Appunti delle lezioni di Statistica MCI

I NUMERI INDICE

numeri indice semplici

Identità: L'indice nel tempo base vale sempre 1.

Riversibilità rispetto al tempo: Il valore dell'indice calcolato in un certo anno è reciproco invertendo anno di valutazione ed anno base. E dunque

Transitività: , e quindi Queste proprietà ci permettono di ottenere un'ulteriore proprietà, ossia quella del cambio di base. Si tratta di una proprietà che caratterizza solo i numeri indici semplici.

Se voglio calcolare dovrei fare il rapporto tra il valore della serie storica al tempo t ( ) e rapportarlo al valore della serie storica al tempo (X ). Tuttavia, conoscendo i valori dell'indice al tempo base , posso calcolarmi come segue:

Esempio:

Reversibilità dei fattori (o scomposizione delle cause): Se una variabile è uguale al prodotto di due variabili (Es. Valore = Prezzo Quantità), allora il numero indice del prodotto (es. numero indice di Valore), è pari al

prodotto dei numeri indici.Formalmente, data una serie definita come:

- Commensurabilità: i numeri indice sono adimensionali, e quindi invarianti rispetto acambiamenti nell’unità di misura.

Talvolta però, abbiamo a che fare con diverse serie storiche contemporaneamente, ed abbiamobisogno di strumenti capaci di riassumere le informazioni necessarie alla valutazionedell’andamento.

Es. Nel caso di un’impresa multiprodotto, i prezzisono mediamente cresciuti o calati?

Nel caso della linea D, sembra il prodottomeno importante dati i prezzi più bassi, ma sesi va a vedere è il prodotto con le quantitàmaggiori.

Potremmo dunque aver bisogno diun’informazione complessiva sull’andamentodi prezzi e quantità dell’intero aggregato.

Per risolvere questo problema, vengono in aiuto i numeri indici sintetici (talvolta chiamati“complessi”). Esistono molte tipologie di indici sintetici, questo perché –

in genere – non rispettano una o più proprietà di quelle precedentemente elencate. Dunque, esistono diversi indici che prendono proprietà da una parte e ne perdono dall’altra.

I tre più importanti sono:

• Indici di Laspeyres
• Indici di Paasche
• Indici di Fisher

Indici di Laspeyres

Se si vuole sapere cosa è successo tra un periodo e quello successivo, non si fa il rapporto tra il paniere nel tempo rispetto a . Questo perché il risultato includerebbe sia le variazioni di prezzo che le variazioni di quantità.

Dunque, quando calcolo l’indice di prezzo faccio il rapporto tra i panieri mantenendo le quantità fisse all’anno base. In questo modo, gli scostamenti dell’indice dal valore 1 (riferimento dell’anno base) saranno unicamente imputabili alle variazioni di prezzo.

Al contrario, se devo calcolare l’indice di quantità, tengo fissi i prezzi all’anno base. In questo modo, le variazioni

dell'indici saranno unicamente imputabili alle variazioni di quantità.

Indici di Paasche

Mentre l'indice di prezzo di Laspeyres considera le quantità nell'anno base, l'indice di prezzo di Paasche le aggiorna ogni volta le quantità.

Allo stesso modo, nell'indice di quantità, aggiorno i prezzi volta per volta.

Indice di Fisher

Per ragioni esclusivamente tecniche, non è nient'altro che la media geometrica degli indici di Laspeyres e di Paasche.

Lezione 5

È importante specificare due proprietà che nel caso di Laspeyres e Paasche non valgono:

1. Proprietà della transitività, e dunque cambio di base. -> Non rispettata da neanche da Fisher
2. Reversibilità dei fattori. -> Rispettata da Fisher

Al contrario, gli indici di Fisher rispettano entrambe.

Oltre agli indici individuati finora, esiste un ulteriore indice chiamato indice di valore, che ha al denominatore il paniere all'anno base ed

al numeratore il paniere aggiornato.

Le serie storiche “Una serie storica è una successione ordinata di valori associati ad altrettanti istanti temporali distinti.”

In parole povere, abbiamo più valori, i quali sono ordinati, e ad ogni valore associato un certo istante temporale. Noi consideriamo solo le serie storiche in cui i valori vengono osservati a intervalli regolari (dunque serie storiche giornaliere/settimane/mensili etc.)

Considerando , si può notare come essa abbia una tendenza (trend) positiva. Al contrario, non ce l’ha. Dunque in tende ad aumentare, con il passare del tempo, il valor medio della serie. con il passare del tempo, tende a manifestare fluttuazioni sempre più ampie. Ciò significa che la sua varianza tende ad aumentare.

In entrambe le serie – anche se in è più evidente) – è presente la stagionalità (o periodicità). Ossia, tendono a fluttuare regolarmente nel tempo.

Queste sono le

Una serie storica si dice stazionaria in covarianza se per ogni t:

1. Mantiene inalterato nel tempo il proprio valore atteso, ossia il valor medio (quindi la serie non ha tendenze).
2. Mantiene inalterata nel tempo la propria varianza (ossia la serie non ha fluttuazioni).
3. "Ci ritorniamo poi"

Modelli per la scomposizione delle serie storiche utili ai fini dell'analisi e della previsione delle serie storiche, è la loro scomposizione.

Modello additivo:

Modello moltiplicativo:

La componente accidentale (o erratica) si chiama tale perché non è riconducibile né a dinamiche di lungo periodo, né a dinamiche stagionali. In genere si tratta di un errore legato a fenomeni di contingenza.

Ci concentreremo principalmente sul modello additivo, nonostante in ambito economico sia più sensato.

----- Inserire perché modello moltiplicativo è meglio di modello additivo ------

Funzioni periodiche

Le funzioni periodiche sono lo strumento matematico con cui si possono descrivere e stagionalità presenti nelle serie storiche. Formalmente:

Ossia, scelto un certo periodo T, la funzione assume lo stesso valore spostandoci di T in T. (Es. T = 7 giorni, la funzione assume lo stesso valore ogni 7 giorni)

Qualsiasi funzione e qualsiasi serie storica può essere scomposta in funzioni periodiche. Tale rappresentazione è detta spettro.

Destagionalizzazione

Per rimuovere la stagionalità, ricorriamo a quelle che sono le medie mobili.

Medie mobili centrate

Una media mobile è la media di una serie storica calcolata su una finestra di valori, la quale scorre. Per questo si parla di media mobile.

Vuole fare una previsione sul futuro andamento della serie.

Statistica lezione 6

Medie mobili non centrate

Dati i limiti precedentemente spiegati relativi alle medie mobili centrate, si ricorre alle medie mobili non centrate. In queste prendiamo in considerazione l'ultimo termine ed andiamo a ritroso (Es. media mobile non centrata di ordine 7: prendiamo il valore dell'anno corrente e dei sei anni precedenti). Con le medie mobili non centrate non si creano neanche complicazioni dovute al pari/dispari.

Utilizzando questo tipo di medie, all'aumentare dell'ordine:

• Si perdono le osservazioni all'inizio della serie. (In caso di Mt21 si perdono 20 valori, in caso di Mt7 si perdono 6 valori, etc.)
• Al crescere dell'ordine, cresce il grado di lisciamento (come nelle medie mobili centrate, al crescere delle osservazioni, ciascuna ha un peso minore).