Appunti Analisi matematica 1 sulle successioni

E' N

f(x) dominio

ha

che

una come

(an)n

R

fiN D

- = li indico

punti

I D

del con n ie termine

immagini generale

Le f(n) an e

con anche so

e

& lo disegneremo

codominio semplicità orizzontale

per per

,

Successione limitata superiormente An

canIn IneN

lim ER

FUER an

e sup se : mi

. >

.

Successione limitata inferiormente an

IneN

can)n imf h

FRER

lim an=

se

è imm

:

. . h

Successione illimitata superiormente an

canin IneN

XKER

eiee K

an>

Sup se m

: A

.

Successione illimitata inferiormente An

canin 2

theR

ite IneN

Inf an

es

e : un

=

. . 7

er

Successione limitata An

Canin FKER KneN

IneN < ancK

lim Se

e : i I

. , h

Successione illimitata An

IneN

canIn lan1 M

IM>0

e iee :

Le : mmmune

. M M

-

Sup di una successione limitata superiormente

(an)

Definiaur

Sia (an)n lin sup

Sup

. . condizioni

le

verifica sequenti

che

1) mmms

AneN

ans , 7

2) AEER IneN anY S-E

:

Sup di una successione limitata inferiormente

imf(an)

(an) Definiamo

Sia Inf

eim . . condizioni

le

verifica

che seguenti An

1) i FEN

an imm

,

e) i

i E

FreN E

FETO an +

: +

Sup di una successione illimitata superiormente

(an)

(an) Definiamo

Sia su

ile 0

sup +

=

. .

Sup di una successione illimitata inferiormente

(an) inf(an)

Definicuno

Sia ile int -

-

=

. . 6

Esempio ↑

1

an ! !

= n rrr)

1 I

1

n -

= 1/2

2

n - d

= E

line+ LIMITATA

0

=

1/3

3

n -

= 1/4

4

n >

-

=

Esempio

1)

(

an -s's

-

= -

r

1 1 SALTELLA

n P

- -

= 2 1

n -

= 2

3 x

-

n = -

Esempio

An 12 INFERIORMENTE

LIMITATA

I is

! >

= ... il (an)

Inf(an) MIN

1 perché compreso

che e

T =

1 1

n -

= SUPERIORMENTE

ILIMITATA

n 4

2 -

= lim *

n 00

+

=

9

3

n -

= 0

n - +

Esempio volte

10

in 1

10

E PER n 10

=

1 Sto

=

an 0

⑧ 7

: 1 I

in -1 -

11

11 sempre

PER n sto

n >

- =

Quindi in 1

an = -

Esempio ↑

(-1)" (-17

an line

I I I 0

= =

n R

-5

2 n

- > 0

-

& -

1

n 1

x

-

= - x 1/2

2 -

n = 1/3

3

n x

- -

= 1/4

4 -

n = 7

L’INTORNO

vicini INTORNO

essere D

= & l

intervallino

INTORNO in

centrato

=

* I

I

I >

(e r)r

I l 0

r

- + e

e

= , r r

- +

Devo della

descrivere il movimento successione

I

az !

an as

as ma

Esempio 9

=

an l'intorno e

1) fisso di siano

imtorno tutti gli poi

im

da

al

controllo che

2) elo canto

an un

ci punto

EmeN

Ante

: -

liman l Dan

= =

/

Esempio 1)

(

1 -

an an

= =

n R e

er(an)

e- R = l E

V(2 An

n(d) eN

2) Dl E =

In = an

-

5 e +

>

: -

- + = =

, E

Il sempre

-

E E

an-2

An>

n (E)tN B

FET In n =

D

: =

= - t

= in

d

=

11 =

/an-e1

(2) eN E

An>

In

* 230 n

n D

: =

=

=

Esempio tim n

no

an 0

+

= =

n 20

>

-

(M) M

FM>0 n

EN An

55 an >

5 : D

> =

=

? n(M)eN An M

AM30 n2

In n

> >

:

= =

Il NVn N

An>

FM>0 nCM)aN n

In >

n =

: -

=

,

= mai 8

Esempio

2 0

= S n2 sempre

<

-

! V d

Anr = - <n

(9)

30 e N

= :

= n E mai

Esempio

lim an D

-

=

n 0

= + n2

lin -a I 7

0

-

- = 4

--

n 0

= + Je N

*& I mu

An n >

ant

=

: =

c a

- - - M

-

-4)

( 8

- , (M)

* An

In M

M 0 n

> n D anc

x

: = -

= i

(converge(teude) el

lirm ad

an=1- R convergente è

Cann una successione

e

se =

0

n >

- regolane converge

se

finito

lim numer

quan un

é diverge cioè auette

o ,

al

line (diverge limite

(Anin divergente ad +xo-

=

An

se N e

-00

oppure

= +

0

n +

-

tutto ciò INDETERMINANTE Oppure

rimane fuori dice

che oscillante saltella

ei

Esempio 0

(-1)"

an -n !

I

= 7

-2

3 A

-

1 1

n -

-

= limite

ha

fra

oscilla c

e non

o

+ -

2

2

n D

-

=

n 3

3 D

= -

- 4

4

n -

=

Esempio

( -1)" 1) Id

An 7

n

- .

