Appunti completi per l'esame orale totale di Fluidodinamica

IN UN TERMINE DI VOLUME

TRASFORMO

UTILIZZO TEO. DELLA DIVERGENZA

RISULTATO DELLA DIVERGENZA DEI VETTORI VETTORE CON COMPONENTI RISULTATO STESSA COSA PER TERMINE DOVUTO ALLA PRESSIONE

DIVERGENZA DI UN TENSORE

TENSORE PRODOTTO SCALARE TRA

OPERATORE DIFFERENZIALE NABLA RISOLVO

APPROFONDIMENTO

PRODOTTO TENSORIALE DEL VETTORE VELOCITA' CON SE STESSO --> INTEGRANDO NULLO

PRODOTTO TENSORIALE E DIVERGENZA DI UN TENSORE INTEGRALE DEVE ESSERE NULLO PER QUALSIASI VOLUME EQUAZIONE DI EULERO

TRATTO ALTRE COMPONENTI IN MANIERA ANALOGA RISCRIVO IN FORMA VETTORIALE COMPATTA FORMA CONSERVATIVA DELLA CONSERVAZIONE DELLA Q. DI MOTO

DOVE

INERENTI LO STATO TENSIONIALE MANIPOLAZIONE NON INFLUENZATA DAI TERMINI A DESTRA RISCRIVO IN FORMA PRIMITIVA

MANIPOLANDO SOLO I TERMINI A SINISTRA DELL'UGUALE HA UNA DIREZIONE NON COINCIDENTE CON LA NORMALE

PERCHE DIPENDE DALLA DIREZIONE NORMALE ALLA SUPERFICIE SULLA QUALE VALUTO GLI SFORZI

PER DESCRIVERE STATO TENSIONALE IN UN PUNTO NON BASTA UN VETTORE

DIVERGENZA DI UN TENSORE

CON SCRIVO IN FORMA VETTORIALE MATRICE DI ROTAZIONE ROTAZIONE ATTORNO A Z

EQUAZIONE DI CAUCHY TENSORE DEL 2° ORDINE 9 COMPONENTI VALE LA TRASFORMAZIONE DOVE ESSENDO

SE RUOTO IL SISTEMA MATRICE DI ROTAZIONE ORTONORMALE

SE UN VETTORE RAPPRESENTANTE UNA QUANTITA' FISICA

GENERALIZZO PER LE ALTRA COMPONENTI A 9 VOMPONENTI

PUO' ESSERE ESPRESSO COME PRODOTTO DI QUESTA GRANDEZZA PER UN ALTRO VETTORE

DEFINIZIONE

INTEGRALE DEVE ESSERE NULLO PER UN VOLUME ARBITRARIO ALLORA E' UN TENSORE

INTEGRANDO NULLO <----- ESISTONO 2 INVARIANTI

TRACCIA DEL TENSORE COSTANTE

ESISTE UNA ROTAZIONE CHE LO FA DIVENTARE DIAGONALE

SE E' SIMMETRICO GLI ASSI PER CUI E' DIAGONALE DIREZIONI PRINCIPALI

PROPRIETA'

UNISCO I RISULTATI SE LE COMPONENTI NON CAMBIANO CON LA ROTAZIONE

TENSORE ISOTROPO

FORMA COMPLETA EQUAZIONI PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN TENSORE E' UN TENSORE

6.3 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

ANALOGAMENTE IL TERMINE DOVUTO AGLI SFORZI UTILIZZO TEO. DELLA DIVERGENZA

IN UN TERMINE DI VOLUME TRASFORMO SU VOLUME TETRAEDRICO DI FLUIDO

IL TERMINE DI FLUSSO DELLA Q. DI MOTO

OTTENGO LUNGO X

ASSUMENDO APPLICO REYNOLDS RAPPRESENTAZIONE TENSIORALE SFORZO

Z ALLA COMPONENTE DELLA Q. DI MOTO EQUILIBRIO FORZE

CON Y e Z

IL TERMINE SOSTITUISCO AL TERMINE DI PRESSIONE

DEL CASO INVISCIDO

VALE STATO TENSIONALE SU SUPERFICIE INFINITESIMA dS GIA' DIMOSTRATO CHE

PRESO LUNGO Z AGGIUNGO LA COMPONENTE DELLA FORZA PRECEDENTE DERIVO PRIMA LUNGO Z SULLA SUPEPRFICIE INCLINATA

VETTTORE CHE DESCRIVE LO STATO TENSIONALE

AGGIUNGO TERMINE PER FORZA DI SUPERFICIE NELLA FORMULAZIONE INTEGRALE RISULTATO

CONSIDERO ANCHE SFORZI VISCOSI

VALUTATO SUL PIANO

6 COMPONENTI INDIPENDENTI HA ALPIU' TENSORE DEGLI SFORZI SIMMETRICO

CONSIDERANDO SOLO I MOMENTI DOVUTI ALLE F. DI SUPERFICIE POSSO SCRIVERE L'EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE EFFETTO SCALA

