Appunti del corso di Costruzioni in zona sismica - parte 2

I

L'acciaio sta a distanza h dal lembo compresso, quindi h-y dall’asse neutro.

I

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Sismica 28-11-2018

Posso scrivere

Avendo cancellato Ф perché compare ovunque. Qual è la reale curvatura non è importante, il disegno si

può fare qualsiasi sia l'inclinazione di quella retta, fintanto che la curvatura sia entro certi limiti e che non

cambia quelle risultanti. Fintanto sono nelle stesse ipotesi calcestruzzo reagente a trazione ect qui non

conta. POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO al I stadio

Moltiplicando per 2, dividendo per Ec e per b, ottengo la

Se beta è nullo, cioè se non c'è acciaio, questo termine se ne va così come quest'altro e yI = H/2. Per

soluzione di Navier l’asse neutro sta al centro della sezione.

Se beta è diverso da zero, yI quanto vale? vale più di H/2, cioè l’asse neutro si abbassa perché dal punto di

vista dell'equivalenza elastica l'acciaio conta di più del calcestruzzo a parità di area, quindi è come se avessi

un'area che è rettangolare a livello dell’acciaio lo moltiplico n volte e si deve spostare l'asse neutro che è

baricentrico verso il basso di poco.

Faremo l’approssimazione di considerare l'asse neutro in H/2 per trovare la soluzione analitica.

BRACCIO TRA LE FORZE INTERNE al I stadio.

Se abbiamo la posizione dell'asse neutro abbiamo anche il

Sarà uguale a l'altezza della sezione H meno la distanza dall’estradosso della risultante di compressione

meno la distanza dall’intradosso della risultante di trazione.

Il problema è che la risultante di trazione è la somma di Tc e Ts che non sono nella stessa posizione.

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La risultante di un sistema di forze: se ho due forze Tc e Ts in due posizioni diverse la loro risultante è la

somma in una posizione che è intermedia tra le due forze tanto più vicina alla forza più grande delle due.

Fra Tc e Ts al I stadio è molto più grande Tc, quindi facciamo un approssimazione giustificata da questo

ragionamento che al I stadio la risultante Tc+Ts si trovi nella posizione del calcestruzzo.

La distanza dall’estradosso della risultante di compressione è y /3, cioè la dimensione del cuneo triangolare

I

è ⅓, sto a ⅔ dal vertice.

L’altro cuneo che mi dà la risultante del cls è H-y /3.

I

Quindi diciamo che z è circa = perché per scrivere questa cosa abbiamo detto che Ts sta dove sta Tc.

MOMENTO al I stadio

Il

è lineare in Ф.

Rappresenta la relazione tra momento e curvatura nel tratto iniziale che rappresenta il I stadio, non c’è un

.

unico valore del momento. La curvatura Ф al I stadio la posso trovare come ε/y I

Ogni volta mi risulta conveniente prendere una ε e una y che si devono corrispondere in una fibra diversa.

Nel caso specifico metto la ε al lembo inferiore perché è quello che voglio poi controllare per determinare

se ho raggiunto la resistenza a trazione del calcestruzzo e quindi ho fessurato, ho concluso il I stadio.

Il primo stadio si conclude quando fessuro, quando ε raggiunge la ε di fessurazione, che è fct/Ec. La

CURVATURA al I stadio è

avendo approssimato y =H/2

I

Se inserisco questa curvatura di fessurazione nell’espressione del momento si deve ottenere il momento di

fessur

azione

.

= W I

* fct 11

Sismica 28-11-2018 modulo di

Una sezione rettangolare ha momento di inerzia b*H /12; se divido per H/2 per trovare il

3

resistenza a flessione W = b*H /6

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II STADIO

C ha circa la stessa espressione di prima.

Si assume sempre al II stadio lineare nella deformazione ma solo in compressione.

La trazione T questa volta si semplifica perché ho solo l'acciaio.

Poiché non ho calcestruzzo sopra e sotto, vieni fuori un'equazione di secondo grado nell'asse neutro al II

stadio.

Divido per b e per Ec, moltiplico per 2 ed elimino la curvatura perché c'è da entrambe le parti troviamo

POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO al II stadio

l'equazione della

Avrò due soluzioni di cui una sarà fisicamente impossibile, per ovvi motivi perché stiamo parlando di

flessione quindi l'asse neutro deve stare dentro la sezione, non può stare fuori la sezione come può

succedere con la pressoflessione o tensoflessione.

BRACCIO DELLE FORZE INTERNE al II stadio

Il sarà

MOMENTO al II stadio,

Siamo in grado di scrivere l'espressione del conoscendo z e l'espressione di C o T

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CURVATURA al II stadio

La è

ε/y che si corrispondono; deformazione della fibra di distanza y dall' asse neutro. Cos'è che vado a

controllare quando finisce il secondo stadio? Se ho snervato l'armatura e quindi prendo come fibra quella

inferiore.

Tra la fine del II stadio che è lo snervamento e l'inizio del II stadio, perchè l'andamento è non lineare?

Perché nel mezzo ci deve essere una transizione.

CURVATURA DI SNERVAMENTO

La (l’ascissa del secondo punto notevole del nostro diagramma momento

curvatura) è quella per cui la ε vale εy = fy/Es.

MOMENTO DI SNERVAMENTO

Il

Prima di arrivare alla rottura è quasi sistematicamente che la struttura in calcestruzzo armato muore

quando muore il calcestruzzo (scoppia il cls).

