Appunti delle lezioni di Idraulica

Idraulica

Prof.: Giovanni Deveri

• Teoria della meccanica dei fluidi
• Applicazioni ingegneria civile

qW27vsu → codice Classroom

Esame = Esonero ≈ 20 dicembre (teoria, orale) poi prova scritta e orale a giugno

Dispense: Zuccapress

340 6127058 via Bellingeri 5-5a

Libro: Meccanica dei fluidi - Canelese

2a parte → Cetrini, Mocerla (Idraulica)

28/08/2023

Fluido: corpo sottoposto ad una piccola forza si deforma illimitatamente.

- Prendiamo un solido

ES:

Ad una minuscola forza la tavoletta si sposta, anche l'acqua sottostante riceve una sollecitazione e si sposta, con una deformazione continua fino a che si applica la forza, irreversibile la deformazione permane

Al posto di C si usa la viscosità

3 - 10 - 23

La particella lenta urta con quella veloce che la accelera

All’aumentare della temperatura i gas si velocizzano e aumenta la viscosità. Nei liquidi la temperatura diminuisce la viscosità.

Viscosità = μ μ = Pa · s

Per l’acqua (H₂O) = 8.94 ⋅ 10^-4 Pa · s

Esperimento Newton

I_τ = forza di taglio, forza parallela

τ = A μ Δu / Δy Δu = velocità

τ = I_τ / A → sforzo [τ] = Pa

τ = μ du/dy (direzione ortogonale alle velocità)

10/10/2023

Meccanica dei fluidi

x_i = 1,2,3

a = scalare

a_i = vettore ➝ a₁, a₂, a₃

tensore a_ij ➝ a₁₁, a₁₂, ... = 9 componenti ➝ segue la regola 3^m

Tensore dim 3, ente matematico dip. da m indici (3^m ∈ ℝ), è invariante rispetto al cambiamento di un sistema di riferimento.

Esempio: un vettore in un s.d.r. ha certe componenti, variando s.d.r. il vettore è lo stesso ma cambiano le componenti.

δ_ij = Tensore di Kronecker

δ_ij = { 1   i = j        { 0   i ≠ j

[S_ij] = ⎡1   0   0⎤ ⎢0   1   0⎥ ⎣0   0   1⎦

ε_ijk = { 1   i,j,k = 1,2,3 2,3,1            { -1   i,j,k = 3,2,1            { 0   indici ripetuti e ε₁₁₂ = 0

ε₁₂₃ = 1

ε₂₃₁ = 1

Esercizio 1.6

Δx = 0,05 m

ΔP = 10 N/cm²

ε = 2 ⋅ 10⁹ Pa

L = ?

ΔV = -V/ε ⋅ ΔP

-AΔx = -A L/ε ⋅ ΔP

Δx = L/ε ⋅ ΔP => L = ε Δx/ΔP = 1 Km

17/10/2023 CINEMATICA

M_i = M_q : n_j x j_X

velocità baricentro

velocità di cambiamento angoli

risguardo velocità di allungamento

div M = (∂u_i / ∂x_i) = ∂u₁ / ∂x₁ + ∂u₂ / ∂x₂ + ∂u₃ / ∂x₃ - (1 / V) dV / dt

Dinamicà

Sforzo = azione di una forza

A seconda della giacitura del piano e il punto di applicazione della forza, cambia la forza

FL. STOKES

1. f _→ Cⁿ
2. u = 0 _→ e_uk = 0

T_ij = -Pδ_ij

[T_ij] = [ ^-P 0 0 0 ^-P 0 0 0 ^-P ]

3. Omogeneo _→ il comportamento non cambia da punto a punto
4. Isotropia _→ non dipende dalla posizione dove si applica

FL. NEWTONIANA

1. f _→ funzione lineare

Queste cinque proprietà definisa T_ij = f(e_uk)

T_ij = f₀ + f₁(e_kl) + f₂(e_kl) _→ perché deve essere lineare

Euler:

dA/dt = ∂A/∂t

Lagr.

dA/dt = ∂A/∂t + ∂A/∂x_j u_j

Distimguiamo:

• laminare → basse velocità (prevale la viscosità)
• turbolento → alte velocità (prevale l'inerzia che rende il moto caotico)

A(x, t)

• 3D x₁, x₂, x₃
• 2D x₁, x₂
• 1D x₁

Si usano moti 3D, i 2D si usano per approssimare quando due dimensioni prevalgono la terza, il monodimensionale per esempio i fiumi lunghi che hanno poca profondità e larghezza.

DM \ \ D \ \ \int_V \left( \frac{D \rho}{Dt} \right)dV - \int_V \left( \frac{Dp}{Dt} + \rho \ \underline{g-u}\right) dV = 0

per qualsiasi esterno la funzione è sempre nulla , quindi la funzione integranda è o il volume è arbitrario

\frac{Dp}{Dt} + \rho \nabla u = 0 \ \ \ \eq. \ di \ bilancio

fluido incomprimibile \leftrightarrow \rho=cost \rightarrow \frac{Dp}{Dt}=0 \rightarrow \nabla \ \underline{u} = 0

eq. \ di \ continuità \rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t} + u_j \frac{\partial \rho}{\partial x_j} + \rho \frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0 \ \rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j)}{\partial x_j}=0

flusso stazionario: \frac{\partial}{\partial t}= 0 \rightarrow \frac{\partial (\rho u_j)}{\partial x_j}=0 \ \ \nabla .(\rho \underline{u})=0

Esercizio:

U_1=5 m/s \ \ \ U_2=? r_1=1 m r_2=2 m \rho=cost

Quindi: il bilancio globale è:

Seconda formulazione: locale

D/Dt ∫_V A dv = ∫_V ( DA/Dt + ∇ · μ ) dv → Si usa la seconda formula di Reynolds.

D/Dt ∫_V ρ u dv = ∫_V [ D(ρ u)/Dt + ρ u ∇・u ] dv =

( ∫_V ρ du/dt + u Dρ/Dt + ρ u ∇・u ) dv = ∫_V ρ g dv + ∫_S τ・n ds

→ ∫_V ρ Du/Dt dv = ∫_V ρ g dv + ∫_V ∇・τ dv

Se il volume è arbitrario allora:

L'utilità è nel trasformare eq. alle derivate parziali in eq. ordinarie.

1. h costante nelle sezioni trasversali della corrente = h(x₁)
2. Il profilo di velocità rimane identico a se stesso per ogni sezione, perchè ∂u₂/∂x₁ = 0

Esempio: prendiamo una tavoletta leggera posta sopra un liquido

P_atm

h = z + ρ / δ

du² / dy² = q / ν

dh / dx = 0

du / dy = c₁

u = c₁y + c₂ cond. al contorno u(0) = 0 u(b) = V

u(0) = c₂ - 0

u(b) = c₁b = V

ε₁ = V / b

u = V y / b Abbiamo dimostrato il concetto fisico della prima lezione

Teorema di Bernoulli

• ∂μ/∂t + 1/2 ∇ u² + μ∇otμ = -∇(gz) - ∇F

eq. di Eulero

• ∇ (u²/2 + gz + F) = ∂u∂/∂t + μ∇otμ

14/11/2023

Strato limite di Prandtl

v²∇u ≈ 0

Nella zona superiore il termine viscoso è praticamente zero → flusso potenziale

rotu ≈ 0

Si definisce strato limite quella zona in prossimità della parete dove la viscosità non è trascurabile.

δ << L diversamente dall'esempio

R >> S, nell'esempio di uno strato curvo

NB: δ è tanto più piccolo quanto è più grande il numero di Reynolds

Dopo queste considerazioni riscriviamo il sistema.

∂u/∂x + ∂v/∂y = 0

∂ω/∂x + v∂ω/∂y = -dP_e/dx + ν ∂²ω/∂y²

La terza già ha fornito l'incognita P, non è più indipendente.

Le incognite sono u e v.

• Sappiamo che per y=0 u=0 v=0

e che per y→∞ u=u_est

Il problema è quindi risolubile.

• Si può risolvere anche con Bernoulli.

Z + P_e/⍴ + u_est²/2g = cost

⍺/␢ = ⍴

*⍺ ⟹ P_e + ⍴ u_est²/2 = cost