QUINDI

TENDE A 0 PIU VELOCEMENTE DELLE F. DI SUPERFICIE DOVREI VALUTARE

MA

MASSA

PER EFFETTO SCALA SEMPRE VALIDA

COME SIMMETRIA DEL TENSORE CONTIENE LO SFORZO NORMALE DOVUTO ALLA PRESSION E

SFORZO

METTO IN EVIDENZA IL TENSORE DEI SOLI SFROZI VISCOSI

APPROFONDIMENTO APPARE NELL'OPERATORE DIVERGENZA

NELL'EQUAZIONE DI CAUCHY E LO RICAVO

USO L'IDENTITA'

LA RELAZIONE

NAVIER STOKES COMPORTA QUESTA IDENTITA' PER LE COMPONENTI DEL TENSORE

NOTIAMO

SCRIVO CAUCHY IN FORMA COMPATTA E SOSTITUISCO

SOSTITUISCO NELL'EQ. DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO IN FORMA COMPATTA

OTTENGO L'EQUAZIONE DI NAVIER STOKES IN FORMA ESTESA

6.4 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE TENSORE DELLE TENSIONI 6 COMPONENTI INDIPENDENTI

10 EQUAZIONI DENSITA'

N-S PROPRIETA' COSTANTI

SOSTITUISCO VELOCITA' 3 COMPONENTI INDIPENDENTI

NEI TERMINI DELL'EQ. DI NAVIER STOKES DEFINIZIONE SFORZI VISCOSI NON MOLTO UTILE QUANTITA' DI MOTO 3

EQUAZIONI DI CAUCHY 4 EQUAZIONI CONSERVAZIONE DELLA MASSA 1

SERVONO ALTRE 6 EQUAZIONI

TENSIONE TANGENZIALE

LEGANO

USO DEFINIZIONE DEL TENSORE VELOCITA' DI DEFORMAZIONE [S] TENSORE DELLA VELOCITA' DI DEFORMAZIONE [S]

A VISCOSITA' COSTANTE FLUIDI NEWTONIANI SFORZI VISCOSI FUNZIONE LINEARE DEL TENSORE VELOCITA' DI DEFORMAZIONE [S]

FLUIDO OTTENGO

INCOMPRIMIBILE SOSTITUISCO STATO TERMODINAMICO

DIPENDE SOLO DALLE GRANDEZZE NELL'IINTORNO DEL PUNTO

CHIUSURA NEWTONIANA NEL TENSORE DEGLI SFORZI VISCOSI TENSORE VELOCITA' DI DEFORMAZIONE

TENSORE DEGLI SFORZI NON DA QUELLO CHE SUCCEDE PRIMA E DOPO

IPOTESI

VALIDA PER GAS MONOATOMICI TENSORE SFORZI SIMMETRICO

ASSUNZIONE DI STOKES

K=0 NON C'E' DIPENDENZA CON LA POSIZIONE

FLUIDO OMOGENEO STESSI LEGAMI

SE FLUIDO COMPRIMIBILE POSTULATI DI STOKES NO DIREZIONI PREFERENZIALI TENSORE VELOCITA' DI DEFORMAZIONE [S]

