Appunti di analisi e geometria 1

Name: Appunti di analisi e geometria 1
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Author: Pierpaolo_bonelli

Revisionato il 10/07/2026

di Pierpaolo_bonelli

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Appunti completi di analisi e geometria 1. Tutto il necessario per risolvere gli esercizi e rispondere alle domande di teoria all'esame.Numeri reali e complessi: numeri reali e proprietà, …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Muratori Matteo

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

98 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Numeri reali e complessi

Numeri reali

N = {0; 1; 2; 3}

Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}

Q = {^m⁄_n m, n ∈ Z, n ≠ 0; 3}

- ^a⁄_b e ^c⁄_d sono equivalenti se ad = cb

se b > 0 e d > 0
^c⁄_d > ^a⁄_b ⇔ ad > cb

- Q è una classe chiusa rispetto alle operazioni algebriche elementari ( ; ; · ; : )

- N. classe chiusa; se l'insieme dei numeri razionali ottengo i numeri razionali

Radici

i numeri irrazionali mostrano grande lacune se si considera ad esempio l'operazione di estrazione di luna radice
Def se a ∈ R, si dice l'a un numero b > 0 tale che b² = a
Teorema √2 non può essere un numero razionale (^√2 ∉ Q)
Dim: per assurdo √2 ∈ Q
possiamo supporre che m e n siano primi per loro
^Elevando al quadrato m² = 2 ∗ n²
Quindi m² pari ⇒ anche m pari ⇒ m = 2k per k ∈ N
sostituendo nelle (2)
n² = (2k)² ⇒ u² = n² - 2k²
Quindi n² pari ⇒ anche n pari ⇒ n = 2l per hi ∈ N
quindi m e n sono numeri pari. Questo è assurdo
quindi sono primi tra loro
C.v.d.

Numeri potati R

Def (assiomatica)

- direzioni, alle :

in un'accensione di R in cui continuiamo ad essere definite le operazioni di somma e prodotto:
s1: commutativa a+b=b+a
s3: associativa (a+b)+c=a+(b+c)
s5: ø un solo ele che moltiplichiamo con 0; tale che aø = a; aø
s6: detto eamento l'opposto che indichiamo con il simbolo di -a, ovvero un numero tale che a+(-a)=0 per brev. R<(-b) scrivono, a-b

P1 commutativa a

P2 associativa (a-b) c = a (b-c)

Numeri Reali e Complessi

Numeri Reali

N = {0, 1, 2, 3}
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Q = ^m/_n con m, n ∈ Z, n ≠ 0; ^a/_b e ^c/_d sono equivalenti se ad = cb

- se b > 0 e d > 0

- ^a/_b = ^c/_d ↔ ad = cb

R = una classe chiusa rispetto alle operazioni algebriche elementari (+, -, :, ⋅)

la classe chiusa; se popo di numeri, razionali, ottengo i numeri razionali

Radici

I numeri ternari mostrano graduale baluare se si cassiera ad esempio l'operazione di estrazione di luna radice
Def sa a ∈ R, si dice R a un numero b ≥ 0 tale che b² = a
Teorema R non può essere un numero razionale (²√2 ∉ Q)

Dim. per assurdo supponiamo che √2 ∈ Q

Possiamo supporre che √2 = ^m/_n (assumo √2

posso supporre che m e n siano premi tra loro)

Elevando al quadrato √2 = ²/_m² = 2

Quindi m² pari → anche m è pari → m = 2k per k ∈ N

sostituendo nelle (*) n² = 2k²). Anche n = pari → n = 2l per l ∈ N

presenza m e n sono numeri pari. Questo è assurdo sono primi tra loro

C.v.d.

numeri polari R

Def (assimilate)
direttiva, ale:

- R è un sorcertizzione di R in cui continuiamo ad essere definite le operazioni di somma e prodotto che soddisfa le seguenti proprietà (assuntive)

S₁ commutativa a + b = b + a
S₂ associativa - (a + b) + c = a + (b + c)
S₃ E un in role de raddichiamo con 0; tale che a + 0 = a; Va = th (elemento neutro della somma)
S₄ Esiste l'intendo opposto de raddichiamo con il simbolo di -a, ovvero un numero tale che a + (-a) = 0. Per brevità R + (-b) scriviamo a - b
P₁ commutativa a ⋅ b = b ⋅ a
P₂ associativa (a - b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

13)

un numero reale (≠0) due indiciamo con 1/a tale che a·1/a = a · a⁻¹ = 1

a·1 = a

Va (a∈R- {0}) ammette l'inverso due indichiamo con a⁻¹ onde un numero reale tale che a·a⁻¹ = 1 più comunemente e quindi a·b⁻¹ = ^a/_b

sp) distributiva a·(b+c) = ab+ac

Chiamiamo che sia definito un ordinamento, due s'indica con "≤" con le seguenti caratteristiche:

riflessiva: a ≤ a
antisimmetrica: a ≤ b e b ≤ a necessariamente a = b
transitiva: a ≤ b ≤ c ➔ a ≤ cordinamento totale : data una qualsia coppia di numeri reali a, b
valie sempre almeno una fra le due relazioni a ≤ b oppure b ≤ a

Chiamiamo infine due valgano:

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