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Derivata Parziale
F: A⊆Rn→R Xo∈A A aperto
Deriviamo derivata parziale di F in Xo = (Xo1,...,Xon) lungo l-esima direzione, con i = {1,...,n} , e la denotiamo con ∂F/∂xi(Xo), come il seguente limite, se è finito
limh→0 = (F(Xo+hei1)-F(Xo))/h
Derivabilità Funzione n Variabili
F: A⊆Rn→R A aperto si dice derivabile in Xo∈A se F ammette tutte le derivate parziali.
In tal caso indichiamo con ∇F(Xo) vettore derivate parziali di F in Xo, cioè ∇F(Xo) = (∂F/∂x1(Xo),...,∂F/∂xn(Xo))
E lo indichiamo come gradiente di F in Xo. F derivabile su A ⇒ F derivabile in ogni punto Xo∈A
Curve
f: I⊆R→Rm t→(f1(t),...,fm(t)) con fi: I⊆R→R per i∈{1,...,m}
Arco Curva Regolare
F: J⊆R→Rm J intervallo aperto tale che f∈C1(J) e f'(to)≠o ∀to∈J
In tal caso risulta ben definito il versore tangente T(to) = f'(to)/|f'(to)| e dipende con continuità da to
Differenziale Secondo
f ∈ C²(A) A ⊂ Rⁿ aperto xₒ ∈ A
Si dice differenziale secondo di f in xₒ
d²f(xₒ)(h) = ∑i=1ⁿ ∑j=1ⁿ ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ (xₒ) hᵢhⱼ
Max|Min Assoluto
f: A ⊂ Rⁿ -> R xₒ ∈ A
xₒ è punto di max (min) assoluto debole per f su A
ed f(xₒ) è max (min) assoluto debole per f su A se
f(xₒ) ≥ f(x) (f(xₒ) ≤ f(x)) ∀ x ∈ A
Max|Min Relativo
f: A ⊂ Rⁿ -> R xₒ ∈ A
xₒ è punto di max (min) relativo debole per f su A
ed f(xₒ) è max (min) relativo debole per f su A se
∃ U intorno xₒ: f(xₒ) ≥ f(x) (f(xₒ) ≤ f(x)) ∀ x ∈ A ∩ U
DIFFEOMORFISMO GLOBALE
F:A⊆ℝn→ℝⁿ A APERTO SI DICE DIFFEOMORFISMO GLOBALESE F∈C∞(A), F GLOBALMENTE INVERTIBILE SU A, FUNZIONEINVERSA F⁻¹, F⁻¹(A) = A È DI CLASSE C∞(F(A))
DIFFEOMORFISMO LOCALE
F:A⊆ℝn→ℝⁿ A APERTO SI DICE DIFFEOMORFISMO LOCALESE F∈C∞(A) ∀x₀∈A ∃ U⊂A INTORNO SU CUI F ÈINVERTIBILE, CON INVERSA DI CLASSE C∞
DIFFERENZIABILE
F:A⊆ℝn→ℝ A APERTO SI DICE DIFFERENZIABILE IN x₀∈ASE ∃a∈ℝⁿ: F(x₀+h)-F(x₀) = a·h+o(‖h‖) h→0cioè limh→0‖h‖F(x₀+h)-F(x₀)-a·h‖h‖ = 0con a = ∇F(x₀)
DIFFERENZIALE
F:A⊆ℝn→ℝ A APERTO È DIFFERENZIABILE IN x₀∈A,SI DICE DIFFERENZIALE DI F IN x₀ LA FUNZIONELINEAREdf(x₀) ℝⁿ→ℝ h→∇F(x₀).h
Dimostrazione Teorema 1
Xo ∈ E1 = {x ∈ Rⁿ : f(x) > 0}
Dimostriamo che xo è interno a E1.
Poiché f è continua, dal teorema permanenza del segno segue che esiste un intorno sferico Uℓ(xo) su cui f si mantiene positiva.
