Appunti Statistica

S

occasi 1 o a

gis.ais

disse

ora

S'egioco

se 0,50

diso.is c isis 0,37 0,87

caso

gicnp.us

riposo i 1 o

aso

S'egiococnet.asa ais

cup gldis.cnai.qis.io o

a3a

e se a dannato

minore

valore

Nota: ogni S’ è dato dalla differenza tra la somma di tutte le frequenze relative (=1) e la frequenza della modalità che è

stata scelta come costante c: È

S 1

pi

se ci Po

Xp Funzione

dannoglobale i

i si

S’ è minima quando si sceglie la costante c con la frequenza relativa massima a piè

max

minimo MODA

Moda: variabili qualitative

La moda è il valore della X tale che la sua frequenza relativa è massima.

Essa è l’unica costante che può essere calcolata per le variabili qualitative.

Difetti:

1) ci possono essere distribuzioni con più mode;

2) ci possono essere distribuzioni senza moda perché la moda corrisponde a tutto il supporto.

Moda: variabili continue

La moda di una variabile continua è la classe che ha la densità di frequenza più alta detta classe modale.

Moda: variabili teoriche

La moda di una variabile teorica è il massimo della funzione di densità f(x).

È dunque necessario studiare la funzione f(x).

Metodo grafico: disegnare il grafico della f(x) e vedere dov’è il massimo

Metodo analitico:

1) calcolare la derivata prima cioè f’(x)

2) risolvere f’(x)>0

Secondo metodo per esplicitare il danno (solo variabili numeriche) (segue: mediana)

c

ti

giri o

c se r

Zhi

S ci pi

i i

4

giri Xi

c ti e

se

In questo secondo metodo il danno viene calcolato in modo proporzionale.

Per semplificare le derivate viene tolto il valore assoluto:

ti e ti e

se

lti.cl rise

se

Xi c

Ll In Xx

S'e d Hi

xi È

pi

c È pi

PK

lxi.ci.pe c c pi

0c.pi

ficxi.pi pi

piu eri e

e

un e'un

numero a

c numero numero numero

aeriuataaimmumoo.io

M

M

II È

fieri

o o

ai c

derivata numero f Di

0,5

Fcc

pi mediana

Quantile

as

pi

pongo

studio Della

i segni derivataprima

È.fi s

Epi co

se as s'a

Epi sei

se so

xix

via as

Epi sei s

se ae

na na

Mediana

La mediana è il valore del supporto che taglia a metà la distribuzione.

Essa è un quantile.

La mediana è il primo valore del supporto per cui la funzione di distribuzione è pari o superiore a 0.5.

Def: sia X una variabile numerica il cui supporto è ordinato in maniera crescente. La mediana della variabile X è il più

piccolo valore del supporto tale che la funzione di ripartizione in quel punto è maggiore o uguale a 0,5.

Analiticamente si ha che: sx finto

e

è xi 5

min

mediana

Mediana: variabili continue

Procedimento:

1) individuare la classe dove cade la mediana

2) F(x)=0.5 cioè eguagliare la funzione di ripartizione a 0.5

Nota: tale procedimento vale per tutti i quantili nel caso di variabili continue cioè bisogna eguagliare la funzione di

ripartizione con il valore della frequenza cumulata espressa dal quantile stesso.

Mediana: variabili discrete

caso: infiniti valori di mediana

I 4 5

2

1 c=mediana= 3 ma in generale vale che la mediana è qualsiasi infinito valore tra 3 e

i

t 4 cioè [3,4) perché in tale intervallo vale F(x)=0,5

nota: in questi casi conviene sempre scegliere il valore più piccolo di mediana

caso: non esiste la mediana

Xiii

pi condizionenormalizzazione

1

ftp

or

or

or or

or

f i

si

siasi

s'cos'io

1 1

ti primavolta

sputa

3 tasso

anchedove

ed

e è

minimo

3

e mediana

Terzo metodo per esplicitare il danno (segue media aritmetica)

giti c o ti e

se ti

giri e

c so se È

S

ci Ivi.cl

Iii

giri pi

gixi.ci

c pidaI

fki pitD pi

c

2 2 flxi c

II ai

o pi.co

È poi

xi.pi.ci

c'i.fm.pe Ehi

aritmetica

media µ

MEDIA ARITMETICA

• è la media potenziata di ordine S=1; mi m

• è il valore atteso (expected) della variabile. Eni

Calcolo media aritmetica noti i dati grezzi

taxi

µ 2

4 ne

4,5

1112,2

in 2

esempio somma

Calcolo media aritmetica nota la distribuzione di frequenza

mi

Xi È tipi vinixinipixi

µ esempio 3

3 as

or

i E 2,7

µ io

o

s o

a o

8

2 or

4 or

e io

s e

o

a

iv io zia

Calcolo della media aritmetica di variabili teoriche fia

Inizialmente si svolge un calcolo approssimato che poi viene raffinato. Ir

111

1) divido il supporto in classi contigue

h=numero di classi in cui divido il supporto Xi Xin XK

Xix X

Xi Xi

Xi —> è il valore centrale

I

2) associo ad ogni la frequenza della classe in cui cade

Xi Xi flxiY.ae

PIXIE 2

xcxi.ie l

e mi

venne

approssimato

È fui

È

II i ai

tra questo valore di media è approssimato il quale al crescere di h tende ad assumere un

valore sempre più preciso di media aritmetica. Quindi: È

È ti fui ai fin da

µ ftp.oo

Calcolo della media aritmetica di variabili continue

È fa fr

fin

di di di

µ È

È È

III

procedimento valido per tutti I

gli integrali ai

dx.it

fin

Si ottiene quindi: xi pi

µ

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA IX

E

• Proprietà del baricentro: la media degli scarti dalla media è pari a 0. µ

Xi µ

dimostrazione È

x pi

ii pi

µ µ µ

• Proprietà dell’internalità (o di Cauchy): la media aritmetica è un valore compreso all’interno del supporto.

È

le del

estremi allora XK

NENE

supporto

dimostrazione Xie

E Xie

f e e tiene xk

f l e

e

• Proprietà della linearità della media aritmetica: la media di una variabile trasformata linearmente è uguale a

trasformare linearmente la media della variabile.

Ellen flew

X

linea 4in a

1 1

µ

a eIa

ixJ

A e EI9cxsI

axElxiffflaxxil.pi

pixfIxi.pi

iE.f a µ

µ

9in 4in

2

B

X

2 poi eepa.p.e

e.la

p

lui 4in xxix

3 3

ex pe EH Elapitatiste

È

È

FÉIN

Bt a p µ

pi pi

pi g

pi

px.pe

• Proprietà associativa: la media fatta sul totale è uguale alla media delle medie fatta su due sottogruppi

a ritmi

Ximi mi

ri dimostrazione È

FÈ

È I

Èvi

1 2

1 i 3

5 iina.in xi.ms

ninfe xi.mn

a

a È

È

È

f

5 ma

3 Ivana

3

2

3 II II Pi

me 1ms.ms

Hai

3

4 2

4

5 4 ne

io

io

so

È e24

mail.ae uB

µ 2ee 250

e

MOMENTO DI ORDINE S

Xs

E

Ms

Def: si dice momento di ordine S la media aritmetica di

Nota: la media aritmetica corrisponde al momento di ordine 1.

MEDIA POTENZIATA DI ORDINE f dxf

III

taxis

È pit fai

usi

È la media aritmetica del momento di ordine S. ma

In base alla S si hanno una famiglia di medie. distribuzione

Dati variabile

grezzi continua

di Frequenza

S=0 Non esiste perché non si può avere 0 al denominatore in 1/S

S=1 MEDIA ARITMETICA

S=2 MEDIA QUADRATICA

S=-1 MEDIA ARMONICA vini

S—>0 MEDIA GEOMETRICA xi

Ms

7

PROPRIETÀ DELLA MEDIA POTENZIATA DI ORDINE S:

• Proprietà dell’internalità (o Cauchy) Xi Xk

sms Xe del

XK dove

E sonoestremi

e supporto

• Proprietà della monotonicità due

sono costanti

acp amp

ma

2) METODO DI CHISINI

Cioè la media di N osservazioni se, in una funzione g(x1, ... , xN) può essere sostituita ai valore della x senza alterare g

cioè g(x1, ... , xN)=g(C, ... , C).

Esempio 1: Dati: rettangolo base =10 altezza=5

Richiesta: lunghezza media di base e altezza al fine di non alterare il perimetro del rettangolo

215 io

i

x

x cc

gi c

a c

g

3

30 7,5 dei

lamedia

4 è

c aritmetica lati

c

Esempio 2: Dati: rettangolo base =10 altezza=5

Richiesta: lunghezza media di base e altezza al fine di non alterare l’area del rettangolo

5 io c

gin

x2 c

g

to 7,07 lati

dei

media

la

e geometrica

Esempio 3: f

Dati: Si consideri la distribuzione di frequenza dei redditi di famiglie. Si supponga che la spesa annua per il bene A sia 0,5

Richiesta: determinare il reddito medio che lascia invariata la spesa totale delle famiglie.

Xi pi mi È asini

mi

t

is

totale

Spesa gia

in

c'È

OÈÉ mi

Xi mi

r

E ca

mi n

i È

f è

mi

xi pi

È ùI è

in È ii pi

c media

ma quadratica

Esempio 4: ci

Dati: Ci= costo di produzione della i-esima scatola di cioccolatini taxi 13

Xi= contenuto di cioccolata della i-esima scatola

n= numero di scatole considerate

Richiesta: determinare il contenuto medio di cioccolato Xi tale che il costo totale di produzione rimanga invariato.

È

if etti

È

Costo

totale Xi

a p a

ci gia It

i

È

È È vita ti

it yet m

c

n

LA VARIABILITÀ

Si vuole quantificare quanto la costante di sintesi rappresenti la distribuzione stessa. Il motivo dello stabilire ciò è

dovuto dal fatto che ci sono costanti di sintesi che non riescono a rappresentare la distribuzione.

INDICI DI VARIABILITÀ (I.V.)

Gli indici di variabilità servono per misurare la variabilità di un determinato fenomeno.

In realtà tali indici non sono altro che delle medie di variabili che hanno subito una trasformazione.

Caratteristiche I.V.:

1) I.V.=0 se C riassume perfettamente il fenomeno;

2) I.V. >0 in presenza e al crescere della variabilità. Cioè minore è la rappresentanza di c e maggiori