Appunti completi di Idraulica T - Parte 3

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Si è andati a riscrivere il numeratore in questo modo per poter riflettere su cosa succede se il moto è

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uniforme, perché se il moto è uniforme la legge di deflusso di Chezy dice che , ma non è nulla

di nuovo poiché si sa che moto uniforme significa che dv/ds = 0 e quindi che .

Allora si può subito vedere che il numeratore ha la profondità di moto uniforme che diventa fondamentale

→ → * 0

/

per il numeratore stesso, perché se il moto è uniforme allora:

Quindi la prima cosa fondamentale che si ricava è che il numeratore di quella funzione è nullo quando la

quota d’acqua è quella di moto uniforme e allora se il moto è uniforme , quindi si ha un profilo parallelo al

fondo; questa cosa permette di capire che quando l’acqua scorre imperturbata, come nella maggior parte

dei casi, tende a scorrere parallelamente al fondo del canale in cui è, raggiungendo la profondità di moto

uniforme.

Se il canale non è perturbato allora in quel tratto, per quella pendenza e per quella portata (perché nella

profondità uniforme ci sono di mezzo la portata, la scabrezza e la pendenza) la profondità che si vede è quella

di moto uniforme e il profilo tende ad essere parallelo rispetto al fondo.

L’altra cosa che si dovrebbe fare è andare a vedere il segno del numeratore, chiaramente questo dipenderà

dalla quota d’acqua, a dipendere se la quota d’acqua sarà minore o maggiore della quota d’acqua in moto

uniforme. In ogni caso il numeratore avrà sempre segno positivo, quindi si avrà:

>0 2 > <0 2 <

/ /

Questo perché la y compare al denominatore del termine tra parentesi con cui è stata riscritta l’espressione

del numeratore N, quindi a parità di portata si capisce che il termine tra parentesi del numeratore N sarà più

/ .

grande o più piccolo di 1 a seconda se la quota sarà più grande o più piccola di quella di moto uniforme

155

In questo modo è stato possibile studiare il numeratore ma ora si

deve studiare anche il denominatore, che in realtà lo si conosce già,

ma ci si deve ricordare sempre che la portata è costante, quindi la

profondità fondamentale se si valuta cosa succede al denominatore

dE/dy è la profondità critica.

Esiste un grafico per il carico specifico in funzione della quota a parità

di portata, e si sa che ha un minimo quando si ha la profondità critica,

quindi dE/dy = 0 quando la profondità è uguale alla profondità critica.

0 2 →∞

4 4

Questo caso di estremante della funzione, che si ha per , comporta un denominatore nullo e a questo

punto dy/ds tenderebbe all’infinito, ma per la regola della tangente si sa che quando la tangente è 0 si è

paralleli al fondo, ma avere infinito vorrebbe dire un profilo perpendicolare al fondo, ovviamente in natura

le acque non possono aprirsi e quindi il profilo non può essere perpendicolare al fondo, perciò chiaramente

sarà una tendenza, ossia un qualcosa che si andrà a rappresentare con una parte tratteggiata del profilo.

Il segno del denominatore invece lo dà il grafico, perché che dE/dy = 0 nel punto di minimo è vero, ma è

maggiore di 0 quando la y è più grande della critica perché la funzione sta crescendo, mentre è minore di 0

quando la y è più piccola della critica perché ovviamente la funzione sta decrescendo:

>0 2 > <0 2 <

4 4

Vedendo a cosa sono legati i segni del denominatore e del numeratore si può capire subito perché era stato

detto che le profondità uniforme e critica sarebbero state le 2 profondità caratteristiche da calcolare sempre.

Parlando del tracciamento dei profili si devono mettere a sistema un po’ di cose:

Intanto era stato detto che il numeratore N era positivo quando

> / , poi si va a mettere il denominatore D, che si sa essere

> 4 4

( viene rappresentato con un pallino vuoto

positivo per

per ricordarsi che è una tendenza che non verrà mai raggiunta).

Per andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore

/ 4

ci si deve chiedere qual è la relazione tra e , se non si ha

/

nessuna indicazione che consenta di valutare come sono messe

4

e non si è in grado di completare il problema.

Ma a questo punto è utile ricordare che quando era stata definita la pendenza critica era stato detto che in

corrispondenza della pendenza critica la profondità di moto uniforme e quella critica erano coincidenti, però

era stato anche detto che ci sono 2 casi fondamentali che sono l’alveo fluviale e l’alveo torrentizio:

< >

4 / 4 /

• Nell’alveo fluviale era stato detto che e quindi , ma era stato detto anche che

corrispondeva ad una corrente lenta; > <

4 / 4 /

• Mentre nell’alveo torrentizio era stato detto che e che , quindi la corrispondeva ad una

corrente veloce. V L

4

Questo perché se si prende il grafico E–y e si individua la praticamente a

sinistra si hanno le correnti veloci e a destra quelle lente.