Uℓ(xo) ⊂ E1 quindi xo è interno a E1. Perciò E1 è insieme aperto.
Analogamente si dimostra E2 = {x ∈ Rⁿ : f(x) < 0} è insieme aperto, usando teorema permanenza del segno.
E3 = {x ∈ Rⁿ : f(x) ≠ 0} = E1 ∪ E2 quindi E3 è un insieme aperto dal teorema 2.
E4 = {x ∈ Rⁿ : f(x) ≤ 0} è insieme chiuso perché E4 = E2 ∪ E5
E5 = {x ∈ Rⁿ : f(x) < 0} è insieme chiuso perché E5 = E1
E6 = {x ∈ Rⁿ : f(x) = 0} = E4 ∩ E5 quindi E6 è un insieme chiuso dal teorema 2.
Teorema NPC
F: A ⊆ Rⁿ → R A aperto F ∈ C²(A) assumiando che in x₀ ∈ A valga ∇F(x₀) = 0. Se la forma quadratica è:
- definita positiva (negativa): x₀ è punto di min (max) locale forte
- indefinita: x₀ è punto di sella
Caso dubbio: se la forma quadratica è semidefinita positiva (semidefinita negativa) ma non identicamente nulla, allora x₀ è un punto di min (max) locale debole oppure di sella.
Teorema Convessità e Ieripiano Tangente (IT)
Ω ∈ Rⁿ insieme aperto e convesso F: Ω → R funzione differenziabile allora
- F è convessa su Ω se e solo se ∀ x₀, x ∈ Ω si ha F(x) ≥ F(x₀) + ∇F(x₀) (x-x₀)
- F è strettamente convessa su Ω se e solo se ∀ x₀ + x ∈ Ω si ha F(x) > F(x₀) + ∇F(x₀) (x-x₀)
Teorema Convessità e Matrice Hessiana (HE)
Ω ∈ Rⁿ insieme aperto e convesso F ∈ C²(Ω)
- se ∀ x ∈ Ω d²F(x) è semidefinito positivo => F è convessa
- se ∀ x ∈ Ω d²F(x) è definito positivo => F è strettamente convessa
Teorema Moltiplicatori Lagrange - Caso di una Funzione di n Variabile e unico Vincolo Descritto da una Funzione di n Variabile
Siano f, g ∈ C1 (D)n ⊂ Rn punto estremo vincolato sotto il vincolo g(x)=b.
Se ∇g(x*)≠0 allora esiste λ* ∈ R detto moltiplicatore di Lagrange tale che ∇f (x*) = λ* ∇g(x*).
Funzione Lagrangiana
ℓ (x1,..., xn, λ) = f (x1,..., xn).
∇f = λ∇g(x1,..., xn)
Teorema
f: [a,b]×[c,d]→R continua sul rettangolo R=[a,b]×[c,d]⊂R2.
Allora f risulta anche integrabile su R.
Teorema Riduzione per un Rettangolo
F: [a,b]×[c,d]⊂R2→R continua. Allora
∬[a,b]×[c,d] F(x,y)dxdy = ∫cd ( ∫ab F(x,y)dx ) dy =
- ∫ab ( ∫cd F(x,y)dy ) dx
y trattata come costante
x trattata come costante
LINEE DI LIVELLO
f(x,y)=x2-y2
Γr={(x,y)∈ℝ2|x2-y2=r} r∈ℝ
r=0
x2-y2=0
(x-y)(x+y)=0
y=x
y=-x
x2/k - y2/k = 1
a = b = √k
y=±b/a x
f(x,y) = log (x+y)/(x-y)
x-y > 0
x-y > 0
N)O, x-y > 0 y > x
D)O x-y > 0 y < x
INSIEME APERTO e ILLIMITATO
f(x,y) = √ cos(x2+y2)
√cos(x2+y2) >= 0
- y > 0
- cos(x2+y2) >= 0
π/2
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