a

Questo rispecchia il principio di sostituzione degli infiniti: in una somma tra infiniti gli infiniti di

ordine minore possono essere trascurati. Facciamo una “classifica” delle successioni di

ordine maggiore:

• Tra potenze l’infinito di ordine superiore è quello con il grado più alto

• Tra esponenziali l’infinito di ordine superiore è quello che ha la base maggiore

• Tra l’esponente e la potenza la successione di ordine maggiore è sempre, in qualsiasi

caso immaginabile, l’esponenziale.

Per dimostrare l’ultimo punto si usa il criterio del rapporto per le successioni: