Appunti del corso di Segnali e sistemi

Simmetrie e rappresentazione grafica della risposta in frequenza dei sistemi LTI

Se h(t) è un sistema LTI (Lineare Tempo Invariante) e H(w) è la sua trasformata di Fourier, allora se h(t) è reale, allora H(w) è complesso coniugato. Inoltre, se h(t) è pari, allora H(w) è reale.

La rappresentazione grafica della risposta in frequenza di un sistema LTI può essere ottenuta tracciando il modulo e la fase di H(w) in funzione della frequenza w.

La risposta in frequenza dei sistemi LTI discreti può essere calcolata utilizzando la trasformata di Fourier discreta. Sia h(n) la risposta impulsiva del sistema e x(n) l'input, allora la risposta y(n) si ottiene convolvendo x(n) con h(n) secondo l'equazione:

y(n) = x(n) * h(n)

La risposta in frequenza di un sistema LTI discreto è data dalla trasformata di Fourier discreta di h(n) e può essere espressa come:

H(e^jω) = Σ[h(n)e^-jωn]

La risposta in frequenza definisce la relazione tra l'input e l'output di un sistema LTI per ogni frequenza. La sua rappresentazione grafica mostra come il sistema risponde a diverse frequenze.

Quando la risposta in frequenza è simmetrica, le frequenze dell'output possono essere espresse come:

y(n) = Σ[H(e^jω)x(n)e^jωn]

Il lemma afferma che se la risposta in frequenza è reale, allora le frequenze dell'output sono complesso coniugate.

Il sistema limitato. Allora il sistema discreto è stabile, BIBO e la sua risposta è simmetrica (HCW). Se h(n) = h(-n), H è Hermitiana (H(e^jω) = H*(e^-jω)). Se H è reale, allora H(e^jω) è pari (H(e^jω) = H*(e^-jω)). Se h(n) è reale, allora H(e^jω) è reale. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI H: Bisogna tracciare il modulo grafico, ed in particolare il verso delle tracce. SERIE DI FOURIER: concentro particolare M, et in generale per ogni periodo trascorso tra -a e a. Il segnale è integrabile, limitato in modulo e di energia finita. Inoltre ricordo: - Per frequenze considero regnati gli esponenziali complessi i(ωt) - Per ogni kω0 = 2πk/T, con T = periodo del segnale - La famiglia delle funzioni esponenziali in armonica è una base di L^2 - Posso rappresentare il segnale usando la base di armoniche Prodotto scalare tra 1 e 2: ∫x(t)4e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = 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∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt = ∫x(t)e^jωt dt =

L'insieme vettoriale di quindici inespaziali relazioni induce una forma armonica e una formula di analisi di Fourier.

1) La formula di disintegrazione (t) permette di ricostruire il coefficiente di serie x(t) in modo ortogonale.

2) La formula di analisi di Fourier permette di rappresentare la frequenza nel dominio del tempo.

SCHEMA RIASSUNTIVO

Nel dominio del tempo:

- La ricostruzione del segnale x(t) tramite la serie di Fourier.

- La formula di disintegrazione x(t) = k * cos(ax) + b * sin(ax).

- I coefficienti di Fourier esistono solo se la serie converge.

- Le condizioni di Dirichlet per i segnali periodici sono che siano assolutamente integrabili e finite.

numerofinitohavo di· minmaxnumero ein RIESE-FISCHERDICONDIZIONISegnali nelche periodo: (E(Yhave finita· energiaMA ANCHELe (deltaldistribuzioni· Combinazioni dellelweari cani· varieRIESZ-FischER:Teorema di la tradistanza requale infinitesimailne éxDato LadFourieril L'laregnate mociatadinevieXte XI, overo:converge inE axerotdt/x - 0=dellela Fourierdi puntuale,nevie quadraticaNon mediaéconvergenza converge in(segnali tratti)derivabiliDIRICHLETTEOREMA DI aSex la Fourierderivabile tratti,insegnale mociataT,(t) serieperiodico didiperiodo convergeè ala vale:puntualmente e commao jkwot=p (+4 x(t-xxr(t) +AK2 =Gk 2=- ax=Ictiesodt, Vtef.)canES:X(t) quadraun'ondaèrect(**) perché:e'cudaéx(t) quadra- periodicoun segnaleé· rect()rept· =Graficamente (1 =)=i i i !i derivabileèi trattiaI II 7I1- I IEIT Et T STT 0- -- - tecremaPosso il Dirchletdiapplicarela Faurierdi convergeserie a:

