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Numeri Reali e Complessi
Numeri Reali
N = {0, 1, 2, 3}
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Q = { m/n...
- a/c e b/d sono equivalenti se ad = cb
- se b > 0 e d > 0 a/c < b/d ↔ ad < bc
Note:
- i numeri irrazionali mostrano gradi di libertà se si considera ad esempio l'operazione di estrazione di loro radice
- Def se a ∈ R si dice a un numero b ≥ 0 tale che b^2 = a
- Teorema √2 non può essere un numero razionale (√2 ∉ Q)
- Dim. per assurdo: supponiamo di sì (... m^2 = ...)
Numeri Relativi a R
Def (assiomatiche)
- A1 se in ...
- S1 commutativa a + b = b + a
- S2 associativa (a + b) + c = a + (b + c)
- S3...
- P1 commutativa ab = ba
- P2 associativa (a · b) · c = a · (b · c)
(B2) un numero reale (≠0) che moltiplicato con 1 tale che 1:a = a b ≠ b
(B4) ∀a∈ℝ-∃(B3)-1b
definiamo un'additivo con "1" detto un numero additivo a un numero reale tale che a - 1 più comunemente e scriviamo a-1 = 1 a
(S2) distributiva a(b+c) = ab + ac
Affermiamo che se è definito un ORDINAMENTO, che si indica con < ""
con le seguenti caratteristiche:
- (O1) riflessiva:
- (O2) antisimmetrica:
- (O3) transitiva:
es. equivalente per mostrare le proprietà
∀a, b ∈ ℝ a ≤ b
(1) 0 + a = 1-a = a
inoltre (O2) garantisce che
(1+0): a = 0 + 0 + a . utilizzando (S2)
a + (b+c) = a+0+a
c.v.d.
es. variazione due ± 0 alternative a ≤ b
∀a ≥0 b = (2) 2 + 2 = (0 + a) a ≥0 = 2
Si possono entrare tra le
intervalli limiterai tra i due ≥0 intervallo
Assioma di continuità
L'insieme C dei numeri complessi è costituito da tutti gli elementi
della forma:
z = a + ib a,b ∈ R
s = Re(z) → parte reale di z
b = Im(z) → parte immaginaria di z
Estremo Superiore
Se E ⊆ ℝ (non necessariamente un intervallo)
Def: un numero M ∈ ℝ si dice massimo dell'insieme E se
- ∞ x ∈ E x ≤ E
- M ∈ E
M = max E
∴ analogo con il minimo
Se E ⊆ ℝ limitato superiormente, ma l'estremo è escluso, non si ha un massimo, ma forse si ha un massimo, puede far parte dell'insieme.
Def: λ ∈ ℝ si dice maggiorante di E se λ ≥ x ∞ x ∈ E
Def: se E ⊆ ℝ ∃ &epislon; ∈ ℝ si dice estremo superiore dell'insieme E il minimo dei maggioranti e si indica con e := sup.
L'estremo superiore è caratterizzato da due proprietà:
- L'estremo superiore è un maggiorante di E.
- Nessun numero strettamente minore di E è un maggiorante ok
⇒ sup ≥ x ∞ x ∈ E
∃ &epislon; ∈ ℝ ∃ x ∈ ℝ x > sup ε
Def: un insieme E ⊆ ℝ si dice limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante, ovvero se
- ∃ λ ∈ ℝ ∀ x ∈ E
x ≤ λ
Teorema Un insieme qualsiasi E ⊆ ℝ E ≠ ∅ e limitato superiormente, ammette sempre l'estremo superiore.Dimostrazione: E è limitato superiormente, quindi
- ∃ bα ∈ ℝ ē che è maggiorante di E, in piu E ≠ ∅ - ∃ a2 ∈ ℝ che non è maggiorante
⇒ intervallo [a1, b2]
Costruiamo intervalli decrescenti come segue:
- c = (a2 + b1) / 2
Due possibilità: 1. c È maggiorante di E u a2 = a1, b2 = c
2. c non è maggiorante di E a2 = c, b2 = b1
Dividiamo ora [a2, b2] e ⇒ rimaniamo il ragionamento ottenuto in questo modo una successione di intervalli descrescenti [an, bn].
