Appunti di Analisi matematica 1 sui numeri complessi

Lavagna dei numeri complessi

C = { z : z = x + iy , dove x,y ∈ R }

"i" _{unità immaginaria}

x = Re(z) _{parte reale di z}

y = Im(z) _{parte immaginaria di z}

Esempio

z = 3 + 2i

z = π + 1/2 i

Operazioni su C

Siano z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂ 2 numeri complessi.

Somma

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Prodotto

z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + y₁x₂)

Esempio

z₁ = 2 + 4i

z₁ + z₂ = 9 + 5i

z₂ = 7 - i

z₁z₂ = 10 + i30

Osservazione

Dalla definizione del prodotto segue che

i² = i·i = -1

i = 0 + 1i

Re(i) = 0

Im(i) = 1

Interpretazione geometrica dei numeri complessi

Lavorare con i numeri complessi

C = {z: z = x + iy, Dove x,y ∈ R}

"i": unità immaginaria

x = Re(z) parte reale di z

y = Im(z) parte immaginaria di z

Esempio

z = 3 + 2i;

z = π + 1/2 i

Operazioni su C

Visto z₁ = x₁ + iy₁ e z₂ = x₂ + iy₂ 2 numeri complessi.

Somma

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

Prodotto

z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

Esempio

z₁ = 2 + 4i

z₁ + z₂ = 9 + 5i

z₂ = 7 + i

z₁z₂ = 10 + i30

Osservazione

Dalla definizione del prodotto segue che i² = i.i = -1

i = 0 + 1i

Re(i) = 0

Im(i) = 1

Interpretazione geometrica dei numeri complessi

z = x + yi = (x, y) ∈ R²

z = x + i y (x, y) ∈ ℝ

x, y ∈ ℝ

coordinate cartesiane in ℝ² (ℝ x ℝ)

Piano cartesiano

Piano di Gauss

Possiamo identificare i numeri complessi con i punti del piano

ℂ ≃ ℝ²

Esempi:

i ≃ (0, 1)

2 + i ≃ (2, 1)

3 ≃ (3, 0)

Osservazione

I numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi (un sottocampo)

ℝ ⊂ ℂ

{ z ∈ ℂ : Im (z) = 0 } ≃ {(x, y) ∈ ℝ² : y = 0}

NB: i numeri reali sono punti sull'asse della x

NB: per i numeri reali le 2 operazioni definite si

riducano alle operazioni di somma e prodotto

Attenzione !!

ℂ non è un campo ordinato (a differenza di ℝ)

non ha alcun

senso scrivere

z₁ > z₂

OSSERVAZIONE

Re

si dicono insieme dei numeri

Immaginari Puri.

Immaginari Puri

• 2i ~ (0,2)
• i ~ (0,1)
• 3/2i ~ (0, 3/2)

i è un numero immaginario puro.

Coniugato Di un numero complesso

Dato un numero complesso

si definisce "coniugato di

Esempio

z = 3 + i → 3 - i

z = 3 - i → 3 + i

z = → -

Dato un numero complesso

z = x + iy , x, y ∈ ℝ

di definisce modulo di z il numero reale

|z| = √(x² + y²) (⩾ 0)

|z| ∈ ℝ_⩾0

|z| è la lunghezza del segmento da O a z ossia la misura di "distanza" di z dall'origine.

(Teorema di Pitagora)

Attenzione

z = x + iy

|x| ⩽ |z|

|y| ⩽ |z|

Esempio

Calcoliamo il |z| dove z = ₁ + √³₂ i

|z| = √(₁² + √³₄) = 1

• z² = |z|²

z_z = (x + iy)(x - iy) = x² - ixy + ixy - i²y²

= x² + y² = |z|²

(i² = -1)

• z² ≠ |z|²

Esempio

z = i ; z² = i . i = -1

≠

|z|² = |i|² = i² = -1

• |z| = |z|

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| Disequazione Triangolare

Coordinate polari (o trigonometriche) in ²

Un punto del piano si può rappresentare (oltre che con la coppia di coordinate cartesiane) con coordinate (ρ, θ).

Dove ρ (ρ > 0) è la distanza dall'origine e θ è l'angolo in radianti formato tra l'asse x e il vettore che unisce o al vettore.

• Formule per passare da coordinate cartesiane (x, y) a coordinate polari (ρ, θ) e viceversa.

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

ρ = √(x² + y²)

tg θ = y / x

θ = arctg (tg θ)

= arctg (y / x)

Rappresentazione trigonometriche o polare in C

Utilizzazione di coordinate polari (ρ, Θ)

Z = x + iy = ρcosΘ + iρsinΘ

= ρ(cosΘ + isinΘ)

dove ρ = |z| è il modulo

Θ è detto argomento di z

→ non è unico ma è definito a meno di numeri di 2π

Notazione: con arg(z) indichiamo l'insieme di tutti gli argomenti di z.

Un elemento dell'insieme arg(z) si chiama "determinazione dell'argomento".

Indiciamo con Arg(z) l'unico elemento di arg(z) che appartiene a [0, 2π) e si definisce determinazione principale.

Esempio

Z = ^√3/₂ + i ¹/₂ → Forma algebrica

x = ^√3/₂ y = ¹/₂

ρ = √(^(√3)/2₂ + (¹/₂)²)

tan Θ = y/x

Θ = arctg(y/x)

Θ = arctg(^1/2/_√3/2) = 30 = π/6

z = ρ cos θ + ρ sin θ

z = cos π₆ + i sin π₆

Interpretazione geometrica del prodotto

Abbiamo definito

z₁ = x₁ + i y₁

z₂ = x₂ + i y₂

z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + y₁x₂)

Diamo la rappresentazione polare per z₁, z₂

z₁ = ρ₁ ( cos θ₁ + i sin θ₁ )

z₂ = ρ₂ ( cos θ₂ + i sin θ₂ )

z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [ cos θ₁ cos θ₂ + sin θ₁ sin θ₂ ] + i ρ₁ρ₂ ( cos θ₁ sin θ₂ + sin θ₁ cos θ₂ )

= ρ₁ρ₂ [ cos ( θ₁ + θ₂ ) ] + i [ sin ( θ₁ + θ₂ ) ]

z₁ = ρ₁ ( cos θ₁ + i sin θ₁ )

z₂ = ρ₂ ( cos θ₂ + i sin θ₂ )

quindi

{ |z₁z₂| = |z₁| |z₂|

arg ( z₁z₂ ) = arg ( z₁ ) + arg ( z₂ )