Quando il calcestruzzo muore (quando arriviamo a εc ultimo) non ci sono più solo alcune fessure ma ci

sono anche altre fessure. la struttura arriva alla crisi, alla rottura, allo scoppio del

Quand'è che le cose vanno bene? Quando

calcestruzzo dopo lo snervamento dell'armatura.

ROTTURA DUTTILE.

Questa modalità di rottura è chiamata

In una struttura isostatica mi dà dei segni indicatori prima della rottura, perchè lo snervamento dell'acciaio

significa che non ha mai un incrudimento nullo. 13

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Lo snervamento dell'acciaio significa allargamento delle fessure: quando vediamo delle fessure che si

allargano c'è un sovraccarico, sto vicino alla condizione di rottura.

Se la rottura è fragile quando arriva il sovraccarico ho una rottura.

La rottura duttile è tra le rotture quella più sicura.

Se la struttura è iperstatica e c'è duttilità, quando la sezione comincia a non poter portare più

sollecitazioni, quelle sollecitazioni sono “educate”, c'è la redistribuzione.

Con un dimensionamento che porta alla rottura duttile siamo in grado di utilizzare questa redistribuzione.

Quando le cose vanno bene ( dobbiamo impara a farle andare bene) arriviamo alla rottura al III stadio

dopo lo snervamento. Superato My e fy possiamo andare avanti.

III STADIO

Al III stadio si sviluppa una risultante di compressione C che è l'integrale di queste tensioni che al massimo

arrivano qui.

L’altezza è y/3, larghezza è b. (vedi fig assonometrica)

C sarà sicuramente inferiore a b*y/3*fc , perché b*y/3*fc è il volume di questo parallelepipedo.

coefficiente di riempimento α.

Davanti si mette un numeretto che viene chiamato Quanto riempiamo

quel parallelepipedo?

Il coefficiente di riempimento è 0,81.

β la posizione della risultante

Indichiamo con ed è 0.416. (nel II stadio β=0.33 =⅓)

Facciamo che è 0,8 e la sua metà è 0,4 ed è stato realizzato lo stress block rettangolare; si fa finta che la

distribuzione di tensione sia questa è come considerare un legame costitutivo del calcestruzzo non fisico

perché ha assunto una certa deformazione e non ha tensioni.

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POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO al III stadio

BRACCIO DELLE FORZE INTERNE al II stadio

MOMENTO ULTIMO

≅

con h-0.4*y 0.9*h questa espressione non richiede la conoscenza dell'asse neutro che dipende dall'

III

armatura, quindi rimane l'armatura da sola che posso usare come incognita, perché uguagliando questa

approssimazione del momento interno al momento esterno ( equilibrio alla rotazione che non abbiamo

mai usato fino adesso) posso ricavare la armatura minima.

Quando siamo in fase di dimensionamento posso uguagliare al momento Mext esterno, da cui ricavo che

As,min = Mext /0,9*h*fy

MOMENTO al III stadio MIII varia tra My (snervamento) e Multimo, mano mano che y varia tra yII e yIII.

CURVATURA al III stadio

Facciamo un esempio: consideriamo una sezione di

altezza H=50 cm,

• larghezza b=30 cm,

• area dell’acciaio As=6.28 cm ,

• 2

copriferro (distanza dal baricentro del ferro al bordo della sezione) c=3 cm,

• segue h=H-c=47 cm

•

Caratteristiche dei materiali:

fc=30 MPa

• fct=1/15*fc=2 MPa=2*10 kPa=2*10 kN/m

• 3 3 2

Ec=30 GPa =30*10 kPa

• 6

fy=400 MPa =40 kN/cm

• 2

Es=210 GPa = 210*10 MPa

• 3

PRIMO PUNTO: CRACKING = FESSURAZIONE

y

Asse neutro =H/2=25 cm

I

z

Braccio delle forze interne =⅔*H=33 cm

I 15

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Mcr=

Momento di fessurazione b*h /6*fct=0.3m*(0.5m) /6*(2*10 kPa)=25kNm

2 2 3

La trave a un momento flettente di fessurazione che è, come ordine di grandezza, dalle parti del momento

resistente di una striscia di un metro di un solaio.

Curvatura di fessurazione

Фcr=2*fct/(H*Ec)=2(2*10 kPa)/(0.5m*30*10 kPa)=0.00027 1/m

3 6

SECONDO PUNTO: SNERVAMENTO

β=2*n*As/b / 30 cm = 2.93 cm

= 2*7*6.28cm 2

Asse neutro (equazione di 2° grado)

z = h-y /3 = 47 cm -10.4 cm/4 = 43.5 cm = 0.435 m > z

Braccio delle forze interne II II I

My=As*fy*zII

Momento di snervamento = 6.28 cm * 40 kN/cm * 0.435 m = 109 kNm

2 2

È sicuramente maggiore del momento di fessurazione ma a noi interessa il rapporto

My / Mcr = 109 / 25 = 4.36 (in genere è tra 4 e 5, 4.6-4.7)

Il momento agente normalmente si trova tra il momento di fessurazione e quello di snervamento, e

questo rapporto regola l'estensione della porzione fessurata e della porzione non fessurata della mia grave

o del mio solaio.

Tanto più mi avvicino al momento di snervamento con il momento massimo tanto più maggiore saranno le

fessure nella trave, tanto maggiore sarà il peso della parte fessurata della trave rispetto a quella non

fessurata nel calcolo delle deformazioni. 16

Sismica 28-11-2018

Se ho un momento che ovunque nella trave è minore a 25kNm (momento di fessurazione) abbiamo un

diagramma σs (quello con la bocca sorridente) in realtà uguale a tutto quello del I stadio, non ho

fessurazione, ho