Erct()e**dt I -It-I( 1 J-ax e== T-k 0= *dt1 =a ==/Fitt* (e)-(e)--PROPRIETÀ DEI COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER(t)x AK=>CONIUG10 X(t)· a_K=>RIBALTAMENTO X(-t)TEMPORALE G_K· => X(xt)TEMPORALECAMBIO SCALA CON 270 => ax. ekwoak 3AtTRASLAZIONE B)· =+ Operacian dualijMwotxCt)MODULAZIONE AK-C· =x'(t) jkWoDERIVAZIONE· AK=FORMA TRIGONOMETRICA DELLA SERIE DI FOURIER éparicos↑(-Kwot) COS(kwothCOS =ESer -notaxelrot 1ax(coskwot-jsinkwot]maxexot-antarkoskwottjsinkwot)kwotj +aK e + IE 2x 9Gk= k+ -+KSinkotacoskWot con=Qo+ j(ax x)k Bx a= - -Se to combinazione lucareforier quatici esprimerla termini.di diserie 3ponoma maac, cosenoesenoin in (1,base L*La esprimibile sinkwotlkerdi coskast,cameeREALECASO X· Iceehott-*cekwott=aanI 2/ax)cos(()a 2Re(ax)2x ax + == =ax) 2Im(ak)j(ax 2/ax)ein(()3 - - -=k = =Quuci la é:serie not[ lakkapermot [cos/wot)cosan-sinckwotsman) cos(kwot+axwars. a0+2=-kE2SERIE DI FOURIER PER SEGNALI

GENERALIZZATItrenoConsidero Dirac, Diracdettoauche pettineimpulsi didi dioun ap(t)ff(t kT) M A nMap(t) = - . . .Impolsi >t35T0T 2T T 2Tdistancati di - -Posso l'operatasegnale replica periodica periodicail replica puòriscrivere are siSele tra ilconvoluzione segnalevede{H, come(6)p -= Un{(Un{Urld 16aX-- x-x = =stestwort-I 6t-kileskwott=1 Jit)eotI I w- rect(E)moltiplico perperché devel'integrale eneretrakT)? 4esrot?bt e2- +Laet consideremeusor-= equazione?questaEIPCtedt= xIcontinua fderivabile definizione8, diin EL20in eSostituisco cheverificola stenoil loforma risultantoindaginep(t) viaa einE certarE Eeinwaradt. oarArichletFer jkWo. O0)x aK e=quudi vale Ezerota6(t kT)p(t) -= =RELAZIONE TRA PRODOTTO E CONVOLUZIONE DI SEGNALIPERIODICI PER LE SERIE DI FOURIERPRODOTTO- x,ye(2) I.),x 7bx2ax,y =- =Sia z x.y= [ambrmzel",Allora periodico,z 2xz = = E↑ canvoluzione dediscreti ebsegnali aIl diventertempodelprodotto dominionel mafrequenze.convoluzione nel

delledannio*""""adtEz *.E Embaeimaot_Ebreimwotikwotdt=I(yce)zekwotdt=ex +==Ices/yc) nwotdt+)Ebreimwot,WM Embreimrot]e= erwotdt- Couchy-SchwartzEmbonetmaot]rot(yCt)*(t) -=1x Il1 IA112. WallawuLx, =1Wm"=yst) Embreimrot/dtmo-mambreswatt1 xcesesswott-la nbmaxm=(a*b) eTRASFORMATA DI FOURIER A TEMPOCONTINUO &(rect(t))x(t) rep= - I- TT-11X112 1=I119x1= 2cteckwotdt= Iwo-jkwoI ->T.I Not-studio bir=i Tax dt e e-e == jk Wo--costituisco24kjk-in M~ =vin() sinc(*)=sinc(kfole -=7 =Pano >hmil unsinc(t)estendere sinc sinc(t)contrité 0=1eper = =Per tutti; dell'argomentovalaniinteri valeil 0:sincesinc(t)ai k Sinc(0)per 0 ==k Sinc(fo)per 1 ==↳st23Quando la funzione piccoloT- campiono semprecampanoto purDEF. 1 CX: - +Ca xtejutdt (devevergan)X:werCani le dell'integrate.esteri lufficientecondizionestabiliBIBOLT awergenzema perSCHEMARIAS