Appunti del corso completo di Elettromagnetismo (Fisica 2)

NUMERI COMPLESSI

z = x + jy

|z| è l'angolo formato con l'asse delle x, si chiama FASE

Se due numeri complessi z₁ e z₂

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + j(y₁ + y₂)

z₁ * z₂ = (x₁ y₁ - x₂ y₂) + j(x₁ y₂ + j x₂ y₁ + j x₁ y₂ - y₁ y₂)

z₁/z₂ = ((x₁ + jy₁)/(x₂ + jy₂)) = 1/j((x₁ y₂ - x₂ y₁) + x₁ x₂ + y₁ y₂)/(x₂² + y₂²)

z² = x² + y² + 2 j xy

z* = x - jy

(coniugate)

z · z* = x² + y² = |z|²

|z| = √(x² + y²)

e^x = Σ x^m/m! = 1 + x + x²/2! + x³/6 +...

Σ (-1)^mΘ^2m/(2m)! ∞

Σ (-1)^mΘ^2m+1/(2m+1)! m=0

Σ e^jΘ = Σ e^jΘ/m! + j Σ e^jΘ/m!∞

= 1 + jΘ + (Θ²/2) + (Θ³/3!) +... = 1 - 0²/cosΘ - 0²/sinΘ

(θ - 0) ³/^3! 5!

sviluppo di Taylor di cos(θ)

sviluppo di Taylor di sin(θ)

cosθ + jsinθ

z_goniometric = ρe^jΘ = ρcosΘ + jρsinΘ

[e^jΘ]

e^-jΘ = cos(-Θ) + jsin(-Θ) = cosΘ - j sinΘ = [e^jΘ]*

e^jΘ + e^-jΘ = 2cosΘ → cosΘ = e^jΘ + e^-jΘ

e^jΘ - e^-jΘ = 2j sinΘ → e^jΘ - e^-jΘ/2j

[e^jΘ]^x = ρ^xe^j3xΘ

√3 = √e^1ε = e^1(±+μ) = e^3/2ε = 1/√2(1 + j)

e^1(±+μ) = -1/√2(1 + j)

DERIVATE

f'(z) = d f(z)/dz

| z = z₀ = lim_z→z0 f(z) - f(z₀)/z - z₀

con z ∈ ℂ

La funzione può contenere più variabili:

Si definisce derivata parziale

\(\frac{\partial f(x_1, \ldots, x_n)}{\partial x_i}\) =

\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1, x_2, \ldots, x_i + \Delta x, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{\Delta x}\)

La derivata seconda si indica con \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}\) e può anche essere

fatta prima rispetto a una variabile e poi rispetto all'altra:

\(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}\)

INTEGRALI

Se una funzione f ha tre variabili, posso integrare rispetto a

una delle tre una, due o tre volte,

\(\int^{b}_{a} f(x,y) \, dt \quad o \quad \int f(t,p,v) \, dt \, dp\) ecc.

DIFFERENZIALE

\(dc = \sqrt{(X(t + dt) - X(t))^2 + (Y(t + dt) - Y(t))^2 + (Z(t + dt) - Z(t))^2}\)

\(\int^{b}_{a} {c(P) \, dc = \int^{b}_{a} \delta(t), y(t), z(t)} \, dc\)

GRANDEZZE E VETTORI

Si possono sommare solo le grandezze fisiche uguali, e si possono

moltiplicare anche grandezze fisiche diverse.

\(u = \mid u \mid û \quad \dot{u} = \dot{u} \, û \quad aû = \text{vettore con modulo diverso ma stessa} \)

\text{direzione di} \, û

\(û = \text{versore equivalente a} \, û \)

\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{c}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) a cosθ è la componente (numero)

(\(\vec{a} \times \vec{b}\) a cosθ è il componente (vettore))

\(\vec{a} \times \vec{b}\) a b sen θ c

\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) \times \vec{c}\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c} = \text{volume}\)

COORDINATE

• cartesiane:

\(\hat{i} \hat{y}, \hat{x} = 0\)

\(\hat{a} \hat{x} = 0\)

\(\hat{y} \hat{z} = 0\)

\(\hat{z} \hat{y} = \hat{z}\)

P = (x, y, z)

lunghezza dx dy dz

superficie dxdy dxdz dy dz

volume dxdydz

Le cariche che si muovono sulla superficie equipotenziali non compiono lavoro.

Flusso

Considero un campo vettoriale qualunque , definisco FLUSSO di attraverso la superficie S:

Φ_S() = ∫_S · m̂ ds

La nozione di flusso viene dall’idraulica (ipotetico).

dS^⊥ è la superficie perpendicolare a r

dS · r̂_reale / r² = dΩ → angolo solido

Ω = 4π

dS^⊥ = dS cos θ

Se il flusso attraverso dS_⊥ = dS^⊥ è lo stesso (diversa superficie e diverso angolo θ tra m̂ e r̂):

1 / 4πε₀ × cos θ / r² × dS^⊥ = 1 / 4πε₀ dΩ r²

Φ_S(Ē) = ∫∫_ω 1 / 4πε₀ Q dΩ = 1 / 4πε₀ Q ∫∫_ω dΩ = 1 / 4πε₀ Q × 4π = Q / ε₀

Φ_S(Ē) = Q / ε₀ e è la LEGGE DI GAUSS

Da cui ∮_S Ē · m̂ ds = Q / ε₀ (cariche in V) = Φ_S(Ē) → flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa

Se la carica sta fuori dal corpo i contributi del flusso in entrata del corpo e in uscita si annullano.

∯_S Ē · m̂ ds = 0 se S non contiene cariche

Definisco LINEA DI FORZA o LINEA DI CAMPO una curva sempre tangente al campo vettoriale.

Un TUBO DI FLUSSO è un volume tale per cui quando calcolo il flusso attraverso una superficie del tubo, questo è sempre uguale.

Il flusso attraverso una superficie laterale è nullo.

01/03

Considero un cubo, voglio trovare il flusso di un campo quasi-ari-α attraverso le facce.

dΦ_ABCD(): · (−ẑ) dxdy = −_z(x̄, ȳ, z̄) dxdy

dΦ_EFGH(): · ẑ dxdy = _z(x̄, ȳ, z̄ + dz) dxdy

DISTRIBUZIONE DI CARICHE SUI CONDUTTORI

Consideriamo due sfere di raggio R₂ > R₁ e diamo al sistema una carica Q₂ che andrà a distribuirsi alle due sfere, collegate da un filo conduttore.

Le sfero allo stesso potenziale:

• fi₁ = fi₂
• Q₁ / 4π ε₀ R₁ = Q₂ / 4π ε₀ R₂
• Q₁ / R₁ = Q₂ / R₂ → Q₁ / Q₂ = R₁ / R₂

Le densità superficiali sono uniformi su ciascuna sfera di carica.

• s₁ > s₂

s₁ = Q₁ / 4π R₁²

s₂ = Q₂ / 4π R₂²

s₁ / s₂ = Q₁ / Q₂ * R₂² / R₁² = R₂ / R₁ * R₂² / R₁² = R₂ / R₁

Se campo elettrico E₁ generato dalla sfera 1 è maggiore del campo elettrico E₂ generato dalla sfera 2.

La densità superficiale di carica σ è inversamente proporzionale al raggio di curvatura del conduttore.

Il campo elettrico E è più intenso nei punti con il raggio di curvatura minore.

CAPACITA

Una carica si distribuisce su un conduttore secondo una certa densità e si stabilisce un potenziale fi. Definiamo:

C = Q / fi la CAPACITA’ del conduttore, si misura in F (farad).

• 1F: 1 C V^-1, ed è costante.

Per una sfera conduttrice vale C_sfera = 4π ε₀ R.

1F Farad e’ un’unità di misura molto grande,

• Cerro = 0,708 mF è costante. Possiamo prendere la capacità della terra come riferimento.

Considero due sfere abbastanza vicine da influenzarsi. Ne carichiamo una e lasciamo l’altra scarica, su quella scarica verranno indotte della cariche. Es: segno opposto a A nella parte della sfera più vicina alla sfera carica.

• fi₁ = d₁ q₁ + d₁ q₂

Potentiale complessivo: fi₂ = d₂ q₁ + d₂ q₂, se q₁ ≠ 0, q₂ = 0