Appunti Statistica

A

INTERSEZIONE in

e

:

- À di eventi

insieme clue in A

NEGAZIONE : sono

non

-

PROPRIETÀ Beh B

Date & A

A O

con

com

, , , , .

d

mai wote

è

Aub

· mon contemporaneamente

Mu incompatibili

wete si

,

AlB verificave

B

Ae sono possono

· essere .

non

, esaustivi

incompatibili

eventi 1

H UHz UHK

He

Dati Hi U

Hk V

K

· sono se :

, =

,

... ...

Afo =d

solo se

se

· , AIX

evento impossibile

A è

se

· un

cento realizza

evento

A si

> sempre

· È di

complementare A

è

· CONDIZIONAT

EVENTI un'operazione Ribure

degli

condizionamento

Il eventi lo

.

è 1 novisle si

sulla spazio

spazio ,

evento cente

al

evento le

verifica il

esempio prime cancie

faccio .

un

un , ,

B-testa

verifica

si Mimo

al lancio

esempio > , diventa evento

probabilità

degli ,

eventi impossibi

viduce lo quindi

spazio la

si andue un

le f +e)

↑ Intersezione

Te condizionamento

+++ + +et

B * e

= , ,

, diversi peucle si

sono diversi

Que

riferiscono ,

spazi

a /21B

(2)

rispettivamente

Anclue eventi definite

gli blue e

cambieranno

1

in

aveud .

PROBABILITÀ

PANBI songiunta

probabilità

=

P/AIB) condizionata

probabilità

-

P(A) marginale

P

>

- di

Se tufi ogni

probabilità e

equipavabili

casi evento

la

, A

i :

sono e in

fare

di

Di er

Palme

condizionato

probabilità

>

- et?

Affitt tet

te

esempio : , ,

,

4

P(A) 3

0

=

= , TetY

Albert Te

, ,

P(a,B) 3 probabilità

aumenta la

75

0

= = ,

nuouietà

assioni e

> 01P(A) 1

· Pr)

evento cento 1

>

· =

-

Praubl piBl-PlanBI plaubleplay

Pra) amb=o

· se

>

+

= Play

PIA) 1

· = -

Planbl pibialpray

Plaibipibl

· =

= P/AMBI PIA) PIBL

indipendenti

B

A

se sono :

e = . PiBial

/albl Pla) PiBy

P e

= =

I

INDIPENDENZA PLAMBIPIAIPIBI di

indipendenti dice

eventur

Due ALB il

due B

verificandi

B solo nel

A sono e se

se

e ,

di sull'altur

infierisce di evento

probabilità influisce

A verigicansi

Il

miseuensa

sulla non

non e un

.

indipendenti

Que incompatibili

eventi due eventi

compatibili

, essere

sono

sono non

se possono

indipendenti

. PROBABILITÀ

TEOREMA DELLE TOTALE

Ex ed

Keventi esaustivi incompatibili

E

siamo , ..., =

EUEzU ij

R VEr EjNEi

· k

1

, ...,

= =

...

Date BER

evento

qualunque

un .

/BI PIBREKy

P PIBMEn +

+...

=

Il PIBlEk)Preke

PiBIE PIE)

↑ +

+...

= di

La probabilità

bianche

contenenti

esempio palline

k

sei Er Ex e

sono come neue .

e ...., delle

bianca

estuaume scelta

pallina considerando equinovabile

due la è

come

una .

bianche

palline Es

in

numero

Pibleil

Pleile =

i di

nalline in Es

numero bianclue

nalline EK

in

bianclue in Er

palline 1 numero

numero 1

P

/BI f

+..

= ~ -

K K

EK

palline in

in Es numero

palline

numero

BAYES

DI

TEOREMA di

alternative condizionata

Consideriamo probabilità

mode la

calcolare

un PIBIA) Play

P(BA)

b)

P(a / =

= p(b) play

pibia)

pibla)p(a) + totali

teauema

denominatore delle

Dove probabilità

calcola

il il

si con . tanti

l'evento da

l'effetto eventi

può

due B causato

due

supponiamo lia

- essere

olve disgiunte

Es Er esaustive e

Sono Cause

...,

, il pieausain

Preffetto I Causa

↑ Icausa leffetto)

: = PIEFFETTON Preis

PIBIEi)

Plein

Pible /

:

Plei Bl

/ -

= piBI PiBlEx/P/Ek

PiBleyiPlE +

+... Ei

dellasausa

PIEil l'urma

probabilità nuvoi scegliere

a

. PlEi/BI B /estwalta

date

della l'effetto

postenini

probabilità pallina

Ei la

· cusa

a , bianca)

VARIABILE ALEATORIA ER

continua

variabile

alcatalia Quiscreta N definita

def aleatoria X è

variabile

Una cue

e

funzione associa

sulla spazio un

: una elementare

ogni

ab

XIWIX

reale evento war

numero tutte dall'esito

Non di

interessato le esperimento

ricavabili

informazioni

sempre sono un

a dalla

Spesso quantità

ad Ivaviabile)

interessato

aleatorio Quindi

nosse

sola spazio

una

sono passare

. .

