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TEORIA DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, mentre i suoi ELEMENTI si indicano con le lettere minuscole.
A: {1, 2, 3, 6} e ∈ - simbolo di appartenenza
∅ - insieme vuoto, non ha elementi.
Gli insiemi possono avere relazioni e operazioni.
Se A ⊂ B (A è contenuto in B) → ∀ x ∈ A, allora x ∈ B
Due insiemi si dicono uguali se A ⊂ B e B ⊂ A (tutti gli elementi di uno appartengono all'altro).
I DIAGRAMMI aiutano a capire le relazioni tra gli insiemi.
Se A ⊂ B, allora
∅ ⊂ A vale sempre.
Se il simbolo ∈ indica che un insieme è uguale o contenuto a un altro, ∈ si usa per dire "appartiene ma non è uguale".
Per definire l'insieme degli elementi si usano delle proprietà.
Per esempio, i numeri pari sono definiti da {2m | m ∈ ℕ}, e i numeri dispari da {2m +1 | m ∈ ℕ}
A: {a} - si chiama singoletto (insieme)
INSIEMI PARTICOLARI
ℕ = {1, 2, 3, ...} ℕ0 = {0, 1, 2, 3, ...} → naturali
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, ...} → interi
ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℤ\{0}} → razionali
→ ℕ ⊂ ℕ0 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
OPERAZIONI TRA INSIEMI
- U - unione
- ∩ - intersezione
- \ - differenza
Unione: A ∪ B = x che appartengono ad A, a B o a entrambi.
X ∈ A ∪ B se e solo se x ∈ A oppure x ∈ B
Es. A: {1, 2, -1} B: {1, 2, 3}
A ∪ B: {-1, 1, 2, 3}
Intersezione:
A ∩ B indica l'insieme delle x che appartengono sia ad A che a B.
X ∈ A ∩ B se e solo se x ∈ A e x ∈ B
Es. A: {1, 2, -1} B: {1, 2, 3}
A ∩ B: {1, 2}
Differenza
A - B rappresenta l’insieme dei numeri che appartengono solo al primo insieme (A).
x ∈ A - B se e solo se x ∈ A e x ∉ B
Es. A = {4, 5, 6} B = {3, 2, 3}
A - B = {4, 5, 6}
L’ORDINE negli insiemi non è importante:
{1, 2, 3} = {3, 1, 2}
Unione e intersezione sono operazioni commutative
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ B = B ∩ A
- A ∪ A = A
- A ∩ A = A
- A ∪ ∅ = A
- A ∩ ∅ = ∅
- Se B ⊂ A, A ∪ B = A
- Se B ⊂ A, A ∩ B = B
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
- A ∪ B ∪ C
Se ho n insiemi A1, A2, A3, ..., Am
∪i=1n Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am = ∪i=1n Ai
RELAZIONE DI MORGAN
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Per dimostrazione di questa relazione ha come tesi:
se x ∈ (A ∪ B) ∩ C, allora x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
e se x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), allora x ∈ (A ∪ B) ∩ C
Vale anche: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Ac = {x ∈ U | x ∉ A}
Ma se P e Q sono entrambi pari sono entrambi divisibili per due, e ho quindi una contraddizione.Deriva che √2 non può essere razionale, quindi √2 ∉ ℚ
18/09
PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI
Per i numeri razionali abbiamo studiato le operazioni + e •, e il collegamento :-
Non esist x ∈ ℚ t.c. X2 = 2
I numeri reali godono di tutte le proprietà dei numeri razionali.
INTERVALLI
Un intervallo è una semiretta o un intervallo.
Per a,b ∈ ℚ con a
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