Appunti di Analisi matematica

Si deve sapere che

Supponiamo di avere dei numeri naturali indicizzati con un numero naturale.

, , … , ∈ ℝ ∈ ℕ

1 2

1 1 1 1

= = , = , = . =

Per esempio si potrebbe prendere Oppure possiamo

1 2 3

1 2 3

√ = = .

√1, √2,

1 2 ℎ , ∈ ℕ, ≤ ,

Definiamo quindi per sommatoria degli

∑ = + + +. . . +

+1 +2

= (,

∈ ),

Taylor con resto di Peano, Supponiamo di avere una funzione derivabile in allora abbiamo visto

0

′

) ( )( ) )

() = ( + − + ( − → ,

che posso scrivere abbiamo dunque un polinomio

0 0 0 0 0

)

( + ′( )( − ),

di grado 1 uguale a f quindi differisce dal polinomio per un resto che è infinitesimo

0 0 0

lim )

(− 0

− = = 0 ( − )

rispetto a cioè per avere una quantità di serve avere una f che può

0 0

→ −

0 0

essere derivata più volte in 0 (, (,

: ) → ℝ ∈ )

Per definizione data una funzione e se la funzione è derivabile n volte in ed

0 0

(, ()

) ≤

almeno n-1 volte nel resto dell’intervallo allora esiste un unico polinomio ed una

():

fuznione

() () () )

() = + = ( − →

0 0

()ℎ

∶

Il polinomio ( )

0

( )

() ∑ −

0

!

=0

Scritto in maniera esplicita: ′′

( ) ( )

0 0

′ ′′ 2

) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= ( + − + − + ⋯ + −

0 0 0 0 0 0

2 !

(,

: ) → ℝ ∈ (, )

Taylor con resto di Lagrange, data una funzione e derivabili in n+1 volte in

0

(, )\{ } . () = + ()

e n volte in Allora ed esiste z compreso tra :

0 0 0

−1 +1

()( )

−

0

()

=

( + 1)!

Dico un punto compreso fra perché a priori non so quali dei due valori sta a destra o sinistra, quindi

0

parlo semplicemente di punto compreso.

Soprattutto nei limiti è utile

conoscere Taylor infatti se

dobbiamo calcolare

lim sin − ,si può utilizzare Taylor:

→ 0 −log 1+ −1 2

)

sin = + ( = 1 + + () log = + ()

2 2

+( (

)− )

sin −

Così avremo: = = ℎ è

−log 1+ −1 1++()−(+())−1 ()

Andiamo avanti negli sviluppi:

3 2 2

4 2

) )

sin = − + ( = 1 + + + ( log(1 + ) = − + ()

6 2 2

3 3 3

4 4 4 4

− +( − +( − +( − +(

)− ) ) )

sin − 0

6 6 6 6

Così avremo: = = = = = =0

2 2

2 2 2

2 2 )

−log 1+ −1 +( 1+( ) 1

2 )

+ +(

2 2

)−(− ))−1

1++ +( +( 2 2

2 2

11. convessità

una funzione si dice convessa quando, dato un intervallo ed una : → ℝ, si dice convessa in I se,

presi due punti qualsiasi sul grafico di f il segmento che li unisce è sopra il grafico di f.

in formule si dice che:

f è convessa in ∀ , ∈ < ∀ ∈

1 2 1 2

(0,1) ℎ: )) ) )

( + ( − ≤ ( + (( − ( ))

1 2 1 1 2 1

Se la stessa disuguaglianza vale con il < allora la funzione si dice

strettamente convessa

Invece una funzione si dice concava se − è , strettamente concava se

− . Se andiamo a scrivere in formule una funzione concava è uguale a:

)) ) ) ))

( + ( − ≥ ( + (( − (

1 2 1 1 2 1

Come per la concavità se scriviamo > allora f si dice strettamente

concava

Per calcolare la convessità consideriamo ⊂ ℝ , : → ℝ 2 sono

equivalenti:

1- è convessa o strettamente convessa

2- ′′ è debolmente crescente o strettamente crescente

′′ ′′

3- ≥ 0 > 0

Dire che f è crescente vuol dire che diciamo che il coefficiente angolare sulla tangente cresce, e questo

vuol dire che se noi pensiamo alla retta tangente come un punto che tocca il grafico a mano a mano si

sposta sul grafico e così facendo va a cambiare inclinazione ruotando, così possiamo dire che “la

tangente ruota in senso antiorario”

Se prendiamo un ⊂ ℝ , : → ℝ , allora e convessa in ⇔ ∀ ∈ il

0

))cioè,

grafico della funzione è sopra la retta tangente nel punto , ( ∀ , ∈ :

(

0 0 0

)

() ≥ ( + ′( )( − )

0 0 0

Concava se vale il ≤, strettamente convessa se vale > ≠ e strettamente concava

0

se vale > ≠

0

dato un ⊂ ℝ , : → ℝ, punto di flesso se la funzione è

0

derivabile in e desiste un intorno ⊂ : à

0 0

′

) ( )( ))

() − + −

((

0 0 0 \{ }

0

−

0

′

)+ ( )(− ))

()−(( 0 0 0

Dire che non cambia di segno vuol dire che il grafico della funzione passa da

− 0 ′ ()

sopra a sotto la tangente o viceversa, se invece = ±∞( è ), è , e

0

se la funzione è convessa in un intorno destro di e concava in un intorno sinistro di allora si

0 0 0

dice punto di flesso a tangente verticale, un flesso verticale è un cambiamento di convessità con un

flesso verticale

12. studio di funzione

Data una funzione () bisogna andare ad eseguire una serie di passi, () viene di solito assegnata

senza specificare il dominio

1- Determinare l’insieme di definizione della funzione

2- Determinare l’insieme di continuità della funzione

3- Determinare l’insieme di derivabilità della funzione

4- Vedere eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui

5- Studiare la monotonia della funzione

6- Trovare punti di massimo o di minimo locali

7- Determinare massimo e minimo della funzione oppure estremo superiore e inferiore

8- Studiare la convessità della funzione (con eventuali punti di flesso)

Un esempio di studio di funzione: 2

−1

studiamo la funzione () = log|| − 4

||

1- > 0 ⇔ ≠ 0 4 ≠ 0 ← ≠ 0 è ℝ\{0}

2- La funzione è continua in tutto ℝ\{0} (composizione funzione continue e prodotto e sottrazioni

funzioni continue)

3- F derivabile in tutto ℝ\{0} (composizione funzioni continue e prodotto e sottrazioni funzioni

continue)

4- Per vedere gli asintoti dobbiamo fare i limiti ai bordi e sui punti non interi al dominio:

2

lim −1)

( 1

() = log|| − = log|| − + = +∞

- −∞ 4 4 4

−

lim 0 1

− |

log|0 − + = −∞ − 0 − ∞ = +∞

- − −

→0 )

4 4(0

lim () = +∞

- +

→ 0

lim () = −∞

- → +∞

Abbiamo un asintoto verticale di equazione = 0 e non ci sono asintoti orizzontali, vediamo gli

asintoti obliqui:

lim lim

() 1 1 1 1 1

= (log|| − + ) ∗ = 0 − + 0 = − , = −

- → +∞ → +∞

4 4 4 4 4

lim lim 1 1

() − = log|| − − + = +∞

- → +∞ → +∞ 4 4 4

Non c’è asintoto obliquo per → +∞ e neanche a → −∞ perché i conti sono uguali

5- Studiamo la monotonia della funzione: 1

(log ) =

log > 0

log|| = { (log||) = { 1 1

log(−) <0 (−1)

(log(−)) = ∗ =

−

1

Quindi possiamo notare che la derivata di log|| =

2

1 − +4−1

′ ()

() = log|| − + = conferma che è derivabile ovunque tranne che in = 0

2

4 4 4

Il denominatore è maggiore di 0 in tutto il dominio, allora il segno della derivata della funzione è