punti Posso

derivato assegnante ai

ad

eventi1

degli in X

valdue

I

X in

una un

, , .

decivata in

La ai

assegnate

ai punti

probabilità R

valdi X

in quelle

assegnare una

Posso descriva robabilità mode

le pousimoniosa

specificare due sul

funzione spatio in .

una nuove

La aleatoria è che attribuisce ogni

variabile funzione w X

una um

a .

alcateria

X realizzazione

possibile

variabile X

: :

VARIABILE ALEATORIA DISCRETA numerabile

discreta di

un'infinità

variabile valoi.

la assume

distribuzione di probabilità px/x

:

· discreta distribuzione

Data aleatoria è due

variabile la

X associa

PXKX) funzione

una

una ,

di

ogni

at la probabilità verificandi

x P(x) >0

·

x)

P(x P(xi)

> 1

p(x) ·

= =

=

di rinautizione

funzione

· P(XX) di

F(x) Probabilità determinato ad quantile

Pi le X X al

esempio fino

un

=

= , EX)

di

il discreta

caruale

alteso variabile

alteso

valowe X

valove Vi pi :

· : : MX

una =.

=

VK1E/X-wx Ki-wx2

discreta e pixi

di caruale

variabile

la

varianza X

varianza

· :

una

: ,

di di PKi yj)

probabilità P(X y

yi) Xi

funzione massa =

= =

,

, ↑

yj)

P(xi) (X y

xi

= =

= , marginali

yj)

P(yj ( v

Xi

= =

= , H

Dalla songiunta le la

ricavare marginali due

viceversa liams

posso meno

e non

Coppie CONTINUE

DI ALEATORIE

VARIABILI congiuntamente

aleatore esiste negativa

Due variabili continue funzione

se

sono una non

tale

Di minautitione due · F(x g(x y

yi = ,

,

by congiunta

densità

() yeBY

=Ex

yec)

Pix robabilità

y/dx by

f(x yer

congiunta XeA

con :

= ,

, ,

, (x y)2e

, fix

PIXea veBl by

y

= ,

, by y

=bl

Pixza di

Fra e

bi ripartizione

funzione

=

= ,

, La Si probabilità

di mi partizione f

g

> a

52 F(x yo

,

f(x y) =

, 2x by

DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE Pre Fi

Pleifl

In ,

eventi

generale per = PI = / Pig

Pi

Pxix(

discrete

di

nel variabili y1 Dy o

casa

- =

, Pyly condizionata

di

funzione probabilità

di

massa

bi continue

nel variabili

> caso f(x y) f(x))

, /y) (ex

f

y(x

fx y) > y

= =

,

+ ,

fry

DENSITÀ

CONDIZIONALE

X

ATTESO DISCRETA

VALORE , Xi

di

discreta xiPIX

alteso X E'XI

il

è

Se valeue

X : =

=

, la

della infirature probabilità

alteso due

il è

funzione X

valove 1

=

1)

1)

0) P(x

P(x

P(x

E(x) 1

+

0 =

=

= =

= .

. del bi di è

due

Il altese entwa il

vagazi

valaue 3

in

numero gruppo se gruppo

un

e

magazzi

scelto 3

li

gua

caso ragazze

e :

a 31//33x)

E(1 *

= /

x o

VALORE X

ATTESO CONTINUA Eligi

Elié

continua di

Se X valoue atteso

il X

è :

, ,

PROPRIETÀ ATTESO

VALORE gix)

Valae di aleatoria

X

grx aleatoria variabile

altese variabile amolue

è è

se

: una

una .

Se continua

X è

· =

gig

Ergixi)

discreta

Se X

· è x)

yg(x)P(x

Erg(x() = =

DELLA

MOMENTI DISTRIBUZIONE X"

EX) E(X)

Mm(X/

Valori altesi delle potenze Pix

variabili =

1

m

·

=_ =

= /

=

E(x

>

2

· m =

= E(x)2

E(x)

VIX) -

=

COVARIANZA E(X-yx)(X wy) E(X) E(x)

XI altesi

Covix valoui

=

Mx Wy =

- =

=

, Eriery/

y1 E(Xy)

oviX

& = -

, =

della E1 8)

coV/X cov1y

covix +

=> covavianza + +

somma = ,

,

,

se y1

X 1 covix

Y

=> 0

=

, viyy

V(x)

y)

VrX + +

=

ErX/ery

EXX1 =

GENERATRICE

FUNZIONE DI MOMENTI

di di

dalla della

dalla

Si probabilità

tensità

o

probabilità funzione

attiene funzione

Date pix

f(x) , etX

PH di

Ex altese gix

> valoue

= g(x)

denivandola momenti

t=o di otiene i

=> con

derivata mima-momento momento

ferivata secondo

pimo seconda

, , ...

Q() QH)

Ox y()

Sex x

+ > +

=> =

- + distribuiete

indipendenti

id identicamente

e

:

DISUGUAGLIANZA MARKOV

DI PKa)EK) Vaso

alcateria

variabile negativa

Sia X alleva

non

una , a

da

= D

Eri A

DI

DISUGUAGLIANZA CHEBYCHEV di ,