Appunti completi del corso di Fisica 2

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R R− −+= = + = +13 23ε 2 4πε R 4πε R 2 2 4πε R 4πε R R 2 20 0 0 0 0r 2 2−q 3R r= 24πε R 2R0

Quindi il potenziale elettrico V (r) può essere rappresentato come segue:

V (r) R r24 Elettrostatica2 2−q 3R r

 ≤se r R

 24πε R 2R

 0

V (r) = q

 se r > R

 4πε r0

Piano Si supponga di distribuire una carica q su uno strato piano illimitato e di voler calcolare il potenziale elettrico che viene generato.

EP P rifx x asse x0 rifE

Il campo elettrico generato dal piano è costante e valeσ sgn(x)E = 2ε 0

Visto che il campo elettrico è omnipresente in tutto lo spazio, non si riesce a scegliere un punto di riferimento dove il campo elettrico non sia presente.

Quindi si sceglie un punto di riferimento in modo che il percorso che porta a esso dal punto in cui si vuole calcolare il potenziale sia parallelo all’asse x e si definisce nullo il potenziale nel

·pqa cos θ û rV (P ) = =2 24πε r 4πε r0 0

Per il calcolo del campo elettrico si fa riferimento alle coordinate polari

26 Elettrostaticay E r EP Er θpθ ûrO

Le componenti del campo elettrico sono

∂V 2p cos θ 1 p sin θ

∂V− −E = = E = =r θ3 3∂r 4πε r r ∂θ 4πε r0 0

Quindi il campo elettrico totale è pari apE (2 cos θû + sin θû )= r θ34πε r01.

7.1 Forze agenti su un dipolo

Si consideri un dipolo elettrico immerso in una regione dove è presente un campo elettricoEuniforme q F 1r1O Er2F 2−qF F

Le due forze ed sono date da1 2 −qEF F= qE =1 2

Il momento delle forze agenti sul sistema è pari a× × − × × ×M r F r F r F E p E= + = (r ) = qa =1 1 1 1 1 2 127

Elettrostatica1.8 Moto di una carica in un campo elettrico

Si supponga di considerare una carica puntiforme q e di massa m immersa in un

campoE.elettricoL' unica forza agente sulla massa è dovuta al campo elettrico, quindi per il secondo principio della dinamica, il moto della particella soddisfa ² rd q⇒ a EqE = ma = =2dt mE

Se il campo è uniforme, ovvero costante in modulo e direzione, l'accelerazione sarà costante nel tempo. Se la carica q è positiva, l'accelerazione sarà nella stessa direzione del campo elettrico, mentre se è negativa sarà in quella opposta. E

Si consideri una carica puntiforme q e di massa m immersa in un campo elettrico parallelo e concorde all'asse x e che la carica sia inizialmente in quiete nella posizione x = 0.

Eq F EE x0

Si noti che, visto che il moto avviene lungo solo una direzione, la notazione vettoriale è superflua.

Dal secondo principio di Newton si ha q⇒qE = ma a = Em

Il moto della particella è quindi un moto uniformemente accelerato con accelerazione a.

Lo stesso problema può essere trattato da un punto di vista energetico: siccome il

cam-po elettrico è conservativo, vale la legge di conservazione dell’energia meccanica. Quindi, se una carica puntiforme di massa m e carica q si muove in una regione in cui è presente un campo elettrico uniforme da un punto A a un punto B vale la seguente relazione:

K + U = K + U (16)A A B B1 12 2mv + qV = mv + qV (17)A BA B2 228 Elettrostatica1.9 Conduttori

I corpi costituiti da materiali conduttori sono corpi nei quali la distribuzione di carica è tale per cui il campo elettrico nei punti interni è nullo. Questo porta a una serie di conseguenze:

1. nei corpi conduttori, l’eccesso di carica si può distribuire solo lungo la superficie
2. nei corpi conduttori, i punti interni al corpo stesso si trovano allo stesso potenziale, in quanto, presi due punti P e P all’interno del conduttore si ha:

1 2 P 2 ·− − E dsV (P ) V (P ) =2 1 P 1

Siccome il campo lungo tutto il percorso da P a P è nullo si ottiene:

1 2− ⇒V (P ) V (P ) = 0 V (P ) = V (P )2

1 2 13. nei corpi conduttori, il campo elettrico nei punti della superficie è ortogonale alla stessa e ha modulo pari a σE = ε 0

Questo risultato è conseguenza della legge di Gauss; infatti si scelga di circondare il corpo conduttore di forma qualsiasi con un cilindro di superficie laterale ΣΣqR PE

Dalla legge di Gauss si ha q σΣint·EΦ (E) = û dΣ = =Σ n ε ε0 0Σ

ma in questo caso ·E û dΣ = EΣnΣ

Quindi si ottiene σ Σ = E Σε 0

Questo risultato è noto come teorema di CoulombσE = ûnε 029

Elettrostatica1.9.1 Induzione completa

Un conduttore carico, lontano da altri conduttori, come detto in precedenza presenta una distribuzione di carica tale da annullare il campo elettrico all’interno del corpo; si noti, inoltre che le cariche presenti in superficie devono avere lo stesso segno poiché un accumulo di cariche di altro segno può essere

piani ognuno di superficie Σ e distanti fra loro h; si alloca una carica positiva q su−qun’armatura, andando a richiamare una carica negativa sull’altra armatura.Σ −qq h 31ElettrostaticaIl campo elettrico fra le due armature è diretto nella direzione orizzontale, normale allasuperficie Σ e ha intensità pari a σE = ε 0Il potenziale fra due punti delle due armature è banalmenteσh qh−V V = Eh = =1 2 ε ε Σ0 0Quindi la capacità del condensatore a facce piane parallele valeqq Σ=C = = ε 0qh−V V h1 2 ε Σ0che anche in questo caso è un fattore puramente geometrico.1.10.1 Collegamento condensatoriIl condensatore, in quanto componente composto da materiale conduttore, può essere collega-to ad altri condensatori; lo scopo di questa Sezione è quello di trovare delle equazioni che fac-ciano in modo di risalire a degli schemi elettrici equivalenti in cui

all'insieme di condensatori si sostituisce un unico condensatore equivalente. Collegamento in parallelo: Due condensatori sono collegati in parallelo se fra le loro armature è presente la stessa tensione.

Con i due condensatori collegati in parallelo, la carica totale è la somma delle cariche sui singoli condensatori:

La capacità equivalente dei due condensatori collegati in parallelo è la somma delle capacità dei singoli condensatori: