Appunti dettagliati della prima parte di programma di Analisi 1

EF. Rfix- f(x)=f(x2)è risultacoppiaf crescente dominio XIX2nelvalorisolo condise see f(x)If(x2)risultacoppiadecrescente dominioé XIX2nel-> valorisolo condise seeN.B. strettamente INIETTIVAdecrescenteallowarfla exescentesèfunzionese èI viceversano V(x2 x1)x2)(X1dimostrazione:prendo <valori HFx2x2xe xa - =>f(x)<f(x2) f(x2)f(x)crescentestrettamenteX1X2 monotonache é >fsupponiamo +è =XAsYEXYbiettivaXOSSERVAZIONE: yf: - fN) fx)-x x-Funzione Funzionepari dispazix) f(x) f(x)f( f(x) kxkx domf domf->- - -= =Numeri complessi a] IRbi R(z) a,b2 a + -== - (z) b=C2 = (z1OSSERVAZIONE: EVt =Iz1=Modulo bi dc1bdixa c xa+ =+ = ==Neutzo:Coniugato E 0 Dibia- +=Piaus ArgandGausdi complesso=Arg(z)argomentox =1I(b) 1z/costcosx l a == (z/senx1 bsenx == 121As Tiroduld isenx)=(z)(cosx Izle"z +=R(a)a COperazioniindi) d)ibi) (a (bc)(a (c +++ +++ =di)bi))c(a beiac-bddi adiadi bciac + ++++ ++ == i= 1-1m(z)2 b2a+E R(z)z. = += Ii iOSSERVAZIONE: =i 1

cielo=- i=iii = -i3.i* 2 1i=i =- =Prodotto De Moirerapportoe 1 -e:(x1 x2)(21-22)21.ei eix+21-2221 z 2.= == inei2 =2".22. eE22 = +isena)(cosa cosmx+isenma=eild-aSe =EZaf 1z1N. rB. =Radicim-esime 2.e'/ZVogliamo 1complessi wdeterminale =i =2k. i + p.eixnEx w == k 11,2,3...n -=esempioBi-1z1 Ex re=2 cosx= I= senx= ==2.e2 ↓conk= e=isen 2)) 2.2.(cos( 2k) ei+2x + =+=Teorema dell'algebrafondamentale Dokm, Tm=mSia p(z) anzazz+ allowerantoakeanzao+ complessicon= + ... interi(21)(M+u2 am(zn/p(z) (z zi) zm)distintiIn, Zm miM, +..Mned u2..um -- ...==OSSERVAZIONE: p(z) radiceSe conficenti di Zo una complessa,zalisonoi se éeoallow to é anche coniugatoilsuo↳e successioni 2)1) dell'1 Isuccessionesuccessime comm=11RI=> 11an - 1 111 -- -0 2Go 1 2-->1 01- (-1)"4)successione2-> 3) successionea2 m=1con3 18a3-> -1 1 1 2- - E2 1 2- -Definizione formale auf(nim(am]neySi leialdice solocouverge con se seeINtIN/tm>NaFEzo, Ifaselan eles in nauseadi=>

e- an as as anN.B.-liman=m-> SUCCESSIONE REGOLARICONVERGENTE-lim SUCCESSIONEIOam DIVERGENTE->=m c-EF* (in a)(an]La si divergechedice solosuccessione seana sea e=+ +nei7weR/AmcrMER M=> an> (se(an) c)dame M diverge a -Teorema dell'unicita' limitelimite:del il esisteSe allona unicoePane, ②Hp:lim lim eanTs: l l1=dimostrazione max(N;N2}lan-les/mz7① NeDato N, NN Scelgoa = =lam-flN2/kmNzDato② N,72 =an-an-h11l+Il-le)Notiamo che =Il-Melane+lang=>Il-le2=> Il-bl e=bl C.V.d.=Algebra limitidei successioni/liman=s,(an),(bm} e-imbate come,SianoAlloza:si(an bn) Dimostrazionel1) 1) infatti+ = N2/m> lam-lesUN,Date N1 =Exbn)(an h/eNz/fmal.lsMin /bn2 FN, N2Date 220 =>= -{him Scelgolim N2}kan=③ NK N;au= max=Cn + lan-l) (bm -h)Fr>Nman:I elI 0 aans econ += lan h)(k|am 1bm-l) lie(lbn + +-+ --l l1bnan ++ =Teorema carabiniezidei T: limHp: Fr br=ebm=cm=anlim an=l-lim emcen + n +dimostrazione I max(lan-1)N/Xm>N2 Ne}Fax 7 SalgoN N;N, N2 ==Fr>N2 1cm 11 3=>

