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OSSERVAZIONE:
se è una soluzione di con molteplicità
( )
= 0 > 1
0 ( )
∗
2 −1 sono soluzioni di linearmente indipendenti.
⇒ , , , ⋯,
0 0 0 0
Dimostrazione: ( )
∗
è soluzione di
Supponiamo di avere una radice con e dimostriamo che anche ,
à 0
( )
∗
risolve .
ovvero che la funzione 0
( )
� = 0
′
( )
� = +
0 0
0 2
′′
( )
= 2 +
� 0 0
0 0
2 3
′′′
( )
= 3 +
� 0 0
0 0
() −1
( )
= +
� 0 0
0 0 ∗
() (−1) ′
Equazione omogenea: )
(
+ + ⋯ + + = 0
−1 1 0
−1 −2 −1
( 1)
+ + − + + ⋯ + + + = 0
0 0 0 0 0 0 0
−1 −1 1 1 0 0
0 0 0 0
−1 −2 −1
[ ( 1) ] [ ]
− + = 0
+ + ⋯ + + + ⋯ + +
0 0
−1 1 −1 1 0
0 0 0 0
−1 −2
[ ( 1) ] )
(
− + = 0
+ + ⋯ +
0 0
−1 1 0
0 0
Essendo per cui la seconda parentesi quadra è
una radice del polinomio caratteristico )
(
= 0,
⇒
0 0
nulla. . Infatti:
La prima parentesi, invece, rappresenta la derivata prima di calcolata in
( )
0
−1
( ) + + ⋯ + +
= −1 1 0
′ −1 −2
( ) ( 1)
= −
+ + ⋯ +
−1 1
Per ipotesi, la radice ha molteplicità Ciò significa che il polinomio lo possiamo scomporre come:
> 1.
) ( )
( ) (
= −
0
′ −1 ′
( ) ( ) ) ( )
( ) (
= −
+ −
0 0 ′
Poiché per cui calcolando per , il prodotto si annulla.
( )
> 1 ⇒ − 1 > 0, = 0
In questo modo si dimostra che anche la prima parentesi si annulla. .
( )
∗
la funzione è una soluzione dell’equazione differenziale
⇒ 0 −1
In modo analogo, se la molteplicità si dimostra che tutte le funzioni del tipo sono
> 1, 0
soluzioni.
SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE NEL CASO DI RADICI COMPLESSE
(dato un polinomio di grado a coefficienti reali, per ogni radice complessa c’è sempre anche la sua
coniugata)
Se è una radice complessa del polinomio caratteristico: )
( = 0
= +
0 0 0
( )
∗
associata ad essa ci sono due soluzioni dell’equazione differenziale :
⇒
cos( ) sin( )
,
Se è una radice complessa del polinomio caratteristico con molteplicità
= + > 1:
0 0
cos( ) sin( ),
⇒ ,
cos( ) sin( )
,
… …
−1 −1
cos( ) sin( )
,
( )
∗ linearmente indipendenti, che perciò
sono tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
corrispondono agli elementi della base.
SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE COMPLETA
() (−1) ′ )
( ) (
+ + ⋯ + + =
−1 1 0
L’insieme delle soluzioni sarà: ( ) ( )
( ) +
=
Dobbiamo determinare una soluzione particolare.
Distinguiamo due casi che differiscono per il termine noto :
( )
( )
( )
1) =
( ) cos( )
( )
2) = ( ) sin( )
è un polinomio di grado
dove .
Nel caso esiste polinomio, nel caso esistono polinomi tali che le funzioni:
( ) ( ), ( )
( )
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
+
( )
sono soluzioni particolari di . Inoltre, e hanno grado se e non sono radici del
( ) ( )
+
polinomio caratteristico; mentre sono polinomi di grado del tipo:
+
( )
= � + + ⋯ + �
0 1
( )
= � + + ⋯ + �
0 1
se e sono radici del polinomio caratteristico con molteplicità
+ .
ESEMPIO:
′′′ equazione lineare completa di ordine 3
− 8 =
Equazione omogenea associata:
′′′ − 8 = 0
3 2
( ) ( 2)( 4)
= − 8 = − + 2 + = 0
−1 − √3
= −1 ± − 4 =
√1 −1 + √3
2
= 2 = 1 → − cos�√3�
= −1 + √3 = 1 − sin�√3�
2 − −
( )
= + �√3� + �√3� ∀ , , ∈ ℝ
1 2 3 1 2 3
? soluzione particolare ?
( )
=
= 1 = 0
= 0 = 1
polinomi tali che:
( ), ( )
∃ ( )
è soluzione di
( ) ( ) ( ) ( )
+
Controllo se il numero complesso è una radice di ( )
+ = e cioè
non è una radice e hanno lo stesso grado di ( )
( ) ( ) 0.
⇒
( )
⇒ =
( )
=
( )
= +
∃, :
Impongo che la funzione appena trovata sia soluzione dell’equazione differenziale completa. Per cui
( )
calcolo le derivate e le sostituisco in .
′ = − +
′′ = − cos −
′′′
= −
8( )
− − + =
( ) ( 1)
− 8 + − − 8 − = 0 8
= −
− 8 = 0 = 8 65
� � �
→ → 1
− − 8 − 1 = 0 − − 64 − 1 = 0 = − 65
8 1
( )
= − − <
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