LEGAME ISOTROPO

LEGAMI COSTITUTIVI TRA TENSORE DELLE TENSIONI

SE FLUIDO INCOMPRIMIBILE RELAZIONE NON DIPENDE DALLA ROTAZIONE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO

PER FLUIDI IN QUIETE TENSORE SFORZI VISCOSI NULLO

PER FLUIDI NEWTONIANI

PRESSIONE MEDIA ANALOGA A LEGGE DI HOOKE

CHIUSURA PER FLUIDI NEWTONIANI PER SOLIDI ELASTICI

INVARIANTE DI UN TENSORE DEI 2° ORDINE

TRACCIA NON CAMBIA CON ORIENTAMENTO SISTEMA RIF. SOSTITUISCO

NELL'EQ. DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO

INTRODOTTO LA VISCOSITA' CINEMATICA

DIVISO TUTTO PER

RICAVO N-S

INTRODUCENDO QUESTI GRUPPI ADIMENSIONALI PER FLUIDI CON

CHE POSSO SCRIVERE IN FORMA ADIMENSIONALE CONTEGGIO VARIABILI N-S

MOLTIPLICO IL E DIVIDO IL PRIMO TERMINE PER

DIVIDENDO TUTTO PER V OTTENGO K1 NON NULLO

SE IMPONGO LE CONDIZIONI AL CONTORNO 4 EQUAZIONI

OTTENGO 4 INCOGNITE

PROFILO DI VELOCITA' DIVENTA NULLI LINEARI

TERMINI CONVETTIVI NON NULLI NON LINEARI

IN DIREZIONE PARALLELA ALL'ASSE X DERIVATA DELLA PRESSIONE COUETTE

CIRCA 80 CONOSCIUTE CLASSIFICATE STAZIONARI

CONDOTTE O TUBAZIONI

DOVE APPLICANDO NON STAZIONARI

MATRICE DI ROTAZIONE ATTORNO A TIPOLOGIA O GEOMETRIA MOTI CON CONTORNO IN MOVIMENTO

SE RUOTO DI 45° IL SISTEMA? SOLUZIONI AUTOSIMILARI

MOTI ASINTOTICI DI SUZIONE

MOTI ALLA EKMAN GENERATI DA VENTO

SOLUZIONI ESATTE PROBLEMA E GEOMETRIA

SCHEMATIZZARE DIMENSIONI

IDENTIFICARE PARAMETRI RILEVANTI

ASSUNZIONI

DIMOSTRA CHE SFORZO VISCOSO AGISCE ANCHE NORMALMENTE APPROSSIMAZIONI

ELENCARE SEMPLIFICAZIONI

PROCEDURA CONDIZIONI AL CONTORNO

SEMPLIFICARE LE EQUAZIONI

INTEGRARLE

APPLICARE CONDIZIONI AL CONTORNO

CALCOLARE LE COSTANTI DI INTEGRAZIONE

VELOCITA' DEL CAMPO

CALCOLARE CAMPO DI PRESSIONE

MOTO ALLA COUETTE

6.5 EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE STIMARE FORZA TANGENZIALE SU UNITA' DI ARIA SULLA PIASTRA INFERIORE

CALCOLO FORZA DI ATTRITO SU PIASTRA INFERIORE PASSO 6 GEOMETRIA

VERIFICO LA SOLUZIONE SOSTITUENDOLA NELLE EQ. DIFFERENZIALI DIMENSIONI

PASSO 1 PROPRIETA

OTTENGO X

CON 1 PIASTRE INFINITAMENTE ESTESEIN

RINOMINO Z

y = 0 MOTO STAZIONARIO

SIA 2 MOTO UNIDIMENSIONALE

3 FLUSSI PARALLELI

RIMANE COSTANTE ARBITRARIA INCOMPRIMIBILE

PER LA PRESSIONE ASSUNZIONI

NON CI SONO CONDIZIONI AL CONTORNO ESPLICITE APPLICARE CONDIZIONI AL CONTORNO 4 PROPRIETA' COSTANTI DI FLUIDO NEWTONIANO

PASSO 5 DI MOTO LAMINARE

PROBLEMA PIANO

FORNISCE 5

PASSO 2 GRAVITA' AGISCE IN DIREZIONE

6 PIASTRA INFERIORE

CONDIZIONI AL CONTORNO PIASTRA SUPERIORE

CONTINUITA'

PER LA PRESSIONE MOTO COMPLETAMENTE SVILUPPATO

RISULTATO CIOE' NON CAMBIA NELLA DIREZIONE DEL FLUSSO

INTEGRARE PASSO 4

QUANTITA' DI MOTO IN X Q. DI MOTO IN X RISULTATO

SEMPLIFICARE

PASSO 3 Q. DI MOTO IN Y RISULTATO

Q. DI MOTO IN Z RISULTATO

LIVELLO CONOSCENZA RICHIESTO VELOCITA'

LEGA PRESSIONE

QUOTA SEZIONE

IN UN TUBO CON VARIABILI ALTEZZA

INDIVIDUANDO UNA COSTANTE NEI MOTI DEI FLUIDI REALI

GENERALITA' TEOREMA BASATA SU CONSERVAZIONE Q. DI MOTO

PARTIAMO DA EQ. NAVIER-STOKES GENERALE

QUINDI DERIVATA DELL'ARGOMENTO COSTATNTE DIMOSTRAZIONE

7.0 TEOREMA DI BERNOULLI

UGUALE ALLA DERIVATA TOTALE GRADIENTE PROIETTATO IN DIREZIONE S ARRIVIAMO A BERNOULLI A BERNOULLI CHE CONSIDERA UN FLUIDO IDEALE

