Appunti completi di Idraulica T - Parte 2

C

La variazione rappresentata in tratteggio che va a sommare i contributi di pressione e di quota è la linea

cosiddetta dei carichi piezometrici, la quale dista sempre dal carico totale per una quota parte

rappresentata dall'energia cinetica relativa alla velocità.

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Richiamo Teorema di Bernoulli (02/11) 2

=+ +

2

2

=ℎ+ 2

[. à = = ]

Per un fluido incomprimibile l'equazione di continuità continuerà a valere e ci dice che la portata

volumetrica rimane costante e la segno tra parentesi perché non fa parte del teorema di Bernoulli ma è per

ricordarci che tutte le volte che affronteremo un problema tecnico in cui andiamo a risolvere con il teorema

di Bernoulli abbiamo sempre un altro aiuto che è quello che la portata volumetrica si conserva.

Processi di efflusso

I processi di efflusso sono tutti quei processi che avvengono quando si ha un serbatoio o una diga e aprite

parte della sezione di serbatoio o di diga.

Questi processi di efflusso sono casi in cui non vale l'ipotesi di stazionarietà perché è chiaro che nel

momento in cui l'acqua fuoriesce dal serbatoio c'è un processo di svuotamento, all'inizio tutto è fermo poi

tolto il tappo il liquido è in movimento e inizia ad uscire.

Un altro concetto molto importante è la contrazione della vena (d<D), riguarda il fatto che il liquido non ha

una forma propria ma tende a seguire le pareti del serbatoio allora quando c'è un'apertura la vena fluida si

trova improvvisamente che non ha più pareti su cui appoggiarsi e quindi il fluido non riesce ad improvvisare

una caduta verticale verso il basso, ma in virtù della differenza di pressione che agisce sulla corrente ogni

qualvolta che c'è un'apertura la sezione dell'acqua è più piccola della sezione del foro. Se supponiamo che il

diametro del foro è D allora avremo che il diametro d del fluido sarà stabilizzato ad una certa distanza ε

dall'apertura.

In genere la superficie d della vena contratta è uguale ad un coefficiente di contrazione della vena

moltiplicato per l'area iniziale, il coefficiente dipende dalle caratteristiche del foro, in particolare dalla

spigolosità. <

= ∙

è .

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I valori di tale coefficiente sono stati desunti da prove sperimentali, è importante ricordare che i punti di

spigolo sono punti dove la vena tende a distaccarsi e quindi si ha un coefficiente maggiore rispetto ad una

rientranza dove il fluido rimane comunque attaccato:

- C = 0,61 quando si ha la presenza di uno spigolo vivo la corrente si restringe e l'area della vena

C

contratta si riduce di 0,61 rispetto la superfice iniziale;

- C = 0,61 quando si ha un tubo addizionale (una flangia) che convoglia la corrente allora anche in

C

questo caso la corrente risente dello spigolo e quindi si convoglia la corrente ma non si modifica la

geometria con cui la corrente viene a contatto perché è comunque a contatto con lo spigolo vivo e

quindi di fatto anche se la geometria potrebbe ingannarvi la corrente si restringe con lo stesso

coefficiente;

- C = 0,50 il caso in cui andiamo a produrre una perdita maggiore è il caso in cui si ha che il tubo

C

addizionale va all'interno del serbatoio e quindi c'è una sorta di imbocco dell'acqua dentro il

serbatoio, in questo caso abbiamo un nuovo coefficiente di contrazione molto superiore perché si

ha una riduzione sensibilmente maggiore della venatura.

Esempio – Teorema di Bernoulli su traiettoria

Si considera il caso sperimentalmente studiato di un serbatoio pieno d'acqua e si va ad aprire il tappo di

questo serbatoio. Si disegna la sezione della vena contratta e la distanza rispetto al fondo del serbatoio si

indica con e (ε), cioè la sezione della vena contratta si trova ad una distanza molto piccola rispetto al fondo

del serbatoio, mentre la quota del serbatoio rispetto alla vena contratta si indica con h.

Poi ci mettiamo nell’ipotesi che il fluido sia ideale ed incomprimibile, che il campo delle forze di massa è

conservativo, e sapendo tutto ciò è possibile dire che applichiamo il teorema di Bernoulli ma i processi di

efflusso hanno una caratteristica perché siccome hanno una variazione nel tempo non si può andare ad

applicare il teorema di Bernoulli dicendo che il moto sia stazionario e che quindi il teorema vale per tutto il

dominio, ma possiamo dire viceversa che la derivata rispetto al tempo è diversa da zero e quindi il teorema

di Bernoulli vale ancora ma soltanto per una traiettoria; in pratica devo scegliere due punti e applicare il

teorema sui due punti della traiettoria.

In un processo di efflusso di questo tipo ci può interessare ad esempio sapere qual è la velocità con cui

quest’acqua fuoriesce dal serbatoio, allora si prende una traiettoria qualunque considerando un punto 1

che sta sulla superficie libera e un punto 2 che si trova sulla vena contratta.

