Appunti del corso di Macchine a fluido 2

dt R S R S S

Nell’equazione (1.3) l’integrale delle forze di superficie è stato diviso nei contributi dovuti

alla forza di pressione (−pn) e allo sforzo d’attrito (τ ). Quest’ultimo contributo è nullo

n R

nel caso di flussi non viscosi. Infine, le forze di massa, ρf dτ , sono trascurabili quando

R

si trattano flussi comprimibili.

Consideriamo ora l’equazione di conservazione dell’energia. In questo caso G è l’energia

totale contenuta in R,

Z Z

2

u

G = ρ e + dτ = ρ E dτ (Q = E),

2

R R

in cui e è l’energia interna per unità di massa, u il modulo della velocità ed E è l’energia

totale all’unità di massa. Anche in questo caso si hanno “altre cause di variazione”,

costituite dalla potenza trasferita al fluido dalle forze esterne (di massa e di superficie) e

1 EQUAZIONI E PROPRIETÀ 5

dalla potenza termica fornita al fluido contenuto in R attraverso S. Matematicamente si

ha: Z I Z I I I

d ρEdτ = − (ρu·n)E dS + ρf ·udτ − pn·udS + ·udS − (1.4)

τ q·ndS,

n

dt R S R S S S

dove è il vettore flusso termico di conduzione (q = −k∇T ). Si noti che e sono

q τ q

n

nulli per flussi non viscosi e quindi non conduttivi termicamente (µ = k = 0).

Partendo dalle equazioni in forma integrale ricaviamo ora le equazioni di conservazione

in forma differenziale, cioè valide per un volume infinitesimo dτ .

Consideriamo l’equazione di conservazione della massa (1.2). Poiché il volume di

controllo è indipendente dal tempo, essendo R fisso nello spazio, la derivata parziale

rispetto al tempo può essere portata sotto il segno di integrale; inoltre, l’integrale di

superficie può essere scritto come integrale di volume, mediante il teorema di Gauss;

pertanto la (1.2) diventa:

Z Z Z ∂ρ

∂ρ dτ + · (ρu)dτ = 0 =⇒ + · (ρu) dτ = 0, (1.5)

∇ ∇

∂t ∂t

R R R

dove l’ultimo passaggio è giustificato dal fatto che dτ è indipendente dal tempo. Affiché

un integrale esteso ad un volume R arbitrario si annulli, è necessario che l’integrando sia

identicamente nullo, quindi: ∂ρ + · (ρu) = 0. (1.6)

∇

∂t

La (1.6) è l’equazione di continuità (conservazione della massa) in forma differenziale.

Nell’ipotesi di fluido incomprimibile tale equazioni assume la forma seguente:

· = 0. (1.7)

u

∇

Considerando ora l’equazione della quantità di moto (1.3) e applicando il teorema di

Gauss: Z Z Z Z

Z ∂(ρu) dτ + · (ρuu)dτ = ρf dτ − dτ + · dτ. (1.8)

τ

∇ ∇p ∇

∂t R R R R

R

Usando le considerazioni fatte per l’equazione della massa, si ottiene la seguente forma

differenziale: ∂(ρu) + · (ρuu) = ρf − + · , (1.9)

τ

∇ ∇p ∇

∂t

dove indica il tensore degli sforzi viscosi, legato allo sforzo d’attrito dalla relazione:

τ = · .

τ n τ

n

La (1.9) può essere semplificata riscrivendo i termini a primo membro come segue:

∂ρ ∂u

∂(ρu) + · (ρuu) = + ρ + ρu · + · (ρu)

u u∇

∇ ∇u

∂t ∂t ∂t

∂u

∂ρ +ρ

= + · (ρu) + · .

u u

∇ ∇u

∂t ∂t

{z }

|

= 0 per la (1.6)

1 EQUAZIONI E PROPRIETÀ 6

Usando la relazione ∂u Du

+ · = ,

u ∇u

∂t Dt

che esprime la derivata sostanziale come somma della derivata locale e di quella convettiva,

si ottiene infine: Du = ρf − + · . (1.10)

ρ τ

∇p ∇

Dt

Per un fluido newtoniano (per cui esiste una relazione lineare tra tensore degli sforzi e

tensore di velocità di deformazione) che soddisfi l’ipotesi di Stokes, si ha:

2

T µ(∇ ·

= µ(∇u + ) − u)I.

τ ∇u 3

Pertanto, si può dimostrare che le equazioni di Navier–Stokes per flusso comprimibile

sono: 1

Du 2

= ρf − + µ∇(∇ · + µ∇ (1.11)

ρ u) u.

∇p

Dt 3

Nel caso di flusso incomprimibile esse diventano:

Du p 2

+ ν∇ (1.12)

= − u.

f ∇

Dt ρ

Infine, per il caso di flusso non viscoso, si ottengono le equazioni di Eulero:

Du

ρ = ρf − (1.13)

∇p.

