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ANALISI DEI SEGNALI
DEFINIZIONE SEGNALE:
- Grandezza che varia in un'altra grandezza dipendente dal tempo
- Simile ad una funzione
ESEMPI:
- SEGNALE AUDIO
- ELETTROCARDIOGRAMMA (ECG)
- ELETTROENCEFALOGRAMMA (EEG)
- IMMAGINE RADIOLOGICA:
- può essere visto come un segnale con variabile indipendente lo spazio e non il tempo e variabile dipendente lo scale di grigi
- NEVO DI REED:
- stessa cosa dell'immagine radiologica ma con 3 grandezze diverse per creare un colore proprio
- RISONANZA MAGNETICA
- IMMAGINE TC
I segnali possono essere monodimensionali o multidimensionali ci sono uno o più grandezze fisiche variabili, ma in questo caso vedremo solo segnali monodimensionali con variabile indipendente il tempo
es. x(t) , v(t)...
SEGNALE A TEMPO CONTINUO
s(t) ∈ ℝ ed è una funzione continua
Per l'analisi si usano metodi di analisi matematica classica
SEGNALE A TEMPO DISCRETO
Il segnale viene definito con s[n], dove n ∈ ℤ
Quando proprio il tempo è discreto
SEGNALE AD AMPIEZZA CONTINUE (ANALOGICO)
Le ampiezze del segnale possono assumere infiniti valori e può essere a tempo continuo o discreto
Si può anche rappresentare come modulo e fase:
EX = ∞ poiché periodica => si calcola la potenza media
Px = 1/T ∫-T/2T/2 |x(t)|² dt = ∫ | -1/4t | dt = ⅆf 1/4 = 1
SEGNALE DI POTENZA
- TRIANGOLO:
x(t) = A ⋅ Λ ( t/T ) = { 0 |t| > T ; A(1 - |t|/T) |t| ≤ t }
E' un segnale continuo con ampiezza continua
EX = ∫-∞∞ |x(t)|² dt = ∫-TT |x(t)|² dt =
= 2 √0T |x(t)|² dt = 2 ∫0T |A (1 - t/T) |² dt =
= 2 |A|² ∫0T (1 - t/T)² dt = -T/3 |A|² [((1 - t/T)³)T0 ]
= -T/3 |A|² [0 - 1] = 2/3 T/|A|²
SEGNALE DI ENERGIA
- ASSOCIATIVA: [x(t) * y(t)] * z(t) = x(t) * [y(t) * z(t)]
- DISTRIBUTIVA: x(t) * [y(t) + z(t)] = x(t) * y(t) + x(t) * z(t)
Troviamo la Trasformata di Fourier di z(t):
Z(s) = ∫ z(t) e-j2πst dt = ∫ x(t) e-j2πσt y(t-σ)e-j2πst dσ dt =
= ∫∫ x(t) e-j2πσt y(θ)e-j2πsθ dσ dθ =
= X(s) ⋅ Y(s)
=> Tramite lo stesso ragionamento si trova che:
X(s) ⋅ Y(s) = Z(s) ⟶ z(t) = x(t) ⋅ y(t)
CALCOLO DELLA CONVOLUZIONE: Esistono due metodi:
- ANALITICA
- GRAFICA
z(t) = ∫-∞+∞ x(τ) y(t-τ) dτ
------ x(t) = y(t) = π (1/τ)
PROPRIETÀ:
- LINEARITÀ: Avendo c⋅δ(t), ∫ −∞+∞ c⋅δ(t) dt = c
- SCALAMENTO: δ(α⋅t) = (1/|α|) ⋅ δ(t)
Calcoliamo la Trasformata di Fourier del Delta di Dirac:
∮ f(t)δ(t) = ∫ −∞+∞ f(t)⋅e−j2πt dt = e−j2π·0
= 1
Se però consideriamo il Delta di Dirac traslato t₀:
∮ f(t−t₀) = ∫ −∞+∞ f(t−t₀) e−j2π⋅t dt = e−j2π⋅t₀
