Appunti del corso di Analisi matematica II

TEOREMA DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

Che dice? { }

1 ∈

( )

2 x F=0

∈C

Siano ed sia ed anche punto di massimo o minimo

⊆ f , F A

f , F : A R → R ( ) ( )

∇

{ } F x , y ≠ 0,0

F=0

relativo di f ristretta a e se allora:

0 0 ( ) ( )

∃ ∈ ∇ ∇

=λ

λ R f x F x

tale che

0 0 0 0

O equivalentemente:

( )

( )

∇

… f x …

0 =1

rk ( )

∇

… F x …

0

Dillo con esempio del sistema tra det e g(x)

DIM:

caso di due dimensioni:

Cosa si intende per funzione coerciva?

( )=+∞

lim f x

Se .

‖ ‖

x →∞

TEOREMA DI WIERSTRASS GENERALIZZATO:

sia data una funzione continua e coerciva; allora la funzione ammette un minimo assoluto nel proprio

dominio:

DIM:

comporta altro questo teorema?

Se -f è coerciva, rispettando le stesse ipotesi del teorema, ho che la funzione ammette massimo assoluto

all’interno del suo dominio.

FUNZIONI CONVESSE:

quando un dominio è detto convesso? ( ) ∈ ∀ ∈ ⌊

+

1−λ x λy D λ 0,1⌉

Se per ogni suo punto appartenente al dominio si ha che .

Quando una funzione è detta convessa?

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∀ ∈⌊ ⌉

+

f 1− λ x+ λy ≤ 1−λ f x λf y λ 0,1

Se .

Dato un dominio aperto e convesso; cosa posso affermare?

La funzione è convessa solo se è anche continua.

 La funzione è differenziabile solo se è convessa. ( cioè la funzione è sopra il piano tangente in ogni

 suo punto)

La funzione è di classe 2 solo se è convessa; ovvero se e solo se l’Hessiano è semidefinito positivo.

 Un punto di una funzione convessa è punto critico solo se è minore o al più uguale di tutti gli altri

 punti.

DIM: Una funzione strettamente convessa ammette minimo assoluto solo se il punto di minimo assoluto è

 unico.

DIM:da

INTEGRALI MULTIPLI:

dato un rettangolo chiuso; come identifichiamo la sua area?

[ ] [ ] 2 ( ) =( ) ( )

mis R b−a d−c

⊆

Dato un rettangolo la sua area sarà: .

R= a , b × c , d R

[ ] [ ]

a , b c , d

Poste due partizioni: P per l’intervallo e Q per l’intervallo cosicché si vengano a creare

R

m× n mini rettangoli definiti come .

iJ R

Data ora una funzione limitata e definita in R, essa sarà definita anche in ogni suo mini rettangolo,

iJ

m M

con ciascun mini rettangolo che avrà il suo estremo inferiore ( ) ed estremo superiore ( ).

iJ iJ

Cosa si intende per somma integrale inferiore? R

Rappresenta la somma dei volumi dei mini parallelepipedi con base il corrispettivo e per altezza

iJ

m M

; mentre per quella superiore si considera altezza l’estremo superiore .

iJ iJ

Cosa si può dire di queste somme?

Somma inferiore è superiormente limitata perché rappresenta il volume di un pluri parallelepipedo contenuto

in un cilindroide

Mentre al somma superiore è inferiormente limitata perché contiene il cilindroide.

TEOREMA:

data una funzione limitata, allora date due partizioni si può affermare che

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

<s < <S <

mmis R f ; P ,Q M mis R mmis R f ; P ,Q M mis R

ed inoltre .

DIM:

Come si interpreta geometricamente l’integrale?

Data una funzione positiva e limitata in C definita in un dominio R si ha che il volume di questo pluri

parallelepipedo sia:

∫

( )= ( ) ⅆ ⅆ

Vol C ∫ f x , y x y

R

Alcuni volumi interessanti: ( )

mis R

volume di una funzione costante è pari al prodotto tra la costante stessa e .

Esempio di una funzione limitata ma non integrabile: funzione identità che assume 1 nel caso abbia entrambe

le coordinate razionali.

Di quali proprietà gode l’integrale?

∬ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

+ =α +

α f x , y βf x ,q d × y ∫ f x , y x y β ∫ f x , y x y

 R R R

∫ ∫

( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

<

f g → ∫ f x , y x y ≤ ∫ g x , y x y

 R R

| |

∫ ∫ | |

( )

( ) ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

∫ f x , y x y ≤ ∫ f x y x y .

 1

R R

TEOREMA:

data un funzione di classe 0 allora essa è integrabile in tutti i Reali.

TEOREMA DI FUBINI: [ ] [ ]

R= a , b × c , d

sia data una funzione integrabile su un determinato insieme ;

d

∫

[ ] ( )= ( ) ⅆ

a , b G x f x , y y

se per ogni x appartenente a esiste una funzione tale che: c

[ ]

a , b

e se questa funzione è integrabile su tutto .

( )

b d

∫ ∫ ∫

( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

=

∫ f x , y x y f x , y y x

Allora: R a c

Vale anche il viceversa ( considerando una funzione con la variabile Y)

Come deve essere una funzione per rispettare il teorema di Fubini?

Una funzione basta che sia continua per far sì che rispetti le ipotesi del teorema di Fubini e per far valere le

formule di riduzione.

Che interpretazione geometrica hanno queste formule di riduzione?

