Appunti di Analisi matematica 1 sulla continuità

S

· :

=

: (maggiorauie)

1) f(x) Ax In

s =

,

2) e)

(mi

f(x)<s 5 abbaro

VE<0 5x da

: -

# f(xn3ss-

FneN Ixne In b

in

an

:

(2 i)

= bu

an= 1

In ↓

↓

x Xz

z ** bfzC(ta b)) f(x) f(xz)

bf((x)) lim

xn x

- =

=

th =

CC => -

pez , x2

x

. =

Sapendo quindi che definizione de

anche

so pen :

I

line f(x2)

f(x) <f(xn)

= s S

-

x x2

-> = ↓

f(xz)

f(xn)

Ponte ↓

Applicoth D -

=

che .

e S

S I

X2

Xn -> th CC

S per . )

(c

f(xn)

f(xn)--f(xz) perth

Infine Ponte f(xz) d

che

quindi che

sapenolo che

-s S V

so

e = -

.

. .

,

Se it fosse invece

sito

up o

+

f(x)

sup 00

+

=

In ↓ f(xn)

AneN Ix In > n

= :

che

siccome so f(x) bu

line f(xz) an In

e

= =

x

->

x ↓

2 ↓

xz x2

F th CC

xz .

.

Applicand Donie

il th .

bf(x))

f(xn) -

An Xc

->

Dato f(xn)

che n

> f(xz) la

puo perche quota nel

essere

che non

cosa

0

+

= fomito

ha

dominio numero .

f(xn) n

> I

↳ &

+

f(xn) - 0

+

Percio's fluito

deve in

essere numero

Ol

Th C V

. .

. compand

(quindi

LIMITATO

CHIUSO

LAVORARE UN INSIEME

IN

ES : [0 1) v [2

A 3]

= , ,

13032)

A [0

= . 2)

(per analisi

GENERALE

TH WEIERSTRASS

. A O

f AcIR

A Dr

: - +

1) A compatto =Df min

e

max

curate

2) 2(A)

f =

Adattabile gei Spaz

a ri TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

I

Supp intervallo

: = limitato

(non necessariamente chiuso

8 ICR I

F-bR connesso e

: =

((2)

f

Ip =

: tra immagini

valoni

f one

assume compres se

tra

-D a chiamo

I

cioe be e

x e

x

: .

,

Yz f(xz

⑳

. f(x)

- yz

y =

= ,

I ⑳

- che

supp y

e Y2

y ,

- ⑳

, (ye yz) f(x)

Fyc

Allora 7x= 1 y

:

I

I =

I > , Le

Xz

Xi l'immagine)

x

DIMOSTRAZIONE

ausilioniag(x)

feuz

↓ . (y 42)

Fyc

y(x) FISSIAMO

f(x) Y

y ,,

-

= ?

5x=1 f(x)

ts y

: =

: continua

e

f(x f la

g(x siccome continue perché una

) è e

0 g

y

) =

y ye

= =

- - ,

,

, . continua

di

differenza costante

ue

f(x)

g(x)) 0

>

y

yz

y

= =

- -

Siccome significa da

xyz(y yz) y y

by <

= ,

,, Il

Il f(xz)

f(x, y

< <

ge((I) im

in enege

x x pos

2

im

continuer

ed Xi

X

è 1,

ge([x1 xz))

,

Xot[x

5 x)cI gei

:

, faxx =

=

R ye fatto

coolominio è

elzü in Tale

maniera da essere

it

intervallo dominio

In re

intervallo

c'm .

be intermedi

val.

th dei diventa :

A

Ac

R

fiA O

= =

E A

2 connesso

c &(2)

= intervallo

connesso

è

=> =

f(((2)

Le int im

fanz lo

continue mandano

conservato in

connessione un

. .

,

imiervallo

altro .

?

VICEVERSA VALE

IL ha il

f

se intervallo

codominio che intervallo

olominio dire

ed

ne

è posso con

un

è ,

, ?

funzione continua

la NO

che sicuramente

certezza è

M

E

I 3

a b

e

non 4

monotona discontinuità

l'unico di

Se salto

tipo plausibile

f discontinua inXo quelle

monotona

è e a

è

DIMOSTRAZIONE A

xo =

N faccio prendo

le

trae it

Tutte grande

mi it

prendo di più

sx

parti sup

e

⑧ ,

E I

- Xo

x ->

f crescente

monotona

ein f(x) f(x)

seep xo

x <

=

Xo-

x ->

Bxo+ f(x)= in f(x) xo

< forta

& 22 per

e

f(x) f(x0) ime f(x)

=

sup = la

essendoci

x

<XD X0

x salto

dis a

11 f(x)

eim lin

f(x) f(x0) =

=

x0 xot

->

x x

-> Il Il

91 lz !

discontinuita

le la salto

=lz forza exemoloci

per a

DISCONTINUITA

LE AVERE

POSSONO

MOMOTONE COME SALTO

A

QUELLA

FUNZ UNICA

.