Si può vedere sia dalla definizione del Delta di Dirac, sia dalle proprietà analitiche/esatto della Trasformata
Si trova quindi che la Trasformata inversa di ∮ ej2π⋅t:
∮ ∫ −∞+∞ ej2πt ds = δ(t)
TEOREMA DI PARSEVAL:
Serve per capire la nozione di energia
di un segnale e Trasformata di Fourier
x(t) = ∫-∞+∞ X(fs) ej2πf tdfs=
= ∫-∞+∞ ℛ(f(1+ fsf0)) δ(fs - kT) e j2πfst dfs=
= Σk=-∞+∞ ℛ( k1/T) ∫-∞+∞ δ(fs - kT) e j2πfstdfs =
= Σk=-∞+∞ ℛ( k1/T) e j2πfst [ t=0per f= kT ] =
= Σk=-∞+∞ℛ( k1/T) T e j2πfs ( kT) t =
=> f0 = FREQUENZA FONDAMENTALE
= Σk=-∞+∞ ℛ e j2πkt T W0 = COEFFICIENTI DI FOURIER
=> SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER:
x(t) = Σk=-∞+∞ Wkej2πkt W0
DIMOSTRAZIONE:
Supponiamo che un segnale periodico x(t) lo si può considerare come la ripetizione di un segnale r(t)
=> ℛ(fs) = ∫-∞+∞ r(t) e-j2πfstdtt = ∫0T r(t) e-j2πfstdtt =
= ∫0T x(t)[] e-j2πkt dt =
= Troviamo ora i coefficenti di Fourier
=> Wk = ℛ(ksup>T)T = 1T ∫0T x(t) e-j2π kT t dt
La trasformata H(s) esprime il rapporto tra gli spettri dei segnale d'uscita e di ingresso al sistema LTI:
H(s) = \[\frac{Y(s)}{X(s)} \] FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Supponiamo si avere un segnale di ingresso, x(t) = \[g(2\pi f_0t + \varphi)\]
X(s) = e^{ j\beta} \int{g(t) e^{-jst} dt} , per la propriertà del campionamento . (ved dati di Dirac)
Y(s) = X(s) \cdot H(s) = e^{j\beta} [\int{g(t) e^{-jst} dt} \cdot H(s)]
Facendo la trasformata inversa: Y(s) = e^{j\beta} \int{g(t) H(s) dt}
La risposta ad un generico segnale sinusoidale (reale o complessa) è rappresentata da:
y(t) = H(f_0) x_{sin}(t)
Segnale sinusoidale
Es. esempio: L[.] = amplificatori ideali y(t) = Ax(t), H(s) = ?
PROCEDIMENTO 1:
Si sostituisce y(t) con h(t) e x(t) con \[\delta(t)\] e successivamente si fa la trasformata:
h(t) = A \[\delta(t)\] \rightarrow H(s) = A \int{\delta(t)e^{-jst}dt} = A
PROCEDIMENTO 2:
Si fa il rapporto tra le trasformate di x(t) e y(t):
SPETTRI DI ENERGIA
Avendo un sistema LTI stabile, la sua energia è finita: Ex < +∞
e ciò comporta che se un segnale x(t) anch’esso = energia finita
Ey = ∫-∞+∞ |Y(jω)|² dω = ∫-∞+∞ |X(jω)|² |H(jω)|² dω
[ H(jω) = X(jω) H(jω) ]
[ le f.r.si: X(jω) e: H(jω) non contano per l'energia di: y ]
esempio
|X(jω)|² viene anche chiamato DENSITÀ SPETTRALE DI ENERGIA
fx(jω) = |X(jω)|² ≥ 0
Essendo fx(jω) un segnale in frequenza, proviamo a calcolare la sua (antitrasformata inversa)
g(t) = ∫-∞+∞ fx(jω) ejωtdω = ...
= ∫∫ x(t1) x*(t2) e-jωt1 ejωt2 dω dt1 dt2
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