EQ. N-S

PARTENZA

QUINDI NULLO

GENERALIZZAZIONE FLUSSO INVISCIDO

PER FLUSSO VORTICOSO

QUINDI A ORTOGONALE A

QUINDI PARALLELO ALLA LINEA DI CORRENTE EQUAZIONE DI EULERO

SVILUPPO LA DEFINIZIONE DI DERIVATA TOTALE

VERSORE tg ALL ALINEA DI CORRENTE FLUSSO STAZIONARIO

MOLTIPLICO SCALARMENTE PER PORTO AL PRIMO MEMBRO

STEP. DIMOSTRAZIONE

NON ANNULLO IL TERMINE DOVUTO ALLA VORTICITA' DIVIDO PER

VALIDA LUNGO LA LINEA DI CORRENTE COME ACCELERAZIONE DI LAGRANGE

SVILUPPO L'IDENTITA DIFFERENZIALE DOVE E' LA VORTICITA'

PESO SPECIFICO MISURO IN METRI RISCRIVO IPOTESI DI IRROTAZIONALITA'

DIVIDO PER g FORZE DI MASSA CONSERVATIVE

MOLTIPLICO PER MISURO IN Pascal INCOMPRIMIBILITA'

LUNGO LINEA DI CORRENTE S

FLUSSO SUPPOSTO NON VISCOSO

PCIA SE FLUSSO A SUPEFRICIE LIBERA

IN BASE A COME ESPRIMO LA RELAZIONE DEFINISCE L'INTERFACCIA LIQUIDO-GAS Z0

PCIR DIVIDO PER

COME PER LA LEGGE DI STEVINO DERIVATA NULLA----> ARGOMENTO COSTANTE

QUOTA PIEZOMETRICA COSTANTE SE LINEA DI CORRENTE RETTILINEA

EQUAZIONE VALIDA SUL PIANO NORMALE ALLA LINEA DI CORRENTE CONSIDERAZIONI VELOCITA' NORMALE ALLA LINEA DI CORRENTE NULLA PER DEFINIZIONE

STEP APPLICO DEFINIZIONE DI DERIVATA TOTALE IN DIREZIONE s PORTO Us NELLA DERIVATA

VELOCITA' MAGGIORE ALL'INTERNO DELLA CURVA SE USO BERNOULLI X FLUSSO IRROTAZIONALE FLUSSO STAZIONARIO

PRESSIONE MINORE ALL'INTERNO DELLA CURVA PRESSIONE IN UN CONDOTTO CURCO PORTO A SINISTRA TUTTI I TERMINI

CONTRIBUTO GRAVITAZIONALE TRASCURABILE 7.1 DISTRIBUZIONE DELLA PRESSIONE INCOMPRIMIBILITA'

QUOTA PIEZOMETRICA

DECRESCE LUNGO n QUINDI TERMIE A DESTRA =

PER FORZA NEGATIVO SE DERIVATA NULLA ---> ARGOMENTO COSTANTE

DIVIDO PER LA FORZA PESO SPECIFICA UNICA COMPONENTE NON NULLA DELLA VELOCITA'

Us

STEP QUINDI SCRIVIAMO U AL POSTO DI Us

TRINOMIO DI BERNULLI COSTANTE LUNGO LA LINEA DI CORRENTE

ACCLERAZIONE NORMALE = ACC. CENTRIPETA SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA LUNGO UNA LINEA DI CORRENTE

LUNGO LA DIREZIOONE NORMALE ALLA LINEA DI CORRENTE

SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA IN DIREZIONE

NORMALE A UNA LINEA DI CORRENTE PRESSINEO STATICA

SOMMA DI PRESSIONE DINAMICA

CONTRIBUTO GRAVITAZIONALE

PRESSIONE TOTALE = COSTANTE DEL TEOREMA DI BERNOULLI

PRESSIONE IN UN PUNTO A VELOCITA' NULLA PUNTO DI RISTAGNO

PRESSIONE DI RISTAGNO SE TRASCURO IL TERMINE GRAVITAZIONALE

PRESSIONE DINAMICA E DI RISTAGNO

VELOCITA' FLUIDO u EQUAZI