Appunti di Analisi matematica 1 sulle successioni numeriche

Successioni numeriche

Funzioni: siano X, Y 2 insiemi; ma non vuoti una funzionef da X -> Y è una legge che associa ad ogni elemento x ∈ Xuno ed un solo elemento Y ∈ Xsi scrive f : X -> Y f(x) = Yy si dice valore di f in Xx si dice argomento

L'insieme X si dice DominioL'insieme Y si dice Codominio

L'insieme f(X) := {f(x) : x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃ x ∈ X t.c. y = f(x)}⊆ Y, si dice Immagine di f

Il grafico di f è definito come l'insiemegraf(f) := {(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)} ⊆ X × Y

caso speciale: Funzioni Reali di una variabile RealeX ⊆ ℜ_x ℜ_y ⊆ Y f : X (⊆ ℜ) -> Y (⊆ ℜ)In questo caso graf(f) si può rappresentare nel pianocartesiano

y

Successioni Limiti e Serie

Funzioni siano X e Y 2 insiemi: una funzione f da X a Y è una regola che associa ad ogni elemento x ∈ X uno ed un solo elemento g ∈ X.si scrive f : X → Yf(x) = yse y si dice Valore di f in x x si dice Argomento.

L’insieme X si dice Dominio.L’insieme Y si dice Codominio.

L’insieme f(x):: = { f(x) : x ∈ X } = { y ∈ Y; ∃ proprio x ∈ X | tc. y = f(x) }y si dice Immagine di f

k grafico di f è definito come l’insieme

graf (f) = { (x,y) ε x x y³ ; .y = f(x) } (⊆ x x y)

Caso speciale: Funzioni Reali di una variabile RealeX ⊆ ℜ y ⊆ ℜf : X (⊆ ℜ) → Y (⊆ ℜ)

In questo caso graf(f) si può rappresentare nel piano Cartesiano

y

Definizione:

Una successione numerica è una funzione "a" reale di variabile reale, il cui dominio è N:

θ: N → R

ossia una "regola" che ad ogni m ∈ N associa un unico a(m) ∈ R. Generalmente si usa la notazione:

a_m = a(m) e {a_m}_{m ∈ N}

Grafico di una successione

{(m,a_m) ∈ R² : m ∈ N}

Esempi:

• a_m = m
• a_m = ^m/₂
• a_m = ^m-1/_m+1

Osservazione: Alcune successioni a_n possono avere senso per alcuni valori di m ∈ N. Più in generale sono successioni anche le funzioni con Dominio X:

Similitudine di successioni

Una successione si dice:

• Limitata Superiormente Se esiste M ∈ ℝ tale che a_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ
• Limitata Inferiormente Se esiste m ∈ ℝ tale che m ≤ a_n, ∀n ∈ ℕ
• Limitata Se è limitata sia superiormente che inferiormente ossia se ∃ L > 0 tale che |a_n| ≤ L
• Illimitata Se non è limitata superiormente o non è limitata inferiormente.

Monotonia di successioni

Una successione a_n ∈ ℕ si dice monotona crescente (rispettivamente strettamente crescente) se a_n ≤ a_n+1 (rispettivamente a_n < a_n+1), ∀n ∈ ℕ. Agire con ogni invertiti per la decrescenza.

Limiti di successioni

• Successioni convergenti Definizione: Si dice che la successione a_n ∈ ℕ è convergente ad un certo L ∈ ℝ se ∀ ε > 0 &exists; mε ∈ ℕ tale che |a_n - L| < ε per ogni n > mε

e in tal caso si scrive.

Significato:

\(\forall \epsilon > 0 \ \exists m_\epsilon \in \mathbb{N} \ \text{tale che}\)\(a_n \in (l - \epsilon, l + \epsilon) \ \text{per ogni} \ n \ge m_\epsilon\)

Per ogni intorno di \(l\) si ha che \(a_n\) appartiene definitivamente all'intorno

Osservazione: I fatti "più" di \(m_\epsilon\) sono sempre in numero finito e possono comportarsi in qualunque modo.

Convergenza: posso cambiare i valori di un numero finito di elementi \(\{a_n\}\) dell'accrescimento e il limite non cambia.

ATTENZIONE!! La definizione è data per ogni \(\epsilon > 0\) e l'indice \(m_\epsilon \in \mathbb{N}\) dipende DA \(\epsilon\).In particolare se prendo \(\epsilon > 0\) più piccolo allora in generale avrò un \(m_\epsilon\) più grande.

Unicità del limite.TEOREMA: Se \(\lim a_n\) esiste allora è unico.