= 6

r

=

1 c)

2

n (0

oscillaure

-

x

= - -

,

x 0

2

n -

= 3 6

n D

- -

= 4 0

n -

=

Esempio 1)

[1

2(

n - 1 'z

È

(1) r

an 7

-

-

-

= . n - 1

&

> va verso

0

2 -

n 1

fr-1e

occillante

= 42 I ↑

2

n -

= PARI

bisPar

=

3

n b

- -

= 3/4

D

4

n -

= 9

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

Il aimite la detta

infat oscillante

c'è

existe successione

se

non sempre e

non .

, (illimitata) (limitata)

successione

Quando la

evinte divergente

regolare convergente

e

e .

le

Inoltre existe mico

quando .

,

canin lim De

1

I l'unico

an=

se =

> 0

n - h lz

+

DIMOSTRAZIONE dei Il

per 11

assurdo Il 1112

↑

s

an 0

-> 3 =

en

12 lz

an ->

Come l'intorno tale

la la

scelgo in la

modo

prima definizione limite

scrivo ed

che

di

cona e

intersezione disgiunti)

abbiano quindi

(sono

vota Zen

In bre An

corrispondenza Ile

di anz

->

=

:

In IneN 112

Un

corrispondenza Ilz

di ane

->

: n)

max[n

↑

i Anxn-

frame Iez

Fisso Il

grande

più >

un ant

ant

: :

= , ,

I

ASSURDO

Da implicazioni

delle d

sunsiziono

ceorema

questo V

C

: . . .

1) finito)

(limite Canin

Cann limitata

Se CONVERGENT

allora TUE LE Succ

=

converge è .

,

dim SONO LIMITATE

: e ER

an -> Il ⑪

⑳ i ·

las as

l Anx

37.5EN

l Ve Le

n =

In G and

- + :

= - in

i

gli da

ci poi

an un

vanno ? Prendo l'h piccolo

tutta

" sbarro"

Come la pini

euccessione

quindi limitata

pini

il cosi la successione

graude

e é

, (-1)"

LIMITATA saltellante

I Converge es :

LIMITATA Oliverge

D (-1)"

illimitata

DIVERGE D n

. inferiormente

limitata

illimitata

DIVERGE D

A ma

superiormente

è è

a

+ = limitata

illimitata inferiormente superiormente

DIVERGE D

A è

ma

c è

=

- oliverge

ILIMITATA SUPERIORMENTE D do

a +

1]n

[C -13

es : + INSIEME DELLE SUCCESSIONI

le limite

hauw

regolari divergono

successioni convergono

o

sempre o

,

SUCCESSIONI CONVERGENTI

&

: (-1)"

·

⑧ .

~( 1) n

1)

- +

(2-1 1)n

~ -

r M

!ŒÈ>) e n2

D 0

+

... n

D -0

I D

D -

&

&

+ - 8) 1)n

superiormente (

il -

N

Ein 1

⑱

·

, R

ate indeniormente Cimitate

⑧ SUCCESSIONI MONOTONE

hanno limite

saltellano

non sempre

, calano

sx

all'ultimo

primo

das valone verso

se vano 01x ...

(an) AneN n2

Se an

MONOTONA CRESCENTE Ant es

e :

n , -n201

Can) AneN

an Ant

MONOTONA es

DECRESCENTE Se :

e , n )

(fondamentale

TEOREMA REGOLAzoNe MONTONE

DI CONDI

delle DA SAPERE

SUCCESSIONI .

,

(an) (AD

MONOTUNA REGOLARE

=D

n )

(v

supponiamo

dim che

restrizioni

COSTRUT senza ..

:

Cann CRESCENTE

MONOT

e .

FneN

ip an an+1

: , 8)

Its (numero

an-ol

: + faccio

sempre)

(5 il

superiore limite

che

il

prendo vedere

e e

XeReve

supcans

prendo s =

(I) 1)

seR AneN

S an

= !

, S'-

2) FE s-E

IneN an>

>0 :

FreN an

n an

n

: --Eänan=s+E s+5

-E an la limite

definiz di

è S E)

D(s-E

FE>0 An

IneN <an +

: = # (an)

lin S

=

0

n >

-

(I) Canin e' SUP

S ILLLIM

=

c

= + .

.

#

FMTO M

InEN an>

: ân

an

in

An an=

5 an

= I M

an

an > M

An EreN An Dan

> I >

> : =

1

#

lim +

an =

n 0

- +

Cann

Se allora SICURAMENTE Convergente

MONOTONA LIMITATA

e è

e ,

Se SICURAMENTE

Cann DIVERGENTE

ILLLIMITATA

MONOTONA allora

è e

e , ? e

illimitata

MONOTONA imferiormente

superiormente

puo'

Se ed perché

no

essere se

è illimitata DIVERGE

monorona INFERIORMENTE

CRESCENTE LIMITATA

Se MONOTONA sicuramente

è saná

? termine an

ie primo

l'ho

Ce Si

minimo

un e

,

Se MONOTONA LIMITATA SUPERIORMENTE

DECRESCENTE sicuramente

è sana

? it

l'ho termine de

Si

Ce massimo primo

e

un , REGOLARI