Appunti di Algebra e geometria (Teoria)

INSIEMI

A: insieme

a: elemento di A

a ∈ A

∅: diagramma di Venn

∈: per elevazione

A = {a; b; c; d}

• N: numeri naturali
• Z: numeri interi
• Q: numeri razionali
• R: numeri reali
• C: numeri complessi

Per indicare con contenere l'insieme:

• A = {2m | m ∈ N, 1 ≤ m ≤ 500} per proprietà
• A = {2, 4, 6, ..., 1000}
• A = {1 ^m/3 ⁿ | m ∈ N, 1 ≤ m ≤ 30}
• A = {¹/₁, ¹/₂, ¹/₃, ..., ¹/₃₀}

Simboli della logica

• ∀ per ogni (quantificatore universale)
• ∃ esiste (quantificatore esistenziale)
• ∃! esiste solo e soltanto
• ⇒ implica (implicazione diretta)
• ⇔ se e solo se (doppia implicazione)

A ⊆ B (se vale A vale anche B, non viceversa)

A: abc

A ⊆ B

B ⇔ ∀ a ∈ A : a ∈ B

A ⊂ B

A ⊆ B

A ∉ B

A ⊂ B

Insieme vuoto

Insieme privo di elementi = ∅

Proprietà: A insieme ⇒ ∅ ⊆ A

Dim: per assurdo

∅ ⊆ A ⇔

∃x ∉ ∅ : x ∉ A

∅ = a

Operazioni tra insiemi (A,B insiemi)

Intersezione:

A ⋂ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

A ⋂ B = A

A ⋂ B = ∅

Unione

A∪B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

Intersezione

A∩B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }

A∪B = B

A∪B = ∅ ⇔ A = B = ∅

Differenza

A \ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }

A = ∅ ⇔ A \ B = ∅

A \ B = A - B

Applicazioni tra insiemi:

Def: A, B insiemi

A × B = prodotto cartesiano di A e B

{ insieme delle coppie ordinate (a,b) con a ∈ A, b ∈ B }

Es:

• A = {2, 5, 8}
• B = {3, 7}

|A| = 3 (cardinalità degli insiemi "n" - elementi)

→ (3;1), (3;2), (1;1), (1;2), (1;3)

In generale dati m insiemi A₁, A₂, ..., A_m

A₁ × A₂ × ... × A_m = {(a₁, a₂, ..., a_m) | a_i ∈ A_i; 1 ≤ i ≤ m}

A × A = A^m

(prodotto cartesiano dello stesso insieme m volte)

Es: ℝ³ = {(x₁, x₂, x₃) | ∀ x _i ∈ ℝ }

(1, √2, 3) ∈ ℝ³

(1, 0, 5, 4) ∈ ℝ³ appartiene a ℝ⁴(ℝ)

Operazioni in un insieme

Def: Dico operazione (interna e binaria) su un insieme A una funzione:

⛶: A × A → A (formale, associo due elementi di A uno ad A):

(a, b) → a ⛶ b

Esempi:

• (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)
• (Q, -), (R, ×), (C, ×)
• ₊, ⁺

Proprietà di operazioni su A:

• Associativa: se ∀ a, b, c ∈ A (a ⛶ b) ⛶ c = a ⛶ (b ⛶ c)
• Commutativa: se ∀ a, b ∈ A a ⛶ b = b ⛶ a

Dimostrazione: ...

Def: Un elemento è detto elemento neutro se e ∈ A su A ⛶ e = e ⛶ a = e ∀ a ∈ A. Esempio: (0, +)

Proprietà: ‹e› esiste in → uno solo!

Strutture algebriche

Def. (A, ⛶) un anello con e, elemento neutro ... Se e ∈ A anestempt. Allora A → campo (non anteriamente)

Esempio:

• (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0)
• (R, ×, 1) gruppo abeliano e campo (senza lo 0 n)

Def: Uno insieme (A, ⛶, o) con 2 operazioni, é detto campo A (Z, -) su gruppo abeliano.

Se (A, o) ha con elemento neutro e' o ⛶u. Prop o ₋₁: a a' con il tengo di A!

