Appunti Fluidodinamica

W(

Dividiamo le due derivate seguendo una volta il volume materiale e poi il volume di

controllo

1.

⃑⃑⃑⃑

= = + ( ∙ ̂)

∫ ∫ ∮ ⃑ = à )

(

()

0 0

2.

= = + (

⃑⃑⃑⃑ ∙ ̂)

∫ ∫ ∮ ⃑⃑⃑⃑ = à )

(

()

0 0

Dalla 1. Ricaviamo

⃑⃑⃑⃑

∫ ∫ ∮

= − ( ∙ ̂)

0 0

()

Sostituendo quello appena ricavato nella 2. Si ottiene

⃑⃑⃑⃑ ( ̂)

∫ ∫ ∮ ∮

= − ( ∙ ̂) + ⃑⃑⃑⃑

∙ =

0 0

() ()

∫ ∮

= + (

⃑⃑⃑⃑ −

⃑ ) ∙ ̂

0

() ( ̂)

∫ ∫ ∮

= + ⃑⃑⃑⃑

∙

0

() ()

(u = velocità relativa)

r

Ovviamente se la velocità relativa è zero allora i due volumi coincidono, come nel

caso iniziale

 Limiti forma integrale

Le forme integrali sono utili per determinare effetti globali, ma tramite quest’ultime

non è possibile ottenere conoscenze sul campo di moto all’interno del volume di

controllo, per questo vengono introdotte equazioni differenziali

 Conservazione della massa

Si parte dal trasporto di Reynolds

⃑⃑⃑

∫ ∮

= + ̂

()( ∙

)

0

Ricordiamo ora il teorema della divergenza che ci permette di scrivere l’integrale di

volume della divergenza in un integrale di superficie che delimita il volume in esame

Teorema della divergenza

Per scrivere l’equazione di conservazione della massa consideriamo (B = m) e ( = 1),

sapendo inoltre che la massa non varia nel tempo perciò la sua derivata sarà nulla

⃑⃑⃑

∫ ∮ ∫ ∫

=0 + ̂ + ⃑

( ∙

) ∇ = 0

0

Perciò

∫ ( )

+ ⃑ = 0

∇

Affinchè questo integrale sia nullo qualsiasi volume sia preso è necessario che

( )

+ ⃑

∇ =0

Forma conservativa dell’equazione di continuità

La conservazione della massa viene usata per

 Stabilire se il campo di velocità è quello di un fluido incomprimibile

 Trovare le componenti della velocità

 Introdurre funzioni di corrente

 Funzione di corrente

Partiamo dall’equazione di continuità per un flusso incomprimibile

+ =0

(, )

Ora alla seguente equazione sostituiamo la funzione

= =−

(, )

Per una qualsiasi funzione derivabile che soddisfi la definizione data,

automaticamente l’equazione di conservazione della massa sarà soddisfatta



È notevolmente più comodo usare in quanto si dispone di una sola variabile

invece che due e una volta nota possiamo risalire a ‘’u’’ e ‘’v’’

Significato fisico

1.

= − = 0

Linee di corrente velocità

= ∇ = + = − + = 0

Dato che è nullo allora lungo la linea di corrente possiamo dire che la funzione

è costante

2.

La variazione in tra linee di corrente è pari alla portata

volumetrica

Ciò vuol dire che la portata volumetrica tra due linee di corrente

deve rimanere costante

3.

Un valore specifico di identificherà una specifica linea di corrente

Dim della 2. Definiamo

allora 2 2 ̂

∆ = ∇ = ∇ = ̂)

∫ ∫ =

(

1 1

2 2

)(− )

∫ ∫ (−

= − + = + =

1 1

2

=∫

⃑ ∙ ̂

1

sono costanti lungo la linea perciò l’integrale non cambia al variare della

1 2

linea su cui è calcolato e per definizione l’ultimo integrale è proprio la portata

volumetrica

4. Velocità in funzione delle linee di corrente Linea di corrente

+ veloce - veloce

Nella parte frontale dove le linee di corrente si avvicinano la velocità aumenterà in

quanto la portata tra le 2 linee deve rimanere costante mentre quando si arriva nella

parte finale la velocità tende a diminuire

 Conservazione quantità di moto Dove per un volume di

fluido la quantità di moto

può essere espressa

Utilizzando Reynold si ottiene

⃑

(

⃑ )

∫ ∫ ∮ ∑ ∑ ∑

=

⃑ = +

⃑ (

⃑ ∙ ̂) = = +

()

(Reynolds) (forze di superficie) (forze di volume)

̂

è una forza applicata ad un tratto di superficie con normale

Le forze superficiali però non sono dirette come la normale in

quanto sono presenti anche forze viscose, ma nel solo caso nostro

considereremo un caso inviscido in cui esistono solo sforzi di

pressione ⃑⃑⃑

= ̂[]

- caso generale

⃑⃑⃑

= −̂

- caso inviscido

forze di Volume

⃑⃑⃑⃑

=

-

Quindi

(

⃑ )

∫ ∮ ∮ ∫

+

⃑ (

⃑ ∙ ̂) = −̂ +

−̂

=

Andiamo ad analizzare l’equazione lungo la direzione z (ricordando che )

()

∫ ∮ ∮ ∫

+ (

⃑ ∙ ̂) = − ̂ −

⃑⃑⃑⃑⃑

( Utilizziamo il teorema della divergenza )

∙ ̂ = ∇

∮ ∫

∇( )

(

⃑ ∙ ̂) = ⃑

1. ∮ ∫

̂ =

2. ∮ ∫

Riscrivendo

()

∇( )

∫ ∫ ∫ ∫

+ ⃑ = − −

()

∇( )

∫ ∫ ∫ ∫

+ ⃑ + + = 0

()

∇( )+

∫ + ⃑ + = 0

Dato che deve valere per qualsiasi volume possiamo scrivere che

()

∇( )+

+ ⃑ + = 0

()

∇( )=−

+ ⃑ −

Riscrivendo in maniera analoga anche lungo la componente x e y si ottiene

() lungo x e y scompare il termine della

∇( )=−

+ ⃑

forza peso perché abbiamo supposto che

la gravità agisca solo in direzione z

()

∇( )=−

+ ⃑

()

∇( )=−

+ ⃑ −

Riscrivendo in forma compatta Forma conservativa della quantità di moto

chiama anche equazione di Eulero

Spiegazione della formula Prodotto tensoriale del vettore

velocità con se stesso

Ora unendo le due cose si può riscrivere come

 Forma primitiva della quantità di moto

()

∇( )=−

+ ⃑ −

( ) ( ) ( )

+ + + + = − −

() () ( ) ( ) ()

+ + + + + +

( )

+ =− −

Raccogliendo e semplificando si ottiene

( )=

+ + +

1.

() ( ) ( ))

(

+ + + = 0

2. (conservazione della massa = 0)

Quindi si ottiene che

=− −

In maniera analoga si ottiene

=−

⃑ Forma primitive dell’equazione di

= −∇p −

Eulero

=−

=− −

⃑

= −∇p −

Massa accelerazione Forze di superficie forze di volume

=

si noti come sia analoga a

 rappresentazione tensoriale dello sforzo relazione che lega le faccie

∆

del tetraedro; dove è la

superficie inclinata del

tetraedro

-