bn è un maggiorante di E
∀ n ∈ ℕan non è un maggiorante
L'assioma di continuità garantisce che ∃ 1a ∈ ℝ: E23 ≠ ⋃ [an, bn]
Dimostrazione che 1 = sup ε
&dzigr;'¾
Restrizione di una funzione
Siano \(f: A \to B\) e \(D \subseteq A\). Chiamiamo restrizione \(D\) la funzione:
\(f_D : D \to B\), \(f_D(x) = f(x)\), \(\forall x \in D\)
(es. \(f(x) = x^n\) con \(n\) pari)
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) non è iniettiva
(no tuttavia \(f_{[0; + \infty)}\) è iniettiva):
\(f_{[0; + \infty)}(x) = \sqrt{x}\)
Funzioni circolari inverse
- Consideriamo \(\sin x \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]\)
È iniettiva e quindi invertibile
(anche sua immagine nel codominio poiché \(x \in\) simmetria)
\(\text{Im}(\sin_{|\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]}) = [-1, 1]\)
Se considero \(\sin x\), \(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \to [-1, 1]\), è ancora suriettiva e
quindi biettiva. Ammette perciò una funzione inversa:
\(y = \sin x \iff x = \arcsin y\)
\(x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\)
\(y \in [-1, 1]\)
Il discorso analogo vale per:
- Considerando \(\cos x\), \([0, \pi]\)
- \(y = \arccos x\)
Il discorso analogo anche con \(y = \arctan x\), \(y = \arccotan x\)
Estremo superiore e inferiore di funzioni
Una funzione \(f: A \to \mathbb{R}\) è limitata superiormente se la sua immagine \(f(A) \subseteq \mathbb{R}\) è un insieme limitato superiormente. Analogamente diciamo che \(f\) è limitata inferiormente se la sua immagine \(f(A) \subseteq \mathbb{R}\) è un insieme limitato inferiormente, e limitata se lo è sia superiormente che inferiormente.
Definito
\(\sup_{x \in A} f(x) = \sup f(A)\), \(\max_{x \in A} f(x) = \max f(A)\)
\(\inf_{x \in A} f(x) = \inf f(A)\), \(\inf_{x \in A} f(x) := \inf f(A)\)
- analogamente si dice che limx→a⁺ f(x) = +∞ se
∀M>0 ∃x̅>0: f(x)>M ∀x∈D∩(a, a+x̅) a→x→a⁺
- Nel caso f : D⊆ℝ→ℝ con D non limitato inferiormente, diremo che
lim f(x) = +∞ se ∃x̅>=0: ∀x0: |f(x)|0: f(x)0 Mostriamo che lim xa = {
- 0 se 01
• caso: a=0 e a=1 sono banali
• sia 0 1 fissiamo M > 0 e ci chiediamo quando
xa >M
ln xa > ln M o x ln a > ln M (NB: ln a > 0)
o x > lnM / ln a vero
Il numero di Nepero (e) si definisce tramite il limite
e: = limx→±∞ (1+ 1/x)x ∈ ℝ
limx→±∞ (1+ 1/x)x = e
limx→0 ln(1 + x) = 1
osservare che 1(1+x)x = [(1+x)1/x ]x poiché γ = 1/x ln (1+x)1/x = ln(1＋γ)γ
se x→+∞ γ→0 limγ→0 ln [1+x]1/x = limγ→+∞ ln [1+γ]1/γ = ln e = 1
limy→∞ e−1/(ln y) = 0
infatti, ponendo y= ex−1 (x→∞, y→∞), x = ln (y+1)
ln e−1/(ln y) = x−1 = ln(y+1)
passando per
come detto
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