Come riusciamo ad integrare su insiemi che non sono rettangolari?

sia data una funzione con un dominio D limitato e definisco:

{ ( ) ( ) ∈

f x , y Sⅇ x , y D

¿ ( )=

f x , y ( ) ∈

0 Se x , y R−D

NB caso particolare quando la f=1 ho che la funzione star è la funzione identità

Quindi se la funzione è integrabile in D e se la funzione sopra descritta è integrabile nel rettangolo posso

affermare che:

∫ ∫

( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

=

∫ f x , y x y ∫ f x , y x y

D R

La funzione star però dipende dalla scelta del rettangolo r di riferimento?

Né l’integrale né l’integrabilità della funzione dipendono dalla scelta del rettangolo R.

Possiamo dire altro su questo insieme D limitato?

Se l’insieme D è limitato vuol dire che è anche misurabile secondo Peano- Jordan; cioè?

∫

( )= ⅆ ⅆ

mis D ∫ 1 x y

D

DOMINI NORMALI:

data una funzione con dominio D:

{ }

|

( ) ( ) ( )

∈

D= x , y R a≤ x ≤ b , α x ≤ y ≤ β x

[ ]

∀ ∈ ∀

a ≤ b a ,b R e α , β : a ,b → R α ≤ β

In cui continue.

Vale la seguente equazione:

( )

( )

b β x

∫ ∫ ∫

( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

=

∫ f x , y x y f x , y y x

( )

D a α x

TEOREMA:

sia data una funzione continua, al più continua a meno di un insieme di misura nulla), all’interno di un suo

dominio normale; allora se questa funzione è integrabile nel dominio vale almeno una delle due formule di

riduzione.

Di quali proprietà gode il dominio normale così definito?

Se questo dominio è unione di un numero finito di domini normali ( disgiunti a due a due) e la funzione è

continua in tutto il dominio; allora l’integrale del dominio D è equivalente alla somma degli integrali degli n

domini in cui è scomponibile.

FORMULA DI CAMBIAMENTO DELLE COORDINATE:

2 '

Ω Ω

sia dato un sottoinsieme aperto di con un dominio di misurabile.

R D ( )

2 u , v di Ω

Definiamo ora una funzione cosicché un generico punto sia espresso come

φ :Ω → R

( )

(u )

x , v .

(u )

y , v

Supposto che : 1 ( ) .

∈

φ c Ω

 Derivate parziali di X e Y limitate.

 φ Ω

iniettiva in cioè:

 ( )

∂x ∂x

( ) ( )

u , v u , v

∂u ∂v

det ≠ 0

∂y ∂y

( ) ( )

u , v u , v

∂u ∂v ( )

∂φ ∂ φ

1 1

( ) ( )

u , v u, v

∂u ∂v

( )

 ( ) =det

det Jφ u , v ≠ 0 definito come determinante della matrice

∂φ ∂ φ

2 2

( ) ( )

u , v u, v

∂u ∂v

( )

φ u , v

Jacobbiana di

Allora : | |

∫ ∫ ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

= (u )

∫ f x , y x y ∫ f x u , v , y , v det Jφ u , v u v

'

D D

COORDINATE POLARI CENTRATE IN (0,0):

δ , θ come u , v

poni praticamente cosicché la funzione diventa:

Con matrice Jacobbiana che è:

( )

−δsin

cos θ θ

( ) =

Jφ u , v sin θ δcos θ

[ [ ]

)

0 ,+∞ × 0,2 π

Anche se non è aperto.

 φ

Anche se la funzione non è iniettiva.

 ( )

( ) =0

det Jφ 0 , θ

Anche se il .



Vale la seguente formula di cambiamento di variabile:

∫ ∫

( ) ( )

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

=

∫ f x , y x y ∫ f δcosθ , δsinθ δ δ θ

'

D D

Come è possibile?

DIM:

COORDINATE POLARI CASO GENERALE:

Con determinante dello Jacobbiano:

( )

−δsin

cos θ θ

( )=det =δ

detJφ u , v sin θ δcos θ

E formula che è così espressa:

∫ ∫ ( )

( ) ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

= + +

∫ f x , y x y ∫ f x δcosθ , y δsinθ δ δ θ

0 0

'

D D

Come calcolare il centro di massa?

Data un funzione M definita in un dominio D con un immagino compresa tra 0 ed infinito;

∬ ( ) ⅆ ⅆ

=

M M x , y x y

si definisce massa totale: . In particolare se non specificata M=1.

D 2

( ) ∈

x , y R

Posto un centro generico di questa massa di coordinate: B B ∬ ⅆ ⅆ

1 x y

Le due coordinate si possono calcolare nel seguente modo, posto mis(D)= :

D

∬ ∬

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ

x x y y x y

D D

= =

x e y

B B

( ) ( )

mis D mis D

Osservato il calcolo dell’area, si può calcolare il volume?

f

{ }

|

3 1

( ) ( ) ( )

∈ ϵ ( )}

Data una regione s= x , y z R x , y D x , y ≤ z ≤ f x , y

1 2

Il volume sarà pari a :

∬ ( )

( ) ( )−f ( ) ⅆ ⅆ

=

Vol S f x , y x , y x y

2 1

D

COORDINATE POLARI ELLITTICHE:

INTEGRALI DOPPI IMPROPRI:

finora abbiamo trattato integrali parlando di funzioni limitate e domini limitati, ora ci concentreremo sui ca