Algebra lineare e geometria - Appunti di teoria completi

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Sommario

MATRICI ...................................................................................................................................................... 4

Tipi di matrici ........................................................................................................................................... 4

Somma di matrici ..................................................................................................................................... 8

Prodotto scalare ...................................................................................................................................... 8

Prodotto di matrici ................................................................................................................................... 9

Potenze di una matrice quadrata ........................................................................................................10

Matrici invertibili e inversa di una matrice quadrata................................................................................10

SISTEMI LINEARI .........................................................................................................................................12

Sistemi di equazioni lineari ......................................................................................................................12

Matrici ridotte per righe..........................................................................................................................12

Operazioni elementari di riga e matrici equivalenti .................................................................................14

Come ridurre una matrice ..................................................................................................................15

Interpretazione matriciale .......................................................................................................................15

Rango di una matrice ..............................................................................................................................15

Risoluzione di sistemi ..............................................................................................................................16

Come risolvere un sistema lineare .....................................................................................................16

Equazioni matriciali .................................................................................................................................16

DETERMINANTI ..........................................................................................................................................19

Calcolo dell’inversa di una matrice ..........................................................................................................21

Ancora sull’inversa di matrici ..................................................................................................................22

Il metodo di Cramer ................................................................................................................................23

Calcolo del rango con il criterio dei minori ..............................................................................................23

Sistemi lineari parametrici ......................................................................................................................23

Risoluzione di un sistema lineare parametrico di 3 equazioni in 3 incognite ........................................24

Risoluzione di un sistema lineare rettangolare parametrico ................................................................27

Risoluzione di un sistema lineare con due parametri ...........................................................................29

VETTORI .....................................................................................................................................................31

Sistema di riferimento.............................................................................................................................32

Somma di vettori ....................................................................................................................................32

Prodotto di un numero per un vettore ....................................................................................................33

Componenti di un vettore .......................................................................................................................33

Prodotto scalare .....................................................................................................................................34

Prodotto vettoriale .................................................................................................................................36

Prodotto misto........................................................................................................................................38

1

RETTE E PIANI .............................................................................................................................................39

Equazioni di rette ....................................................................................................................................39

Posizioni relative di due rette ..............................................................................................................42

Equazioni di piani ....................................................................................................................................44

Posizioni relative di due piani ..............................................................................................................46

Posizioni relative di un piano e una retta .................................................................................................47

Distanze tra insiemi.................................................................................................................................48

Fasci di piani ...........................................................................................................................................53

SPAZI VETTORIALI ......................................................................................................................................54

Sottospazi vettoriali ................................................................................................................................55

Come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale ...................................................................56

Operazioni fra sottospazi ........................................................................................................................59

DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE ....................................................................................................59

Combinazioni lineari ...............................................................................................................................59

Come stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori ....................................................60

Come ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori ...................................................62

Dipendenza lineare .................................................................................................................................63

Come stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente .................................................64

BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE FINITAMENTE GENERATO .....................................................................64

Il metodo degli scarti ..............................................................................................................................65

Basi di uno spazio vettoriale ....................................................................................................................65

Come calcolare le componenti di un vettore rispetto a una base .......................................................66

Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato......................................................................68

Dimensione di sottospazi ........................................................................................................................68

Rango e dimensione................................................................................................................................69

Completamento a base ...........................................................................................................................70

Come completare a base ....................................................................................................................71

Come trovare una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo ........................72

La formula di Grassmann ........................................................................................................................73

Come determinare dimensione e base della somma di due sottospazi ..............................................74

Come determinare dimensione e base dell’intersezione di due sottospazi ........................................75

APPLICAZIONI LINEARI ...............................................................................................................................76

Definizione di applicazione lineare ..........................................................................................................76

Applicazione lineare definita da una matrice .......................................................................................77

Immagine e nucleo di un’applicazione lineare .........................................................................................78

Applicazioni lineari iniettive e suriettive ..................................................................................................79

2

Isomorfismi .............................................................................................................................................81

Applicazioni lineari fra spazi di dimensione finita ....................................................................................82

Come studiare esistenza e unicità di un’applicazione lineare definita da immagini di vettori ............82

Matrice associata a un’applicazione lineare ............................................................................................83

Come determinare la matrice associata a un’applicazione lineare .....................................................84

Come trovare la dimensione e una base del nucleo ...........................................................................86

Come trovare la dimensione e una base dell’immagine .....................................................................88

Endomorfismi .........................................................................................................................................89

AUTOVETTORI E AUTOVALORI ...................................................................................................................89

Autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi .................................................................