Chiaramente è importante individuare un punto

iniziale e un punto finale perché quello che

andremo a scrivere lungo quella traiettoria sarà

H =H cioè il carico totale in corrispondenza del

1 2

punto 1 sarà uguale al carico totale in

corrispondenza del punto 2.

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Innanzitutto occorre definire la posizione della quota di riferimento e per semplicità la andiamo a mettere

alla quota della sezione della vena contratta imponendo z=0. Allora questo punto possiamo andare a

scrivere il teorema di Bernoulli e quindi andare ad uguagliare il carico totale tra i due punti su di una

traiettoria, questo vuol dire che c'è sicuramente una variazione dei tre contributi passando dal punto 1 al

punto 2 ma non della somma dei tre contributi. 

Nella sezione contratta la pressione è uguale a p : traiettorie rettilinee p p .

atm 2 4

Fisicamente, dal momento che non c’è componente della forza peso (o accelerazione) in direzione normale

alle traiettorie, la p è costante in quella direzione.

A questo punto aggiungiamo un'ipotesi che si fa quando si studiano i serbatoi ed è che l'inerzia del

serbatoio sia molto grande, questa è un'ipotesi di lavoro molto importante e vuol dire che la massa

contenuta all'interno del serbatoio è molto più grande rispetto alla massa che esce; ciò e ci consente di dire

che l'acqua continua ad uscire dal foro ma la quota d'acqua (h) nel serbatoio rimane costante nel tempo.

. ≫ → ℎ =

Riscrivendo l’espressione si ottiene: 22

ℎ= 2

Questo perché il punto 1 si trova in corrispondenza della superficie a pelo libero quindi a pressione

atmosferica perciò la pressione relativa sarà nulla (p =0), poi il terzo termine relativo alla velocità del punto

1

1 risulta nulla perché l'altezza della quota d'acqua rimane costante (v =0), poi la quota del punto 2

1

l'abbiamo definito in corrispondenza della quota di riferimento quindi è pari a zero (z =0), poi la pressione

2

relativa del punto 2 considerando che nella sezione contratta la pressione è uguale alla pressione

atmosferica anche in questo caso la pressione relativa sarà nulla (p =0).

2

Questo risultato ci dice che la velocità di efflusso da questo serbatoio della vena contratta è uguale a:

= ∙ ∙

√

Ci dice che la velocità con la quale effluisce il liquido è dipendente esclusivamente dalla quota di acqua

all’interno di quel serbatoio a contatto con la pressione atmosferica e alla gravità e prende il nome di

formula di Torricelli.

Tutta l’energia potenziale di una particella è convertita in energia cinetica.

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In genere un parametro fondamentale, oltre alla velocità è la portata volumetrica espressa in metri cubi al

3

secondo [m /s] perché ci serve per dimensionare un serbatoio dove l'acqua ricade, quindi avere la portata

moltiplicata per il tempo per riempire il serbatoio si ottengono i metri cubi del serbatoio.

= ∙ → = ∙ ∙

2 2

In questa relazione a volte si indica che c'è anche una leggera modifica della velocità e quindi si scrive come

C il coefficiente di riduzione della velocità sulla vena contratta, però questo non si usa praticamente mai

V

in quanto questo coefficiente è circa 0,98 (all'esame se non vi do ulteriori informazioni vuol dire che C = 1):

V

= ∙ ∙ ∙

2

Il prodotto tra i due coefficienti viene indicato con C e prende il nome di coefficiente di efflusso:

Q

= ∙ → = ∙ ∙

2

I processi di efflusso come questo sono dei processi che consentono di andare ad applicare il teorema di

Bernoulli però ci stiamo riferendo a delle traiettorie perché il processo non è stazionario.

Esempio - Teorema di Bernoulli su dominio

Si considera il caso di studio relativo a due serbatoi con due livelli assegnati che sono collegati tra loro

mediante una condotta di sezione cilindrica a diametro costante. Si considera un unico livello di riferimento

z=0 e si indica con z e z la quota d'acqua all'interno dei serbatoi.

1 2

Inoltre, si considera di avere un fluido ideale (equazione di Eulero), un fluido incomprimibile (ρ=cost), un

campo di forze di massa conservativo ed in più il moto è permanente quindi la derivata rispetto al tempo è

uguale a zero; tutto questo per noi significa una cosa fondamentale cioè sono le ipotesi per cui vale il

teorema di Bernoulli su tutto il dominio del fluido.

In questo caso quello che a noi interessa è di determinare la velocità v con cui l'acqua sta defluendo dal

serbatoio 1 al serbatoio 2.

→ − =

Fluido ideale ;

= ;

= (−); ∂

→ = 0

Moto permanente (stazionario) ∂

Chiaramente, conoscendo le due quote z e z rispetto alla quota di riferimento z=0, possiamo andare a

1 2

scrivere per il dominio che il carico totale nel serbatoio 1 è uguale