Appunti di Analisi matematica 1 sulla continuità

Definizioni e proprietà delle funzioni

Sapendo quindi la definizione, applico il teorema di Weierstrass. Un intervallo limitato (non necessariamente chiuso) è connesso. Tra i valori di immagine di una funzione continua su un intervallo connesso, esistono valori compresi tra quelli di partenza e di arrivo. Quindi, se una funzione è continua e definita su un intervallo limitato e connesso, allora assume tutti i valori intermedi tra quelli agli estremi dell'intervallo.

Aggiunta di continuità

Se una funzione è continua su un intervallo limitato e connesso, allora la sua immagine è un intervallo. Inoltre, se la funzione è invertibile, deve essere monotona. Una funzione continua definita su un intervallo limitato ammette massimo e minimo.

Discontinuità e monotonia

Una funzione discontinua in un punto può avere una discontinuità di salto. Se una funzione è monotona su un intervallo, allora può essere discontinua solo in un numero finito di punti. La monotonia garantisce l'invertibilità della funzione in un determinato intervallo.

Proprietà delle funzioni

• Iniettività: Una funzione è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.
• Suriettività: Una funzione è suriettiva se il codominio coincide con l'insieme di arrivo.
• Parità: Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all'asse y; dispari se è simmetrica rispetto all'origine.
• Periodicità: Una funzione è periodica se esiste un periodo T tale che f(x + T) = f(x) per ogni x.
• Invertibilità: Una funzione è invertibile se è iniettiva e suriettiva. Una funzione invertibile ha un'unica corrispondenza tra i suoi insiemi di partenza e di arrivo.

Funzioni composte

La composizione di funzioni è un'operazione che richiede attenzione. Se hai una funzione f di A in B e una funzione g di B in C, la composizione g(f(x)) è definita se l'immagine di f è contenuta nel dominio di g. Bisogna verificare che il dominio della funzione composta sia ben definito.

Ad esempio, se f(x) è una funzione da R a R e g(x) è una funzione da R a R, la composizione g(f(x)) è definita su ogni x in R per cui f(x) appartiene al dominio di g.