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Innanzitutto si parte in maniera semplice dall’andare a vedere i segni del numeratore N, del denominatore D

e di dy/ds che è il totale; i segni sono sempre quelli di prima ma ovviamente adesso si vanno a scrivere

>

/ 4

sapendo che supponendo di essere nel caso dell’alveo fluviale, per cui supponendo di individuare i

/ 4

due valori di e :

Di conseguenza in tal caso il segno complessivo di dy/ds sarà positivo per i valori esterni all’intervallo,

negativo per i valori interni all’intervallo. >

/ 4 e allora anche in questo caso dy/ds ha

Poi ci si sposta nel caso dell’alveo torrentizio in cui si ha che

segno positivo per i valori che sono esterni all’intervallo e segno negativo per quelli interni all’intervallo.

Quindi a livello della funzione dy/ds non cambia nulla, perché il segno è sempre negativo quando la quota

4 /

d’acqua è compresa tra e .

Come elemento pratico di cui si deve tenere conto nel tracciare i profili di corrente, se dy/ds è negativo allora

la y diminuisce nella direzione del moto, quindi all’aumentare di s la y cala; viceversa se dy/ds è positivo la y

cresce nella direzione del moto e quindi al crescere di s. Perciò nel primo caso ci si aspetta che la quota

d’acqua cali, mentre nel secondo caso ci si attende che la quota d’acqua cresca nella direzione del moto,

questo ovviamente dice anche una cosa importante anche sulla corrente, perché si deve anche tenere conto

che la portata è costante.

Se la portata è costante e se la quota d’acqua da una parte aumenta e dall’altra parte diminuisce, allora si ha

che da una parte la corrente accelera, perché la portata deve essere costante e quindi la velocità v sta

aumentando al crescere di s, dall’altra parte però la corrente decelera, cioè la velocità v diminuisce

all’aumentare di s.

<0 → ↓ 7 89 #2 #$8 ↑ #$ %. → #$;;28%2 <##2=2;<: > ↑ #$8 ↓

>0 → ↓ #;2 #2 #$8 ↑ #$ %. → #$;;28%2 2#2=2;<: > ↑ #$8 ↓

Quindi in pratica si vede che l’andamento complessivo del profilo dipende da elementi legati tra di loro, che

4 /

sono appunto legati tramite queste 2 profondità, la y critica e quella di moto unifome ( e ), in aggiunta

si deve tenere in conto degli elementi fondamentali dati dalla matematica: se dy/ds è negativo allora la quota

)A,

> ∙ " > ∙ "?@(

d’acqua diminuisce, ma se la portata Q deve essere costante, sapendo che allora

per forza la velocità deve crescere (visto che la y diminuisce); invece se dy/ds > 0 sta aumentando la quota

d’acqua ma la portata Q, essendo costante, significa che la corrente sta decelerando e quindi la velocità si

sta riducendo lungo il canale (spostandosi lungo l’asse s che lo rappresenta).

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Adesso si andrà a mettere tutto insieme, per vedere quali profili si verificheranno nei canali e quando,

chiaramente questi profili saranno qualcosa da dedurre e poi da applicare, per vedere in alcuni casi

fondamentali, cosa può succedere alle quote d’acqua. È più facile capire cosa fa la corrente vedendo un

esercizio piuttosto che dando tutti i casi possibili e immaginabili.

Alveo Fluviale

Si ha un tratto a pendenza costante e si va a fare il disegno nella solita ipotesi di moto permanente, si devono

cominciare a mettere delle informazioni utili, ad esempio si può scrivere che la pendenza del fondo è

< 4 , poi si vanno a segnare subito le 2 profondità a cui si è interessati;

sicuramente minore di quella critica

in un alveo fluviale si sa che la profondità critica è più piccola della profondità di moto uniforme,

nell’intenzione queste linee sono parallele al fondo e ovviamente non devono essere equidistanti dal fondo:

4

La si può prendere tanto in verticale quanto in

perpendicolare perché la pendenza è piccola e ovviamente la

/

stessa cosa vale anche per la ; in questo modo il canale è

stato diviso in 3 diverse zone e quindi si considereranno 3 casi:

quando la quota d’acqua è maggiore di quella uniforme,

quando è minore di quella uniforme ma è maggiore di quella

critica e infine anche quando è più piccola della critica.

I profili si numerano dall’alto verso il basso e di fatto si

otterranno 3 zone che danno rispettivamente il profilo 1f, il

profilo 2f e il profilo 3f (f = fluviale).

Si parte dalla zona in alto, dove si sa che la corrente tenderà sempre al moto uniforme, ma si dovrà capire da

che parte ci tende, se ci tende a monte o se ci tende a valle e se ci tende dal basso o dall’alto, quindi si

possono avere 4 diverse possibilità. y > /

Per mettere un po’ di ordine ci si deve ricordare che quando si ha che dy/ds > 0, questo vuole dire

/

che y cresce al crescere di s, quindi è chiaro che si tende alla sicuramente da sopra e non da sotto, ma poi

/

per capire se si parte o se si arriva con l’ si deve far riferimento a dy/ds > 0. In sostanza inizialmente si

/

tende a e poi la quota della superficie libera nel canale tende a crescere, infatti si dice anche che il profilo

1f è un che significa appunto che la corrente tende ad alzarsi.

“profilo di rigurgito”,

È il caso tipico di un fiume che si butta in un lago o nel mare, tende a sentire la corrent