Appunti di Analisi matematica 1 sulle derivate

=D

& siretamente monotona al

quando

Se

VALE

RIPERCORRO una

avessi

NON

LADIM monotonia stretta

P OK N

E P passo

S

: : ,

.

. . . , la

limite la Quindi

disuguaglianze ie perche

rimane dim si

sempre si non

annua

com . .

, facciamo

falsa

Per l'esempio

indicare

significa

adara che sia

che

sia vera

non non

ma :

, .

x3

f(x) Strett crescente

.

= M

↑ f(x) im

positiva

3x2 annulla

perche' zero

stremamente su

non e

=

f'(0) 0

= la f'puo'

>Quindi venire

esiret auche

Crescente tero

se . f

f'è la

negativa

la e

positiva ci

cio'

Se stren siren monotona

o

. ,

, invertibilita

invertibile monotonia

fe la

dire perché sirena

una

serve se

per D

=

, 3

f

f(x) I

im

Se è strenamente

· xe crescente

>0 Dominio intervallo

= selupe el

, x-cI

f(x) im I

f

Se decrescente

strettamente

co è

· =

, -

q

I f(x)

f(x) = -

= = !

è Inoltre

non monotona sappiano che queste

# ohue implican

proprietà che

DIREMMO STRETAMENTE

CHE E invertibile

f

DECRESCENTE EDINVECE e

7

... SUFI)

(condizioni

Perché il dominio connesso

un

non e a)

D 0)r(0

( 0

: +

- , , olominio

del

lavorassimo allora

se or

su

a o

f

che

dire decrescente

crescente

porremmo strett o

e .

f(x) 3 &

3 invertibile

2 perché

Es continua

è

x-cosx - =

: + +

= a)

(

I 0 +

-

= , (quantita

f(x) sicuramente

3x2 3 e sirenamente

perche simx

bimx positiva

2

& strettamente +

+

= + loro

la viene

simx1 3xex

positivo sirettamente

1

perche e

0 o

menire

< Somma >

,

- ,

invertibile)

Quindi f è .

stremamente crescente f(x) e

E &1

lim

=

se =

A x

AD

f R AcR

A ->

x

e

To

con

-

: ,

# olenivata da

ea ax

allora e

(Ixol ,

I feC

IxcA

supp : -D

. e

f'()=

5 22

lim

-[x0} analogamente se

foenivabile Ixo

in x

x -

22 denivara

la da

Ixe allora è sx

num

~I ↓

Preso x f(x0)

f(x) -

R(x) = xo

X - it limite

facciamo

ne

e

& [x0

denivabile x) x]

e (X0

f im

sicuramente e ,

, ↓ Appl Lagrange

. f(x)

f(x) -

x)

Ice(x0 fi(c) =

:

, X Xo

-

Perciò R(x) f'(C)

Xo

X

per : = D79xR(x)

lim f(x)

5

Supp x f(x)

lim

I

* che >

=

. =

xot x

x -> +

ne it limite

calcolo R(x)

A di

mi

se

Nello th.

la regole i

denivazione

denivabilità

stuolicue applicare che

pento di

non sono

posso

in me ove

,

it assoluto

alla il

assoluto

dove it limite

fare

valure radice

valore on

penti non

spezza ecc

es posso

...

, ,

la

della olenivaia denvata

RCx) che esiste

ma se ottengo

,

ES : 2)D

(x

f(x) R

x2 :

+ -

= im

? lo

In valori

denivabile tu e

è so

non se

ma

,

it valore assoluto

problemi denivabilità

Ho olew studiare la

per , .

calcolo decirca

la in X 1

=

assoluto leggi

in

Tolgo il val due

e spezzo :

bf(x) 2x 1

x2

f(x)

1 1

xx x +

· +

= =

-

= =

Df(x)

Df(x) 2x

x2 1 1

x(1 x

= +

= = -

· - = R(x) ox

Per faccio

im il ie

del

denivabile denivare

limite eim delle

capire X 1 o :

e su

o

se = ,

2x 2

Mi s lie

f(x) 1 x )

-

= =

- denirabile

& angoloso

ho

im ed punto

non x un

=

30

lim- 1

2

e f(x) =

+

= it

1 +

ES :

f(x) x(x) R

D :

=

E'denivabile ? forse

turi

In im O

non X

punti ma

i =

Calcolo denivata

la im X FO Df(x)

x2

Df(x) 2x

=

xx0 =

· = =

x2 Df(x)

Df(x) 2x

xc0 =

= -

=

· =

-

lim

Faccio olx sx

e

Icem

eim =

0 -

->

0 x

x -> - eadenivata

percio f'col=0 ie

=

ES : 0x

x2

f(x) R

D

1 :

+ +

= ?

im

Problemi 1

X = -

denivata

Calcolo la im +-1

x

f

f(x) 1

2x + ·

= 3

132

?

denivabile in

E 1

x -

=

f - 3

lin 2

2x +

+ -

= x

3

n

1- autoanvericale

(x 1)2

-

x 3

- + 0

+

f

ein 2x e +

I =-

3

It

- (x

x 1)2

3

- +

x2eimI I

ESix X 8

E #

+ I DA

, SAPERE

b

= I

0 0

x =

,

?

continua

0 e

x =

f(0) 0

= simt

lim x2

f(x)

eim 0

=

= 0I

0 x

x =

-> oscilla 2

⑧

f(0) C(R)

- ?

E'detivabile f'im

Calcolo tutti 0

x =

2xximk-coe

x2cos(

2xximp -2)

f(x) = - =

+

?

im x 0

= 8

0 L I

=

I -

- I

sink - con

lin =Oscilla fra

2x 1

0 R(x)

x lim

-> 5 lim faccio

=

0

lin 2xsimk-con era

Oscilla 1

=

=

0

->

x ein

E

ximk-0 sin

f(0)

f(x) flco

- * denivabile in e

x 0

0

R(x) =

n =

=

=

= = x

X x

0 0

-

-

OSSERVAZION S

x2eimI X *

8

E + xeim 0

x

-cos

, =

,

ficx

f(x) =

= x

0 0

= 0

x =

, , I I

I

((0)

5

lim D f'k

ye denivata

della ⑱

= 7

.

Quindi continua

la denivara e'

ce non

ma C

f'è

Se f funzione Came

e derivabile continua la dice di

· si

e

fe((A) fe

f im

derivabile A im A

continue

e e

funzione

In la 91

di came

e

questo caso non

Nella C la clence 2

clame è compresa

I

& . imfinite volte

infinite l'ane

oscillazioni attraversa

vicino allo zero x .

, (elanex)

significa grafico

taugente

im

f'esinte la al

se

che

Siccome o

,

(0 la f

0) E volte

imfinite

&(0) Io

0 nell' attraversa

0 questa

y

= =

, ,

# FUNZIONE CONVESSA .......

: convessa"

piana

figuna

poligono

angolo -"-

...

convesso convesso

> > ·

-

.... (

.... . -

.... -

-

f

Intervallo DIR

b]

[a

convesso : -

, ·

A r convessa

a non

⑧ convessa

-

⑧ - funzione)

/parte

& [a l'epigrato

im b] piano la

o insieme

convessa un

e convesso

e

se sopra :

, f

1 b]

La DR convessa

è be

: -

,

........... (Xo f(x0

f coond

grafico

del qualunque

convessa preso

e punto

un

e con . ,

,

f(x) princiale tutte

che

quel

che

trovare sta

per punto

para

rea

a una ,

xo)

-f(x0) m(x

il grafico PASSANTE PUNTO

UN

RETTA PER

y

sotto = - .

.

b]

Axot[a Xx-[a b]

f(x)

ImelR f(x) m(x x0)

>

: + - , .

,

Per la

trovare dew Trovare

reta m :

, incrementale

rapporto

f(x0)

f(x) - 3

bexxx0 7 I

n

01x X o

-

x0)

f(x) f(x) R

m(X (x) (x)

R

= m

- - < = +

-

f(x0)

f(x) - <m

se x <xo x

x

SX -

il limite

Quando faccio di f(xd

la

trov

R-(x) xo

x

per ->

R le f

2x) (x0)

trow

xot

per x ->

+ +

f

fi f

(x0)

(xr) f

se( (x0)

(x0) m

e

- =

+ +

- - = I

↑ olenivaña

denivana olx

sx f (x0)

(r)[f

implica che

cio' - +

f'(x0)

E denivabile in =Dmxo

I Xo

se è =

ES : f detivabile

anche

/x)

f(x) convessa

e una e

non

se

=

i

·

~

↑

~

~ (deve la f)

fosse devirabile

Se mx = f'(xo) resiaty

Che

A e' eserci

la

ce

se

,

~

~ chalance RETTA

col SUPPORTO

è

CONVESSITA

-

b]

[a

f : ,

detivabile f(x) f(x0) f(xo)(X [a

& x0) b)

kx

> xot

convessa be + - ,

, ,

M

concava -f

f CONCAVASe

I-b convessar

e e

: f

ho

la

Quindi ribalto convessa

una

se

convessa

I

I . .

CONVESSITA

TEST DI

R

I

f : -

intervallo

I = 7

f(((I) Lagrauge

I

derivabile

f in

è I

(1) f

N

DIMOSTRAZIONE P f(x)

ts in

econvessa=D

: e crescente

monotona

:

.

. xzI f(x)

fx f(x) x1x-

= =

,

f(x0)(x

f(x) f(x0) x0) I

Xx

> x e

- I

+ ,

fisso I

Xz x 2

X de

x2 <

e con kz

,

Sostituendo Xo

X X2 x

e :

= 1

=

[ f(xz)(x1 xz)

f(x)

I

f(x) f(x) =

f(x)(x xz)

f(xz)

- - -

+ - membro

membro

sommo a

f(x)(x2 x)

f(x1)

f(x) = f(x) -f(xi)(xz x)

f(x)

-

+ - -

fi(x1)(xz

f(xz) f(xz)(x2

f(x2) xz)

f(x1) xz)

f(x2) = - +

+

- -

- fi(x2))

x1)(f(x2)

0 (Xz

> - -

- f'(x2) f(x)

NEGARVO

PRODOTTO siccome X2 x230 0

->

ma -

- =

, * f(x2)

f(x2) d

V monoiona

C crescente

. .

.

=

fs

I

f'monotona in

(0=)

p I

f

in

S convessa

crescente : è

.

. f(x) f(x0) f(xo)(x x0) fx

cioé I

x=

> -

+ ,

,

C

↓ [Xo xS

to

Lagrange