Appunti completi scienza delle costruzioni

Teorema della Catena Cinematica

Primo: presi un sistema di corpi rigidi i e j, devono essere allineati i due centri assoluti Ci e Cj, e il centro relativo Cij. Questa è condizione necessaria e sufficiente per la labilità se e solo se i corpi sono due.

Secondo: presi un sistema di tre corpi rigidi i, j, e k, devono risultare allineati i tre centri relativi Cij, Cjk, Cik → per tre o più corpi devono essere soddisfatti eventuali ulteriori.

Equazioni Cardinali della Statica

Se si assegna a un corpo ad un sistema di vincoli tale da impedirgli qualsiasi possibilità di moto rigido, allora il corpo rimane in quiete sotto ogni sistema di forze.

Le reazioni vincolari, dipendendo dal sistema di forze applicate e dalle condizioni di vincolo, sono incambiabili mediante le eq. cardinali della statica, basandosi sul postulato: "le reazioni che i vincoli, esplicano sul sistema S vincolato, pensate sostituite ai vincoli stessi, possano equilibrare le forze agenti su S".

Le ECS sono tre equilibri: ΣFxi = 0 equi. traslazione orizz

ΣFyi = 0 equi. " " verticale

ΣMi = 0 equi. rotazione

In aggiunta possono anche considerarsi gli equilibri rispetto a eventuali vincoli interni.

Le ECS sono condizione necessaria per la quiete di un corpo.

Condizione sufficiente " " " " se isostatico.

Condizione necessaria ma non sufficiente per la quiete dei corpi ipostatici in equilibrio sotto certe forze applicate.

Principio di Sovrapposizione degli Effetti

L'effetto prodotto da più azioni esterne che agiscono in contemporanea è pari alla somma degli effetti prodotti dalle singole azioni esterne agenti separatamente. E valido se si hanno piccoli spostamenti/√ esso è in campo elastico lineare.

Equazioni indefinite di equilibrio

Consideriamo travi rettilinee soggette a carichi concentrati e distribuiti e a coppie concentrate e distribuite. Si prende un concio di trave (infinitesimo) di lunghezza _dz, originatasi da soggetto solo a coppie e carichi distribuiti ed eq. di equilibrio nel piano per sola traslazione secondo piani Px, Py e alla rotazione attorno al loro punto di intersezione.

Fr, Pr, e mde sono le risultanti dei carichi distribuiti.

• ^{ΣFx =} - N' + Pr_z + N t_dN = 0 → -^dN/_dz = Pr
• ^{Σy =} - T - Pr_r + T_idt = 0 → - ^dT/_dz = PN
• ^{ΣM =} M' + Tdz - PN_zdz - mz + M' - ^dM/_dz - Tm

(esterno perché d^{infinitesimi di ordine superiore})

Sistemo eq. indefinite di equilibrio per le travi piano ad asse rettilineo, sono valide nei punti in cui PN = PN(z), PR = PR(z), m = m(z) sono funzioni continue.

Se Pr = m = Q → N = cost ⇓ ^dT/_dz = -p ^dM/_dz - T

Es:

A trave in carica P=0

• ^dT/_dz - psin = 0 ⇓ T cost. p=0
• p=0 → nullo → ^{⇒ M lineare al limite o cost. o nullo}

Gli abbassamenti di una trave, la trave reale, sono equivalenti ai valori dei momenti M⁰ di una seconda trave, trave ausiliaria o fittizia il cui carico è costituito dal diagramma dei momenti della trave reale diviso per EI.

I due ordini, nel teorema di Mohr consentono il calcolo delle rotazioni.

Le rotazioni della sezione sono pari a valori del taglio T⁰ della trave ausiliaria divisi per El.

Le rotazioni delle sezioni terminali sono pari a valori delle reazioni vincolari della trave ausiliaria divisi per EI.