Quindi : I

intervallo

I

se = ((1)

intervallo Df(

f(2) = =

monotona

f è R

R & in X--> 1

per discontinua

assurolo I

I , CODOMINIO

CODOMINIO -

# codominio -

il E

E essere

non può

~ vale

il

quindi

intervales viceversa non

un imm

imm , . DOMINIO

DOMINIO PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI

O

A

Ac

f A R

: - =

,

A

INIETTIVITA fx f(x1) f(xz)

zA

iniettiva

e Se x

x1

: x + =

=

, ,

, distinti

corrispondono

distinti

punti A

A nel codominio

di due punti B

A

B

A X

⑰ * X

X

*

*

& E iniettiva delle

Traccio

le

;

... A

orizzoniali Non inieriva

queste

rece

~ Toccano e

X S

il grafico sola volta

usa X

** * 7

X

x

SURIETIVITA emunieniva coolominio l'insieve

it

I d'arrivo

corrisponde

no com

ne

: .

A -

e f(A)

- -

insieme di anivo

↳ a

:

3 ......

-

.... 7

" NON SURIETIVA

SURIETIVA

ENVITA bieniva

f invetiva

B suniettiva

: contemporaneamente

è e

se e

corrispondenze

hanno Corrispondenza

del

i

Tutti recondo

primo 1

1

puti nel :

.

FUNZIONI PARI E DISPARI

0

f AcR A

A-DR simmetrico O immmm D

rispett

: a

,

, I

-

f PARI f(x)

se f(-x) all'are

simmernice

ede rispetto

é y

= f(x)

Se f(-x)

DISPAR

fé all'origine

simmernica

co rispetto

è

= - M

R A N

- 7

>

> D D

P

P ↑

segmi)

(come

&

PARI

&

12 DISPAR

PARI PARI

DISPARI

PARI

di di DISPARI

prodotto DISPAR

oli E

e e i

e è

è

,

f

In l'origine

f(0)

disponi allora

lo nel olominio passa

una re zero sta per

, ,

f

A

0 DISPARI

= XxeD

x) f(x)

f( - = ,

- f(0)

f( 0)

- =

-

f(0) f(0)

=

- Df(0)

2f(0) 0 0

=

= =

PERIODICITA : A

A-DR

f ACR FO

: ,

f T) A

f(x)

>0x f(x Xxc

T

periodica periodo

di

è + = ,

Ogni T le riperomo

quore si

,

A N

coseno

seno ets

W et ↳

"

0 T T

A

INVERTBILITA FCA) faccio it

scambio inverso

a

: percorso

com

Ac

R

A A O

f invertibile INIETTIVA

e

è re

: - , f(A)

f(A)

A 0 x

X D X

X ⑧ ⑧

BISETRICE

N N A

.... ........ .......

I

f(x) =

Y ⑳

...

I 7 -

~ l'inversa

e

... l'inV-

~ Ca

è

siessa ~

MONOTONIA : Ac

f R

A -

: alominio) Xx f(x)

f(x)

xxeA

& nel

due

monotona punti

crescente presi <x

x

è se =

, =

,

, ,

A

MONOTONA ~

CRESCENTE ↑ tratto cosiaute

7

da dal basso l'alto

ox

ex verso

a va fx f(x2)

Pf(x)

decrescente A

monorona x

x

è x2 >

=

se ,

,

& ,

A

MONOTONA 4

DECRESCENTE tratto cosiaute

- 7

da dall'alto

de il basso

ex a verso

va costanti

Ci le f

o che possono contemporaneamente

decrescenti

crescenti

sono e

essere sono

e

,

a 7

& f

stremamente decrescente

crescente

monotona strettamente

monorona

e è se

se

fx f(x2)

fxy

Df(x

xzAixxz bf(x)

f(xz) xyAixx2

)< >

=

,

1, = , A

M I

- >

solo

invertibilità legate f invertibile solo

perche

monotonia e

ed sono monotone una

strettamente

se Xx)

(un

quando invetiva valore

solo di

è y

f(x)

f(x) invertibile

strettamente monotona D

= .

*

A

f(x) I invertibile

in questo caso e

I

= i perche'

! prima

ma monotona

non e

* (X (Xs

xc) x4)

sale

poi

scemole ma

* ky > , ,

invertibili

funzioni

Le

Trite poi non sono

· ;

funzioni periodiche invertibili

le

Trie sono

non

· ;

FUNZIONI COMPOSTE

g

f B C

A ↳ (f(x)

f(x)

·

· X !

(qcomposto 2)

gof PASSAGGIO

DUNICO

= Se

laf

si finire dominio

solo decea

fare

Non nel

quando coolominio

puo' a

sempre va g .

, della

della dominio

deve seconda

nel

prima necessariamente comienuro

essere .

Ac

3 IR

f A

: =

f(A)cB gof A R

D -

= :

1 R BCIR

B

:

g -

ESEMPIO M

3

f(x) x

X -

=

A IR mi

=

f(A) IR

= d

X

g(x) = >0)

{x

B =R x

:

=

f(A) B fare

la

quindi la

& posso

composizione non sarebbe

l'operazione matematica della composizione

comunque

ma :

,

(y-f)(x) g(f(x)) 1

x -

= = -> funzione

nuova

mi

Abbia rimpicciolando olominio

modificato il prima

della

f ,

Anziche Tutta soli

& positivi

di

prendere ne prendo nu numeri

pezzo num

. I

, ,

PROCEDIMENTO

Prima tutto la

oi composizione

si opera

veolo olominio della

il composi

veolo al della prima

olominio

coincide

ne

In quindi i