Appunti corso di Costruzioni in zona sismica - parte 1

T

Questa relazione la possiamo scrivere anche come φi * I * φj = 0 I = matrice identità

T

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Sismica 26-10-2018

Potremmo dire che l'ortogonalità che conosciamo tra i vettori è l’ortogonalità rispetto alla matrice identità.

Stiamo dicendo che quando due vettori sono ortogonali nello spazio fisico posso dire che sono ortogonali

rispetto alla matrice identità.

Ci interessa estendere questo concetto perché le condizioni di ortogonalità di cui stiamo parlando sono le

condizioni di ortogonalità di quei due vettori φi e φj rispetto alla matrice delle masse e rispetto alla matrice

delle rigidezze.

Vogliamo dimostrare che valgono delle relazioni del tipo

* M* φj =

● φi T

- 0 per i ≠ j

- Mi per i = j

● φi * K * φj =

T

- 0 per i ≠ j

- ki per i = j

Se il sistema è deformato secondo la forma φi , che forze nascono all'interno della struttura? Quali sono le

forze che deformano il sistema con una deformata φi ? K*φi

φi sono degli spostamenti prodotti da forze K*φi

φi * K * φj che cosa è fisicamente? É uno scalare essendo 1 x n * n x n * n x 1 =1x1

T

È il prodotto tra delle forze e gli spostamenti che queste forze producono quindi è il lavoro associato a

queste forze. ki rigidezza modale.

Il lavoro è una quantità positiva diversa da zero, è questa quantità a cui dò il nome di

Dimostriamo che se invece i ≠ j il prodotto, che è sempre uno scalare, vale zero.

Vediamo l'equazione nel caso in cui il sistema stia oscillando in accordo al modo iesimo e quindi può essere

scritta come

- ωi * M * φi + K * φi = 0

2

in accordo al jesimo come

* M * φj + K * φj = 0

- ωj

2 15

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Premoltiplichiamo entrambi i membri delle due equazioni rispettivamente la prima equazione per φj T

- ωi * φj * M * φi + φj * K * φi = 0

2 T T

e la seconda equazione per φi

T

- ωj * φi * M * φj + φi * K * φj = 0

2 T T

Decidiamo di ricavare la seconda quella della rigidezza. Dividiamo queste due equazioni per le frequenze ωi

e ωj

- φj * M * φi + (φj * K * φi) / ωi = 0

T T 2

- φi * M * φj + (φi * K * φj) / ωj = 0

T T 2

Se adesso trasponiamo la seconda equazione e la sottraiamo alla prima, sono scalari quindi la trasposta di

uno scalare è uguale allo scalare.

Posso fare la trasposta di uno scalare che rimane identico però si scrive la trasposta del prodotto è uguale

al prodotto delle trasposte in ordine inverso:

K è un numero positivo diverso da zero (lavoro) quello che abbiamo chiamato rigidezza modale.

Al contrario quando i modi che stiamo considerando sono diversi, φi e φj sono diversi, quindi questa

parentesi è certamente diversa da zero e deve tornare che

φj * K * φi = 0 zero scalare

T

Abbiamo appena dimostrato la condizione di ortogonalità rispetto alla rigidezza.

Per analogia si trova anche quella rispetto la massa.

Se invece di fare l'operazione di dividere per ωi e ωj le due equazioni avessimo lasciato ωi e ωj come era

all'inizio e avessimo trasposto la seconda equazione sottraendo la alla prima, e sarebbe eliminato il

termine di rigidezza

e sarebbe rimasto 16

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Queste condizioni di ortogonalità sono quelle che garantiscono che quelle forme modali che abbiamo

trovato annullando il determinante ect con l'analisi modale diagonalizzano questo sistema di equazioni.

Introduciamo l'espansione modale, cioè l'espansione del vettore degli spostamenti come somma di vettori

modali per coordinate modali, dentro quelle equazioni.

Al posto di u metto sommatoria, cioè è stato rappresentato il vettore degli spostamenti u come la sua

rappresentazione nello spazio modale, la sua proiezione sulle forme modali.

ÿi (t) è la derivata seconda della coordinata modale perché la forma modale non dipende dal tempo.

Premoltiplico primo e secondo membro dell'equazione per φj

T

Quello che ho ottenuto è un’equazione scalare che cambia al variare di j, usando un φj diverso ottengo

un'equazione diversa.

Manipoliamo un attimo questa equazione scalare e facciamo uso delle condizioni di ortogonalità.

Per la proprietà distributiva porto la sommatoria fuori e quindi avrò

Noi sappiamo che tutti i termini φj * M * φi sono nulli tranne quello in cui i = j e in particolare vale Mj.

T

Stessa cosa vale per la rigidezza.

Lo smorzamento D abbiamo assunto che abbia la forma β*K o al massimo α*M+β*K. (Railegh) o comunque

una combinazione di M e K.

Nel caso in cui sia α*M+β*K a noi piace più β*K perchè anche se lo smorzamento di Railegh, il modello

teorico è α*M+β*KIn realtà c'è uno studioso di dinamica che sostiene che non c'è nessun fondamento

fisico nel modello di smorzamento proporzionale alla massa. É una cosa senza senso.

In effetti dov'è che avviene lo smorzamento? Avviene dentro gli elementi che si deformano, gli stessi che

forniscono anche la rigidezza. 17

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Questo è molto chiaro fisicamente che cos'è: dentro un elemento che si deforma e che reagisce come una

forza elastica e c'è anche dissipazione di energia.

In ogni caso se D è fatto così, se io ho φj * D * φi questo è uguale a α * φj * M * φi + β * φj * K * φi

T T T

Quindi anche la matrice dello smorzamento D è diagonalizzata dai modi che diagonalizzano la matrice K.

Se questo termine è o Kj o zero e questo termine o è Mj o zero, evidentemente se premoltiplico D otterrò

zero se i modi sono diversi o un altro numero e lo possiamo chiamare Dj, cioè lo smorzamento modale.

Avremo φj * ýj.

Chiamiamo Lj = φj * M * φi

T 0 per i ≠ j

∑ φj * M * φi

T per i = j ∑ per k che va da 1 a n di m * φ 2

k kj

k= gradi di libertà; la matrice m è fatta di termini m1, m2, mn e questo n è lo stesso n che ho sopra perchè i

gradi di libertà e modi sono lo stesso. n gdl (gradi id libertà) = n modi, on sono lo stesso n però poi questo

qui è k=1, k=2

Mentre Lj = ∑ m * φ perchè qui dentro ci sono degli 1

k kj

(Se facciamo il prodotto righe per colonne del vettore φ con m e con φ)

Quella che abbiamo ottenuto è un equazione scalare ed è un equazione scalare che ha come incognita, è

un equazione differenziale che ha la forma dell'equazione dell'oscillatore semplice, quindi ogni modo In

pratica ha come coordinata modale sulla funzione del tempo La soluzione dell' equazione dell'oscillatore

semplice, quindi quello equazione lì è un oscillatore semplice.

Questo oscillatore semplice, se divido tutto per mj, diventa

con Pj = Lj / Mj

Ogni modo di vibrazione della struttura ha associata un'equazione modale che in pratica è l'equazione del

modo di un oscillatore semplice che ha frequenza ωj e smorzamento ni j, smorzamento significa rapporto

di smorzamento critico di j. 18

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KQ Ogni modo non è che si differenzia dagli altri solo perché ha una omega e una ni diversa; se io cambio

all'inizio ottengo un'equazione diversa. E abbiamo visto che sono tutte equazioni scalari quindi

φj T

disaccoppiate.

Cambiare la omega e la ni del modo cambia l'eccitazione ---> è FONDAMENTALE.

Il modo jesimo non è uno oscillatore semplice eccitato da üg.

Se fosse un oscillatore semplice, come quello che abbiamo visto prima, avremmo

ÿ + 2*ni*ω*ý + ω *y = -üg

2 pj, fattore di partecipazione modale.

Adesso invece abbiamo il fattore che è il Il nome non è

azzeccatissimo. Ci dice la qualità ma non la quantità.

Descrive quello che succede ma non in termini quantitativi operativi.

Puta caso quel pj fosse zero, perchè ad esempio L viene zero, Come potrebbe venire L = 0 ?

Pensiamo al caso tridimensionale

t è tx

u è ux

e ho una struttura doppiamente simmetrica in pianta che ha dei modi di vibrazione che sono totalmente

diversi, un modo va così e un altro va così.

É chiaro che una azione che ha il suo modo φ con componenti non nulle in questo piano, parallelo all'asse

lungo del tavolo, mentre un modo va nell'altra direzione, abbiamo che quando t ≠ 0 quando φ ≠ 0 ………. L

si annulla.

Quella componente dell'eccitazione non eccita quel modo. è un caso assolutamente possibile.

Il fatto che ci sia p serve per tener conto di questa situazione, il fatto che un modo sia più o meno sensibile

all’eccitazione sì, venga eccitato o meno dal terremoto.

Se p fosse = 0, 0 * üg fa zero, che fa la struttura? oscilla secondo quel modo? lo spostamento di quella

struttura proiettato su quel modo quanto vale? ZERO. quel modo non contribuisce alla risposta.

La famosa somma φ *y ha un termine nullo.

i modi possono non contribuire alla risposta.

Quindi Questo è un caso un po' estremo.

Meno estremo è il caso in cui ul modo contribuisca poco, mentre un altro contribuisce molto.

Quanto contribuiscono alla risposta i modi? In funzione di quanto è grande questo p.

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A parità di accelerazione alla base sulla struttura sin allo spazio fisico, riesci riceve pj volte quella

accelerazione alla base.

Quindi i modi non sono tutti ugualmente importanti, e questa è la svolta!

Abbiamo introdotto l'analisi modale come tecnica per risolvere le equazioni di un sistema a n gradi di

libertà che sono un sistema di n equazioni accoppiate. L'analisi modale ci permette di disaccoppiarle, e

questa è già un discreto vantaggio.

Non dobbiamo più risolvere un sistema di equazioni ma dobbiamo risolvere n equazioni scalari (Rayilegh)

che sappiamo già risolvere e conosciamo anche la risposta massima ( spettro di risposta).

Quindi risulta molto vantaggiosa questa cosa.

Ora stiamo aggiungendo un altro dettaglio importante: stiamo dicendo che dopo aver fatto l'analisi

modale non è necessario utilizzare tutti i modi, perché in pratica si ottiene un’approssimazione buona

della risposta utilizzando un numero di modi n inferiore al numero di modi N totale.

Finché siamo nel sistema a due gradi di libertà non si apprezza pienamente l'importanza di questa

affermazione, ma siccome abbiamo detto che ta