Teoria della piccole deformazioni:

Consideriamo due punti A, B, A^*, B^* appartenenti all’intorno infinitesimo di A ed A^* rispettivamente

Se r_AB=r_A+dr r_AB^*=r_A^*+dr^*

e dr^*=dr+d_s

si ottiene S_B=S_A+ds

Dato un vettore di spostamento Ψ è possibile definire il gradiente di spostamento

η_j=_dS/_dx ⇒ S_B = S_A Ψ dx

dove

Ψ_j=∂v/∂x∂v/∂y∂v/∂z ()∂v/∂x∂v/∂y∂v/∂z

mi dice come varia il campo di spostamento nel continuo.

Ψ può essere scomposto nella componente simmetrica E e in quella antisimmetrica Θ.

ε=¹/₂(Ψ+Ψ^T)

ε_ij:=¹/₂(∂s_i/^∂x_j+∂s_j/∂x_i)

Θ=¹/₂(Ψ-Ψ^T)

Θ_ij:=¹/₂(∂s_i/^∂x_j-∂s_j/∂x_i)

quella diversione applicata co baricentro e quella di sup. agenti sulle facce

coordinate & facce di volume dv=da dw/3 possono essere trascurate perchè

l'infinitesimo è di ordine superiore ad h. Quindi ottengo:

t_n da= s_x cosλ_x da + τ_yxcosλ_y da + τ_zxcosλ_z da RELAZIONI

t_ny da= τ_xycosλ_xda + s_ycosλ_yda + τ_zycosλ_zda DI CAUCHY

t_nz da= τ_zxcosλ_xdaτ + τ_zycosλ_yda + s_zcosλ_z da

dove λ_xλ_yλ_z sono gli angoli che m forma con gli assi x, y e z e

cosλ_x cosλ_y cosλ_z sono i coseni direttori di m.

Per ogni faccia si considera un orientatore verso l'esterno

b il verso della componente normale: di tensione bè concorde con m

b il verso della tangenziali: it sarà concorde o discordale con m.

tenso saggio alla terna extrinseca di riferimento (pessoi a cui sono)

es : τ_xy considerata per s_yy considerata x etc) a seconda che la

m della faccia sia concorde o discordale con essi.

Le relazioni di Cauchy portate al limite, ci dicono come si trasformano le

componenti di tensione restando fermi gli P ma cambiando la giacitura delle kn-

mento dis.p appartenuta a P

Elimino : da

(ω_tnx, ω_tny, ω_tnz)

• (δ_x, γ_yx, ζ_zx)

  (γ_xy, δ_y, γ_zy)

  cosλ_x -> e rimane rispetto ai coseni direttori

  (ξ_zx, δ_zx) cosλ

T_e quindi Ted_n chae T^E existingo

1. Primo eletto TENSORE DELLE TENSIONI
2. DI CAUCHY

T =

(ξ_x, γ_yx, ζ_zx)

(γ_xy, δ_y, γ_zy)

(ζ_zx, γ_zy, δ_z)

(c) Si considera nell'interno volumetrico di P luogo siature, una con

m=(l_x, m_y, m_z) normale e l'altra M=(m_x, m_y, m_z) normale

quindi:   ε_ij = 2ψ          d ψ = ε^T ⋅ dδ

                  ε                                                                                       δ

                  ---------------------------                                                                     

                                                                                                                ψ

                                                                                            ν                                       δ

Legame elastico uniaxiale              Legame elastico lineare

ψ = w = 1/2 ⋅ ε^T ⋅ ν - 1/2 ⋅ ε ⋅ dx                           La forma quadratica

Se W e ψ sono entrambe definibili, il legame elastico peuo essere rappresentato δ=⋅(ε) o ε=⋅ε(δ), se le due condizioni iniziali sono rispettate si ha un legame binimico tra ε e δ.

1. Legame costitutivo elastico lineare considerevamo

w=w₁(ε_x, ε_y, ε_z, κ_xy, κ_yz, κ_xz)

  La sviléfono in serie di Maclaurin intorno alla origine w(∅).

Stato infoglio ad volume unitario dello corpo ottengo

W(ε_x,ε_y,ε_z,κ_xy,κ_yz,κ_xz)=λ(0)+ (partia); (λ) [$

                       &