Appunti Fluidodinamica

TEORIA FLUIDODINAMICA

FILE (2) PROPRIETà DEI FLUIDI

 Definizione di liquido e fluido

LIQUIDO: Il liquido assume la forma del contenitore in cui è

inserito, in presenza della forza gravitazionale genera una

superficie libera (il gas non è in grado di generare tale

superficie)

FLUIDO: Un fluido a differenza di un

solido quando viene sottoposto ad uno

sforzo continua a deformarsi e la

tensione interna è proporzionale alla

velocità di deformazione Ƭ= sforzo di taglio Superficie superiore e

inferiore: velocità del fluido

Nei solidi è proporzionale ad = velocità della parete

α nei liquidi ad dove

Parte centrale: velocità con

quest’ultimo è la velocità di andamento triangolare

 Sforzi deformazione

Lo sforzo è una forza per unità di area ed è un vettore quindi possiamo scomporlo in

direzione normale e tangenziale

Pressione: solo component normale

Viscosità: ha entrambe le

componenti ma viene

maggiormente considerata la

componente tangenziale

 Proprietà

1. Intensive sono le proprietà indipendenti dalla massa (tempo, pressione ecc..)

2. Estensive sono le proprietà dipendenti dalle dimensioni del sistema

Le proprietà estensive possono diventare intensive semplicemente dividendo per la

massa e prendono il nome di proprietà specifiche

v = V/M (volume specifico) e = E/M. (energia specifica)

 Ipotesi del continuo

Possiamo considerare che la materia è formata da atomi che sono ben distanti tra

loro al punto tale da non risentire delle forze d’interazione e quindi possiamo

trattare la sostanza come un'unica materia priva di vuoti

Affinche l’ipotesi sia utilizzabile è necessario che il numero di Knudsen sia inferiore a

0,01 dove per numero di Knudsen si intende il rapporto tra il cammino libero medio e

la dimensione caratteristica

= < 0.01

dove è il cammino libero medio ovvero il cammino medio tra 2 molecole dopo

l’urto

 Densità

= ( )

si definisce densità la massa per unità di volume 3

- Per un gas la densità dipende dalla pressione e temperatura

- Per un liquido la densità varia pochissimo con la pressione ed è molto più

sensibile alla temperatura tanto che se non c’è variazione di temperatura

possiamo suppore il liquido incomprimibile

 Legge di stato

Lega la temperatura alla pressione

p v = R T oppure p = ρ R T

 Viscosità

È una proprietà che rappresenta la resistenza interna ad un fluido in moto

(Viscosità dinamica vedere dimostrazione quaderno)

- Fluido Newtoniano Nel fluido newtoniano la viscosità

non varia con la velocità ma in

sola funzione della pressione e

temperatura, anche se la

dipendenza dalla pressione è

trascurabile in quanto debole

- Nei gas µ aumenta con la temperatura

- Nei liquidi µ diminuisce con la temperatura

 Tensione superficiale

La superficie del liquido si comporta come una membrana

elastica tesa e sottoposta ad una tensione le forze che tirano la

membrana sono generate dalle forze attrattive tra le molecole

- agisce solo sulla superficie (2πR)

2

Δ

- agisce su tutta l’area (πR )

Δ

- è inversamente proporzionale al

raggio perciò all’aumentare del raggio

la pressione diminuisce e la goccia si

romperà in quanto non sarà più

bilanciata

La tensione della goccia è bilanciata dalla forza generata dalla pressione

 Angolo di contatto

Dipende dal fluido distinguiamo due tipologie di fluido il fluido che bagna e il fluido

che non bagna

(a) Se il fluido è un fluido che bagna vuol dire che le

pareti attraggono a se le molecole di fluido perciò

l’angolo sarà minore di 90 gradi

(b) Se il fluido è un fluido che non bagna vuol dire che

le molecole di fluido sono attratte da altre molecole

di fluido stesse che quindi non vengono attratte

dalla parete formando un angolo maggiore di 90

gradi

 Effetti capillari

Con effetti di capillarità intendiamo la risalita o discesa di un

fluido in un tubo di piccole dimensione

- Risalita avviene se il fluido bagna

- Discesa avviene se il fluido non bagna

La superficie libera all’interno del tubo è chiamata menisco

Con il bilancio delle forze possiamo calcolare la risalita

SLIDE (3) PRESSIONE DI UN FLUIDO IN QUIETE

 Pressione in un punto

Definiamo la pressione in un modo puramente meccanico

come una forza fratto un area, con la dovuta

scomposizione della forza nella direzione normale e

tangenziale

Se il fluido è in quiete possiamo trascurare la componente tangenziale in quanto le

forze viscose sono nulle

Forza totale dovuta alla pressione nella superficie A

In un fluido può sopportare soltanto spinte dovute alla compressione che ammetto

valori di pressione positivi, mentre non riesce a sopportare spinte di trazione che