• (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×)

Esercizi:

• (Z, +, x) non è un campo
• (Q, +, ×)campo lineare
• (R, +, x) campo complesso

Def: Dati 2 insiemi k e v, si dice operazione esterna su v una funzione:

• k × V → V
• V × V → V

Esempio:

k: R · Rⁿ → R

• k: R → R
• (k, v, w)
• ((1, 2, 3, 1), c⁻)) Rⁿ
• (2, 3, 4) i

k: R · Nⁿ → {{i, j, k}} yg ∈ N{?}

Nota non usate mai i numeri negativi.

Spazi vettoriali

Def: Sono (k, v) un campo scalare (esternal or v) Il presente è interno.

Dico che V è uno spazio vettoriale per K se esiste un campo su v uno spazio su:

• (v₁, . . ., x) ∀ v^-1 ∈ V V
• V(v^-1) = V (R, V) op
• (∃) k(u) = 0v V v

Proprietà: R è un gruppo abeliano. Non rimette interne.

Element: 3, neuter su V prop varducc non nullo verifica

b) ∀ v, r, e, k ∀ v ∈ V (R, ×) ∈ C, vv

b) k, rex, v is Vol (R, v) = k.V e^r C.

R.V→ 0 - vv

Insieme di Generatori

Def: V(IK) spazio vett. A ⊆ V(IK) A ≠ ∅ Si dice chiusura lineare di A l'insieme L(A) dei vettori di V(IK) che si possono scrivere come combinazioni lineari di un numero finito di vettori di A.

L(A) = {v ∈ V(IK) | v = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n , a_i ∈ IK, u_i ∈ A}

NB: A ⊆ L(A)

A = {u₁,u₂,u₃...} v₁ = a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃ + ... v₂ = b₁u₁ + b₂u₂ + b₃u₃ + ... = L(a₁, a₂, a₃...)

Es: A = {(1,2,4), (2,4,8), (3,-2,-4)} ⊆ R³(R) a₁(1,2,4) + a₂(2,4,8) + a₃(3,-2,-4) = (a₁ + 2a₂ + 3a₃, 2a₁ + 4a₂ - 2a₃, 4a₁ + 8a₂ - 4a₃) a₁, a₂ ∈ R L(A) {(a₁ + 2a₂ + 3a₃, 2a₁ + 4a₂ - 2a₃, 4a₁ + 8a₂ - 4a₃) | a₁, a₂, a₃ ∈ R}

Es: A = {(1,2,-1), (2,1,-2), (3,0,2)} ⊆ R³(R) a₁(1,2,-1)+ a₂(2,1,-2) + a₃(3,0,2) = (a₁ + 2a₂ + 3a₃, 2a₁ + 1a₂ + 0a₃, -a₁ - 2a₂ + 2a₃) = (2a₁ - 3a₂ + a₃, -a₂ + a₃, 0a₁) = A_i, x ∈ R³ R L(A) = {(a, 2a, x) | a, x ∈ R}

Es: V = {(5,2,4)} ∈ L(A) ? No w=(2,5,5) ∈ L(A) ? Si

L(A) = {(a,b,a+b) | a,b ∈ R} L(A) = {(a, 2a, 3a-b) | a, b ∈ R}

Posso scriverlo solo così L(A) = {(a, 2a, x) | a, x ∈ R}

Prop: A ≠ ∅, A ⊆ V(IK) => L(A) ⊆ V(IK) Sottospazio

Dim: o ∈ L(A) (somma tutte le possibili combinz.) Applico l'assioma V ⊂ I = bk x∈u, L(A) Tesi: αu + βv ∈ L(A) u = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_mu_m, a_i ∈ IK,u_i ∈ A v = b₁u₁ + b₂u₂ + ... u, v ∈ I m αu + βv = (αa₁+βb₁)u₁ + (αa₂ + βb₂)u₂ + ... + (αa_m + βb_m)u_m ∈ IK => L(A) ⊆ V(IK)

Def: A ≠ ∅, A ⊆ V(IK). Il sottospazio V(A) viene detto spazio generato da A.