Dt

Ricordiamo che questa equazione può essere integrata per ottenere l’equazione di Ber-

noulli. Infatti, usando la seguente identità vettoriale per esprimere la derivata convettiva

di u,

2

u − × (∇ ×

· = u u),

u ∇u ∇ 2

la (1.13) nel caso di flussi incomprimibili si scrive:

2

∂u p

u − × (∇ × = −∇ +

+ u u) ∇U,

∇

∂t 2 ρ

dove U indica il potenziale delle forze di massa, supposte conservative (per il campo gravi-

tazionale = −gk e U = −gz). Moltiplicando scalarmente primo e secondo membro per

f

l’elementino ds di linea di corrente, e tenendo conto che per la condizione di parallelismo

tra e ds si ha:

u ∂u

∂u · ds = ds, × (∇ × · ds = 0,

u u)

∂t ∂t

si ottiene:

2

∂u p

u + d − dU = 0.

ds + d

∂t 2 ρ

1 EQUAZIONI E PROPRIETÀ 7

Integrando questa relazione si ha:

Z s 2 2

u p u p

∂u ds + + − U = + − U .

∂t 2 ρ 2 ρ

0 s 0

Nel caso di flusso stazionario questa diventa la nota equazione di Bernoulli valida lungo

una linea di corrente: 2 p

u + − U = costante. (1.14)

2 ρ

Nel caso di flussi irrotazionali (∇ × = 0), l’equazione di Eulero (1.13) diventa:

u

2

∂u p

u = −∇ + (1.15)

+ ∇U.

∇

∂t 2 ρ

Inoltre, a causa dell’irrotazionalità del flusso, il vettore velocità può essere espresso come

gradiente di un potenziale: =

u ∇φ.

L’equazione (1.15) diventa quindi:

2

∂φ u p

+ + − U = 0,

∇ ∂t 2 ρ

e può essere integrata immediatamente come:

2

u p

∂φ + + − U = F (t).

∂t 2 ρ

Quindi, nel caso di flusso irrotazionale e stazionario,

2

u p

+ − U = costante, (1.16)

2 ρ

su tutto il campo di moto.

Consideriamo, infine, l’equazione di conservazione dell’energia (1.4). Ancora una volta

applicando il teorema di Gauss, nonché le considerazioni già fatte per l’equazione di

continuità, la (1.4) diventa:

2 2

u u

∂ ρ e + + · ρ e + = ρf · − · (pu) + · (τ · − ·

u u u) q.

∇ ∇ ∇ ∇

∂t 2 2

I termini a primo membro possono essere riscritti come segue:

2 2 2

∂ u u u

∂ρ ∂

ρ e + = e + e + ,

+ ρ

∂t 2 2 ∂t ∂t 2

2 2

2 u u

u = · (ρu) e + + ρu · e + .

· ρ e + u ∇ ∇

∇ 2 2 2

1 EQUAZIONI E PROPRIETÀ 8

Utilizzando l’equazione differenziale della massa (1.6), l’equazione dell’energia in forma

differenziale si può scrivere come:

2 2 2

u u D u

∂ e + +ρu ·∇ e + = ρ e + = ρf ·u −∇ ·(pu)+∇ ·(τ ·u)−∇ ·q.

ρ ∂t 2 2 Dt 2 (1.17)

Si consideri la potenza dovuta alle forze di pressione

−∇ · (pu) = −(∇p · + p∇ ·

u u);

essa risulta costituita da due parti distinte: la prima è dovuta alla potenza esercitata

dalla risultante delle forze di pressione per spostare il baricentro della particella, mentre

la seconda è la potenza termodinamica esercitata dalle pressioni sulla particella per effetto

della variazione di volume. A tale proposito si fa osservare che la derivata (sostanziale)

nel tempo del volume δτ si può scrivere:

I

D(δτ ) = (u · dS = · δτ,

n) u

∇

Dt

per cui 1 1

D(δτ ) Dv

· = = ,

u

∇ δτ Dt v Dt

avendo indicato con v il volume specifico.

Considerando, inoltre, la potenza delle forze d’attrito,

· (τ · = (∇ · ) · + :

u) τ u τ

∇ ∇u,

si nota che anch’essa è costituita da due termini di diversa natura: il primo è la poten-

za meccanica fatta dalla risultante delle forze di attrito agenti sulla particella, mentre il

secondo è la potenza dissipata per attrito interno (potenza di distorsione delle particelle)

che contribuisce ad aumentare l’energia interna della particella. Per meglio comprendere

la natura meccanica e quella termodinamica dei termini nella (1.17), applichiamo all’e-

quazione dell’energia una trasformazione galileiana, cioè un cambiamento del sistema di

riferimento ottenuto per traslazione con velocità uniforme. In questo modo i due termini

−∇p · e (∇ · ) · varieranno, cosı̀ come varia l’energia cinetica della particella, in

u τ u

accordo con la loro natura meccanica; i due termini −p∇·u e : resteranno invariati,

τ ∇u

cosı̀ come l’energia interna della particella, dimostrando il loro carattere termodinamico.

Si consideri, infine, l’equazione differenziale della quantità di moto (1.10) e si moltiplichi

scalarmente primo e secondo membro per ottenendo:

u,

2

D u

ρ = ρf · − · + (∇ · ) · (1.18)

u u τ u,

∇p

Dt 2

che esprime l’equazione di conservazione dell’energia meccanica. Eliminando il termine

2

D u

ρ nella (1.17) mediante la (1.18) si ha:

Dt 2 De = −p∇ · + : − · (1.19)

ρ u τ q,

∇u ∇

Dt

1 EQUAZIONI E PROPRIETÀ 9

che è l’equazione di conservazione dell’energia termodinamica. Si noti l’identità formale

della (1.19) con la ben nota de = −pdv + dL + dQ .

w e

| {z }

ds

=T

1.2 Flusso quasi unidimensionale

Nelle pagine precedenti si son