ammetterebbero valori di pressione negativi

 Pressione assoluta e relativa

La pressione assoluta può assumere valori solamente positivi mentre

è diverso per la pressione relativa definita come P = P – P che può

r a

assumere valori anche negativi, in tal caso parleremo di depressione

 Isotropia della pressione

La pressione di un fluido è indipendente dalla direzione

secondo cui agisce

Dim ∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = 0

1 3

{ 1

∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = 0

2 3 2

Ovviamente

∆l ∆lsinθ = ∆z

∆lcosθ = ∆x ∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = 0 =

1 3 1 3

{ 1 1

∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = 0 − − ∆z = 0

2 3 2 3

2 2

Dato che stiamo cercando la pressione in un unico punto possiamo calcolare il

limite

lim = =

1 3

∆→0 1

lim = − − ∆z =

2 3 2 3

2

∆→0

Dimostrato che la pressione non è un vettore e non dipende dalla posizione ma è

uguale in tutte le direzione

Considerando il fluido in moto

∑ =

Se il fluido è in moto quindi i nuovi sistemi diventano

∆x∆z

∑ = ∆z∆y − ∆y∆l sin = ∆y

1 3 2

{ 1 ∆x∆z

∑ = ∆x∆y − ∆y∆l cos − ∆x∆y∆z = ∆y

2 3

2 2

∆x

− =

1 3 2

{ 1 ∆z

− − ∆z =

2 3

2 2

Calcolando nuovamente i limiti otteniamo

∆x

lim = + =

1 3 3

2

∆→0 1 ∆z

lim = + ∆z + =

2 3 3

2 2

∆→0

Anche se il fluido è in moto per la pressione non cambia nulla

 Legge di stevino = la pressione può variare solo lungo la direzione

orizzontale

∑ = − ∆x∆y + ∆x∆y − ∆x∆y∆z = 0

2 1

Semplificando otteniamo che

− + − ∆z = − + − ( − )

2 1 2 1 2 1

Ovvero + = +

1 1 2 2

+ =

=

Chiamando si ha che

1 2

+ = + ℎ + =

1 2

 Altezza piezometrica

Dalla relazione di Stevino sottraiamo il termine costante

Ottenendo così

Dove

ℎ =

- Z è la quota geodetica

- La quota Z coincide con la costante K ed è la quota alla

0 0

quale la pressione relativa si annulla definendo così il piano dei

carichi idrostatici relativi

In un fluido in quiete la pressione aumenta linearmente con la distanza dal piano

dei carichi idrostatici relativi

Dalla relazione precedentemente scritta z + h = z 0

definiamo

ℎ =

- chiamata altezza piezometrica

Allora si può scrivere

Dove

Z definisce la posizione del piano dei carichi idrostatici

0a

assoluti che si trova più in alto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi

esattamente di una quota h a

 Legge di Pascal 2

= =

1 2 2 1 1

Dim

∑ ( ) ( )

= − + + − − = 0

2 2

= ()

Dove perciò nell’ equazione sopra posso divedere tutto per

dxdy e ottenere −()

=

La relazione sopra trovata vale anche se la densità è costante e lo si può verificare

integrando

2 2

()

∫ ∫

∆p = P( ) − P( ) = = −

2 1

1 1

Da cui otteniamo che P( ) − P( ) = −( − )

2 1 2 1

Possiamo notare che se la densità è costante otteniamo nuovamente la legge di

Stevino

 Liquidi immiscibili Per trovare il p.c.i.r del

punto 2 si traccia il

prolungamento del

diagramma di pressione

e si vede quando

questo arriva a zero

1

= ℎ 2

(

2 distanza tra la superficie libera di un fluido e il suo p.c.i.r

Stevino può essere applicato solo se il fluido è costante dato che nella complessità i

fluidi non sono costanti ma localmente si, applichiamo stevino fluido per fluido

 Serbatoio chiuso

Per un serbatoio aperto il punto in cui la pressione

assoluta coincide con la pressione atmosferica è

sulla superficie libera

Se il fluido si trova in un serbatoio chiuso non sempre

è così

- L’ultima parte del grafico di pressione ha un

tratto retto perché il gas ha pressione

costante

- P ha segno negativo perché sopra al p.c.i.r

r,1

- P = P perché i gas hanno pressione

gas r,1

costante e per questo assumeranno il valore dell’acqua all’interfaccia

 Manometro

SLIDE (4) CALCOLO DELLE SPINTE

 Spinte superfici piane

Forza di spinta

= ∫ = ∫ = ∫ =

- Y posizione del baricentro

g

- La forza è pressione applicata al baricentro per l’area

Centro di spinta Andiamo a cercare a quale quota dobbiamo applicare S

affinchè si ottiene il momento rispetto al polo O,

l’intersezione tra la retta d’azione e la superficie è detto

centro di spinta

dove il momento d’inerzia è definito come

perciò

 Spinte di fluidi immiscibili con esempio (quaderno)

 Spinte di una superficie curva

Per questo motive c

viene presa unitaria

Calcolo dei momenti

- Il momento di F deve essere uguale al momento di Sz S e P quindi possiamo

x

scomporre F e considerare singolarmente i momenti dovuti da F e F

0 v

- La spinta verticale è il peso del volume di fluido sopra alla superficie curva

ed è applicabile nel baricentro

- Per calcolare il momento di S si può supporre di essere lungo una superficie

x

piana e calcolare il momento come tale

- (Esempio quaderno)

 Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto

pari al peso del volume di fluido immerso e passante per il

baricentro

Generalizziamo la formula

Per Stevino sappiamo che

Quindi possiamo scrivere la spinta tramite il teorema della divergenza come

I segni meno sono dovuti al

fatto che la normale è uscente

dal corpo e la pressione lavora

solo a compressione

−̂

= − ∮ ̂ = ∫

̂

− = −

- La spinta di galleggiamento è uguale al peso di volume spostato qualsiasi volume sia

- Per qualsiasi forma le forze orizzontali si bilanciano (quaderno)

altezza massima di risalita

La pressione è uguale alla spinta ma la pressione dipende dal volume totale dell’oggetto per la sua

densità mentre la spinta dipende dalla densità del fluido per il volume di materiale immerso

 Equilibrio dei corpi immersi

1. Densità costante

Il corpo si troverà in equilibrio se il baricentro e il centro di spinta coincidono, ci sarà

quindi equilibrio delle forze e conseguentemente anche dei momenti

2. Densità variabile

Il baricentro del corpo sarà in una posizione diversa del centro di spinta per avere

equilibrio i due vettori devono essere lungo la stessa retta verticale

Se il baricentro e il centro di spinta non si trovano lungo la stessa retta allora si

genererà un momento che farà ruotare il corpo

- Equilibrio instabile; se il baricentro è posto più in alto del

centro di spinta si verificherà una condizione di equilibrio

instabile

- Equilibrio stabile; se il corpo fosse immerso parzialmente

allora anche se il baricentro si trovasse in una posizione superiore del centro

di spinta potremmo avere un equilibrio stabile questo perché perturbando

l’oggetto il centro di spinta (che è il baricentro del volume spostato) si

sposterà in una nuova posizione creando dei momenti rispetto un punto

chiamato metacentro situato su una nuova retta d’azione, se questo punto è

situato più in alto del baricentro allora avremmo equilibrio stabile ; la distanza

tra il baricentro (G) e il metacentro (M) è detta altezza metacentrica e più è

elevata questa altezza e maggiore sarà la stabilità del corpo

Slide (5) Cinematica

 Descrizione Lagrangiana e Euleriana

- Lagrangiana; descrizione del moto di ogni singola particella

- Euleriana; si definisce un dominio di

fluido e all’interno di questo dominio

vengono definite opportune variabili

di campo

Legame tra le due visioni

Dim con la velocità

Descrizione Lagrangiana Descrizione Euleriana

cerchiamo una relazione

- posizione di una certa particella P nel tempo

- derivando temporalmente la posizione

otteniamo la velocità

La velocità di una particella P in un certo istante di tempo deve essere uguale alla

velocità nel campo di fluido allo stesso istante di tempo

Accelerazione della particella

Lo stesso risultato ottenuto sopra adesso lo riapplichiamo per l’accelerazione

⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

() () ()

= + + + = + + +

⃑

⃑

⃑

⃑

(), (), (),

= + ⃑⃑⃑ ) + (

⃑⃑⃑ ) + (

⃑⃑⃑ )

(

⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

= = + + +

(Colori = relazione della velocità sopra dimostrata)

Si può esprimere la relazione sopra in forma compatta ∇

⃑

⃑ ⃑

= = +

⃑ ∙ ∇

⃑

⃑ ∙ ∇( ) Derivata convettiva

Derivata locale

È il prodotto vettoriale tra il vettore velocità

Derivata parziale fatta esclusivamente rispetto e il gradiente

al tempo - Se

⃑

=0

⃑ ∙ ∇

⃑ ≠0

Il moto è stazionario, la particella non varia nel tempo ma lungo la propria direzione

può cambiare proprietà

⃑

=0

⃑ ∙ ∇

⃑ = 0

- Se

Allora parliamo di flusso stazionario e uniforme

 Linee di corrente

È una curva che è ovunque tangente al vettore velocità

Affinchè questo sia vero le componenti della velocità

devono essere proporzionali a quelle dello spostamento

Definizioni

- Il luogo geometrico dei punti di una famiglia di linee di correnti passanti per

una linea chiusa da luogo ad un tubo di flusso, il tubo di flusso non può

essere attraversato dal fluido in quanto la velocità di quest’ultimo dovrà

essere tangente alle linee di flusso per definizione

- Un volume che contiene sempre le stesse particelle di fluido prende il nome di

volume materiale

 Traiettoria

è matematicamente espressa dal vettore posizione ed è l’effettivo percorso

effettuato da una singola particella

Volendo sapere l’effettiva posizione della particella ad un

certo istante temporale si esegue il calcolo integrale

 linee di fumo

è il luogo geometrico delle particelle fluide che in sequenza

passano per un dato punto del moto

Es

Tutte le particelle sono passate in 8, ma la particella 1 sarà

passata in 8 all’istante t