e-Fr- N, arca ossiasi l-e<brellan-le= l-Ecamelte-scan-leE E+=>(cm leg ll Ex125 EcnExcn =) += -- - -Monotonia(am)F Analogamentefa,è monotona increscente se and andno,# strettavezioneEF(bm) monotona tr>decrescente andanteseè no,#Teorema(an) monotona 'couvergentesuccessione allora divergentesazauna oppure (andI and,linsparticolare inilcrescente decrescentese seè é-dimostrazione Sup(am)=+cs.(an) /l-3=am.JanYsco,Poniamo lPostolimitate.crescente e· =D'altra En> l-scanoparte ossiaan and ameno(and sup[an)=·Supponiamo Fissatoilillimitato, reale edcrescentoed tos. unJano/anoc Fn> amaabitzaris Quindi sisiccomeallow anand arcano. e↓limcise' an= es+Ne sTeorema: limitataUna convergentesuccessione èdimostrazione FNEXII/XmaN=>lan-lelimSupponiamo Faz,anecis cine. l tranneTutticcancl elementigli mezzodi finitean disono3.+- numeroin unH1 ks/che esisteproprieta'.queste una Madi minan godono... e maxnon

unN]11][H1;an-> pez ... (He;l 3}Si e)(l-2; H=basterebbel N,Fravza'an minprendere-> + = -2,k1)max(1k = +FormeLimiti indeterminatenotevoli eaantin 10. Is-1a -= --14921-stea=-1 c)(O 6+- +-800b>0+lim no b N.B.1 0=↓0An b+ m!]Tog(n),0 divergomessiconemb, an,a nbHim him1 == log(n)n es e+ limhim 0 m· =F. Settosuccessione#Sandnew (m/new naturalidicrescentesuccessione, numerisuccessioneuna Mk 12M1 > M2 +... laAllora settodefinisce ikcheinizialedella prendesuccessime successione glisuccessionein -man!"]sottoindici meNcome an_(71) asotscassioniIntorni IRxUxo apertointervallo contementecontieneintorno puntodel xose unF. Un Xot,intonoaperto sara'simmete eopertodisto, intervallo reun# s xtfszaggioxe IcentroF. UC+cs)Un infinito aperto tipointorno un intervallodi delSala (-c;N)# (4; a), -cs;-M)sara')U(-c) comNEIRanalogamente 0+EF c):RR (Ru) estesarettax; +-=#Fpunto diaccomulazione#X IR, , Xpuntodiaccomulazionedicesi di-> datoxo qualsiasito se- X-[xr)

XU(xos Ue 71, UCto)n che dipuntiinfinitirichiede contengaossia ogni= NNX Xpuntoesempio accomulazionediunxo cs perè+== NX Xpunto accomulazionedixD una peré-= = -limite difunzione(X=domf)Una IR dominiof.punto diaccomulazione del-> con xefunzione =fit teSidic UKos eVelementoest 5lim eselagene in ree0elX-x08]Tato/txt (domf-e/3domf, XF1, 8xxx 6x x1- +Teorema Bolzawa WaiestrassdiOgni limitata convergentesottosuccessioneammettesuccessione unaOSSERVAZIONE: LIMITe eSISTe(meiN() limitata eEen successione successione crescente= + infed Intessep, en CONVERGENTEAlloza elimitatezza Leent 23monotonia chefamosie2,71e few )-(m){4+ )...-)(-in isen = = =k 1 min-e)(m?↓= +(m M-...)...( )-n)(( --Forma sull'unicita limitedel Rf(x) hhimg(x)Supp. l, lcoml lel,xe,= = = 1[(41)/I(1) 0Allove trovare l rispettivamenteleotinto dipossiamo mi ="(x)[CxO) (xo), I'l),/I [Xxt f(x0)Hp: aualogamenteesistono x x ->e =["(e)[(x),*x- f(x)X fx -= I"(rol Ile)['xesAlloraxxo/x-> la proprietàchesalgono consi * l1lC.V.d. =Continuita 76x0/fx-domf, T3xto continua tof demf,diceli- pez=inIx x08 If(x) 1125- -=I(x0)/Xx-[(0)VI(f(x0) Isf(x0)5 f(x) -> uneivef didefinito intornoè> in=equivale =ffolimdize: f(x)alloneto, a x A-F.fi timI(xo) Se Hx=definita eesisteescluso eventualmenteunin Xo.# inR, definita fioreXS,f definitorèse ma ocon nonin oppose iin discontinuitaeliminabilepezfallo dice che un puntoto, di