Appunti completi Probabilità e statistica (Terza parte)

5-Statistica

Introduzione

La statistica di

che

• si

una scienza occupa

dati

conclusioni dai sperimentali

travre e

confrontarsi

Solitamente una

con

occorre insieme molto grande

ovvero un

Popolazione , associate delle

cui

di sono

oggetti a

misurabili

quantitˆ . selezionare

L'approccio consiste nel

statistico

ridotto

sottoinsieme di che viene

oggetti

nu ,

analizzarlo di

sperando

detto campione e

,

conclusioni valide l'intera

ottenere per

popolazione .

Per effettuano

fare solitamente si

questo

alcune la

considerazioni relazione

circa

due insiemi

i

tra :

1) si unlimplicita

visia

che distrib

assume probabilitˆ la

di che

uzione regola

Popolazione

Dalla

2) popolazione si degli

estraggono

il

costituiscono

che campione

oggetti , ,

in quantitˆ

Le mmeriche

maniera casuale

.

tali

associate a sono

oggetti pensate come

stessa

indipendenti la

tutte con

va

distribuzione

Definizione 1 ha X1 di

Xu

insieme Va

: ....,

tutte

indipendenti la distribuzio

stessa

e con distribuzione

si #

della

ne dice campione

Solitamente tale probabilitˆ

distribuzione di

nota

mai

• completamente

non -

-

In alcuni possibile che F

possibile

• •

casi lo i

siano suoi

nota che non

sia ma

, incognite

N(M 02)

(es

parametri Meoz

con

,

.

termine

Il variabile

statistica indica una

funzione dati

dei

aleatoria di

che una

•

distribuzione media

(es varianza

e campiona

.

ria

Media Campionaria

Siauo indipendenti identicant

e

via

Xe Xu

...., (i

distribuite

ente id) .

.

Definiamo la media campionaria come

Xu

Fui X1 xz +

+ +...

= U funzione

statistica

ed delle

in

• quanto

una ,

ed in volta

V el

particolare sua

X1 a

a Xu

. ,..., aleatoria

variabile

una . +

+... Xy]

E[Xe

Va l o re ETFu]

atteso =

: U

E[xe] ELXu]

+... +

= = =

U ↓

Stesso valore

oss : della

atteso

+...

(X1 Xe

Vor +

Vor

(Xu)

Va r i a n z a distribuzione

: = da stimare

U

↳ ridotta fattore

di u

un 402

Vor(X1) Vor(2)

+

variabilitˆ

la +

all'

si riduce ...

· =

diu

ammentare - 42

42

02 ridotta

la e

varianza invece

O :

= D fattore u

di un

V

*

- di

medie

densitˆ

' delle campionare

standard

normale

popolazione

una

P (0) +

Px-p(0) + -u(0)

Il Il

T O

Etet(x - M/]

* y(t) =

x -

↳ 1

-p(0)

exe = (1

+ - M)]

El(x1

by (t) 1)e

= -

La E[X1]

E[x1-1]

Exer(d M 0

= =

-

= 112et(x1 - 1))

d'Yn E[(x1

-m(t) = -

↳ (2)

ET(Xn

Pxn(d) -

= 2

Vo r ( x 1 )

= 0

=

Introduzione

La il

statistica delle probabilitˆ

calcolo sono

e strettamente collegate

due ma

discipline

coincidono

non ↑ fenomeni

delle

Il studia

probabilitˆ

calcolo

· li

la che e

casuali legge

quando governa

nota .

La la

statistica legge

invece

· quando

nasce

il fenomeno e ignota

che e

governa dedotta dai dati

.

deve essere

I statistica

della

significati

due "statistica" ha

La due significati

parda

distinti :

1) Statistica del calcolo delle

come parte

probabilita' :

"lo verifichi

studio probabilitˆ che

delle si la

evento casuale

certo quando

un

distribuzione nota"

•

Questa statistica

chiamata

• spesso

descrittiva probabilistica .

statistica dati

funzione dei

2) come

campionari :

Questo il importante

significato

• pi•

statistica

tipico matematica

della

e .

Qui la statistica :

e

"Una funzione aleatorie

variabili

delle

campionarie"

Formalmente :

1 Osserviamo un campione

- (X1 Xu)

X2

, .,

.

.

, funzione

costruiamo

2 una

- f(Xe Xu)

X2

, , ...,

Questa statistica

si chiama

funzione .

variabile

ed volta

e aleato

a sua una

ria . ?

Perche' loro

da che

X1

dipende X2 Xu sono a

· , ...,

,

aleatorie

variabili

volta .

Esempi : X2+...

Xe

Fu + n

media campionaria

· =

Se

varianza =

campionaria

· -

fenomeno

Dal al

aleatorio campione

Raccolta dei dati

1 - statistica l'obiettivo

La di

nasce con

analizzare una popolazione . molto

(in

: insieme

popolazione = genere

di individui

oggetti

grande) ,

unitˆ statistiche

o .

la e'

Il popolazione :

genere infinita

(o addirittura

troppo grande

· troppo costosa

· osservabile completame

quindi e

non

e

ute

.

Non l'intera

quindi

potendo osservare

statistica qualizza

la

popolazione un

,

campione (Xe Xu) d

i

i

X2 a

v

u . .

.

, , ...,

l'ipotesi che

con indipendenti

le osservazioni siamo

· la

hanno distribuzione di

stessa

e

· probabilita

Nella statistica : la distribuzione

conosciamo

· non ,

& Xul e completamente

cioe' Xe Xz

, , ...,

la forma

incognita e sua

, della

conosciano i

non parametri

· distribuzione X

(M 02 P

,

,

, .....

I obiettivi statistica

due della

Determinare la distribuzione

1 -

Si da da

descritta

parte popolazione

una una

V X

Or

. +(x(X a)

X ; /o di

vettore

parametro

L parametric ignoto

l .

distribuzione

di X

Dalla si estrae

popolazione campione

un

casuale CX1 Xu)

X2

, ...., le

fondamentale che va

l'ipotesi

con i d

i

siduo . . ipotesi

Successivamente si unl

genera

lavoro

di

Si modello probabilistico

un

sceglie

plausibile .

Questa scelta effettuato

pu˜ essere

strumenti

anch con come

grafici :

aiuta

l'istogramma rappresentare

a

ci

· : dati la

i suggerire

,

d forma della distribuzio

stima della il

a

ne e scegliere

forma grezza modello

.

giusto

distribuzione

teoriche

conoscenze

· fenomeno

sul

esperienza .

·

2-Stimare i parametri

Una scelta la distribuzione

volta resta

,

i

il sono

problema principale parametri

:

ignoti .

Mediante la stima dei parametri e

il loro valore

ottenere

possibile .

Stimare significa

un parametro

statistica approssimi

costruire che

una del

valore

il parametro

vero .

esempi :

Fu stimare

· M

per

S2 stimare o

· per

Questo statistica

il della inferen

• cuore

Ziale

La di

stima il

dei • problema

parametri

di parametri

i

determinare valori questi

i dati osservati

usando .

In distribuzione

la si presenta

generale

come Xvfx(X 0)

=

dave

Ex dix

la

rappresenta legge

· :

O il (o di

• vettore

· parametro un

: parame

stimare

etri da stimatore

Definiamo la la

vo e del

la

indichiamo o funzione

con ,

campione 8 (X1 Xu)

= X2

, ..,

, .

E' importate distinguere

statistica

la

stimatore

· : dallo

il

stima valore muerico assunto

· : stimatore volta osservati i

una

dati buoni

Non stimatori

tutti gli sono per

,

studiano alcune

si proprietˆ

questo

desiderabili

.

Proprietˆ desiderabili

Correttezza

stimatore

Uno corretto

si dice se

ELE] = 0

la distribuzione

della

media dello

cioe'

, del

stimatore il

coincide valore vero

con

parametro &

Altrimenti distorto

dice

si .

21

34

dddd é corretto

! il

Immagina volte

infinite

ripetere

di

campionamento : di

atteniamo

volta valore diverso

· un

ogni valori sull'asse

distribuiscono reale

si

questi

· la media 0

di valori centrata

•

· se questi su

•

allora corretto é attenuti

valori

dei

media

la di • spostata

se

· distorto

allora e' f

423 é distorto

d

Efficacia

Uno stimatore molto

pu˜ essere comunque

variabile Per

corretto

anche e

se questo

/

la di

stata introdotta proprietˆ efficacia .

Siano e .

0

stimatori di

due corretti

1 2

dice che

Si :

En Ez Var(…) Vo r ( 2 )

efficace di

• <

pi• se Es

↓

↓ ↓ ↓ 8z

44844

Lo •

stimatore efficace pi•

pi• quello attorno

cio• minore dispersione

con

preciso ,

20 . CramŽr-Rao

Disuguaglianza di :

Vo r ( ) =C

dove

CO dipende distribuzione

dalla

e

· dal

e .

parametro

=> ALLA

ESISTE UN MINIMO

TEORICO

LIMITE

QUALSIASI

DI STIMATORE

UN

VA R I A N Z A

CORRETTO .

Consistenza

La il

invece

consistenza riguarda comport

amento di stimatore .

u-sto

uno per

u

Uno stimatore dice consistente

si

se P(In-OKE)

Va s o -O

u 0

+

3

-

cioe' : la

aumentando mumerositˆ del

· campio

lo stimatore

probabilitˆ

la

ne sia

che

,

loutallo diventa

o

da nulla .

lo avvicina

stimatore

D dati si

pi•

col

= al valore vero . "

~ Manga NeNz

rango

campione

Te o r e m a consistenza

fondamentale di :

Va r ( 8 )

ET] 0

line o

lim

Se =

= e

u A

+ A

u

-3 3 +

-

é

allora consistente

• .

& ET] (8)

Va r

• una di cui

V. a e vanno

teoricamente

calcolate la distribuzio

con

il

di x valore .

0

di

ne e vero

E' difficile trovare stimatore che

uno desiderabili

proprietˆ

tutte le

rispetti .

di

Principio massima verosimiglianza

Nei abbiamo visto

precedenti

paragrafi da della

partire

a

come un campione

determinare la

si

popolazione potesse

distribuzione associata a)<