Appunti completi di Teoria dei segnali

INTRODUZIONE ALLA TRASFORMATA DISCRETA DI

FOURIER (DFT)

INTRODUZIONE- La trasformata discreta di Fourier (DFT:Discrete Fourier Transform) risponde

all’esigenza di implementare al calcolatore la trasformata di Fourier di una funzione del tempo.

L’implementazione numerica ha alcune caratteristiche peculiari, che possono essere definite

“tecniche digitali di analisi”, e che impongono di modificare la definizione convenzionale di

trasformata (e antitrasformata) di Fourier al fine di ottenere una procedura di calcolo efficiente.

Esempio 1

1) Considero la funzione h(t) e la sua trasformata H(f). Per determinare la trasformata di Fourier

di h(t) mediante tecniche di analisi digitale, è necessario campionare la funzione h(t).

Funzioni della

Funzioni del frequenza

tempo

Il campionamento è realizzato moltiplicando h(t) per la sequenza campionante ∆

2) (t): costituita

0

da una sequenza di Delta di Dirac, distanziati di T l’uno dall’altro. La trasformata di ∆ (t) è

0

∆ (f).

0

3) Risultato del campionamento. La sequenza dei campioni ha una trasformata di Fourier che si

ottiene replicando infinite volte la trasformata di Fourier del segnale originale, ciascuna replica

essendo centrata su un multiplo della frequenza di campionamento 1/T.

tale frequenza non è sufficientemente grande compare il fenomeno dell’aliasing,

Se per cui

tali repliche risultano sovrapposte, lo spettro risultante è diverso dallo spettro del segnale

originale e anche nell’intervallo di frequenze centrato nell’origine che posso considerare come

Il problema dell’aliasing può essere

significativo. ridotto (come è noto dal teorema del

campionamento) campionando con una frequenza almeno pari al doppio della massima

frequenza nello spettro di h(t). D’altro canto, se H(f) ha estensione illimitata l’aliasing potrà

essere soltanto ridotto assumendo per T il valore più piccolo possibile.

4) Il numero di campioni di h(t) considerati non potrà essere arbitrariamente elevato. Se h(t) ha

–∞ < t < ∞) una porzione di segnale non sarà

durata temporale molto grande (al limite

campionata. Graficamente, ciò corrisponde ad assumere una “finestra di campionamento”

. Questa “finestra” contiene N=T

(intervallo temporale) di durata T /T campioni: + elevato è

o o c

il valore di T , a parità di T , + elevato è il numero di campioni, + elevato è il numero di valori

o c

numerici che passiamo al computer.

“finestra temporale”

Quindi la T (e N) non può essere qualsiasi perché potrebbe non descrivere

0

l’intera evoluzione del segnale.

A questo punto moltiplico il segnale campionato per questa finestra, la cui trasformata di

Fourier è un sinc. Facendo questo prodotto in frequenza (o pulsazione) ho la convoluzione

(tra la trasformata X(f) della funzione rettangolare e la funzione H(f)∗Δ (f)). La conseguenza

o

di questa convoluzione è la comparsa di un ripple per cui la forma stessa dello spettro non è

più uguale alla forma dello spettro originale. da quello originale per l’aliasing

Lo spettro ottenuto differisce (dovuto

alla frequenza di campionamento) e per il “ripple” (dovuto al

Il ripple, come l’aliasing, può essere ridotto assumendo

troncamento).

una finestra di troncamento la più estesa possibile.

le principali problematiche connesse all’utilizzo della trasformata discreta sono:

Quindi

• Campionamento del tempo: per avere una sequenza di numeri Aliasing

• Finestra temporale: per considerare il segnale in un intervallo di durata ragionevole ripple

Alterazione del risultato.

5) Alla fine anche la trasformata di Fourier sarà processata dal calcolatore in forma numerica. Ciò

significa che anche lo spettro del segnale sarà campionato (campionamento che anche in questo

caso assumo come ideale).

In questo caso l’aliasing è facilmente evitabile perché devo campionare in frequenza,1 con una

spaziatura in frequenza che è pari ad almeno il doppio della durata dei segnali.

Il campionamento nel dominio della frequenza mi produce una periodicizzazione

dell’andamento nel dominio del tempo.

Il campionamento nel dominio della frequenza sarà realizzato con una sequenza di impulsi

matematici di periodo 1/To. La scelta di un periodo di campionamento in frequenza pari

all’inverso della “finestra di campionamento” consente di evitare che le repliche della funzione

h(t)Δ (t)x(t) si sovrappongano.

o sono adeguate per l’implementazione numerica in quanto descritte

Le funzioni

da una sequenza di valori discreti. La funzione originale del tempo è approssimata con

N = To/T campioni e, allo stesso modo, anche la trasformata di Fourier è approssimata con N

campioni. Questi N campioni definiscono la coppia segnale-trasformata di Fourier discreta e,

nel senso precisato, costituiscono un’approssimazione della coppia segnale-trasformata

originale.

È importante osservare che il campionamento nel dominio del tempo ha prodotto una funzione

periodica in frequenza, mentre il campionamento nel dominio della frequenza ha prodotto

una funzione periodica nel tempo.

Esempio 2

Considero, ora, un esponenziale unilaterale (t≥0). La finestra di campionamento non è centrata

(

nell’origine se partisse da 0 ci sarebbe il problema della collisione con la delta di Dirac nell'origine).

Espressione della trasformata discreta: Mi indica che w è discretizzato

sull’asse dei tempi

Espressione dell’antitrasformata discreta: Mi permette di risalire ai campioni.

Non compare l’integrale perché sto

lavorando con quantità discrete l’espressione

La verifica della correttezza reciproca di queste due formule sta nel fatto che prendendo

di g(kT) e mettendola dentro la prima relazione, ottengo un'identità.

CASI PARTICOLARI

Forme d’onda periodiche a banda limitata:

a) finestra di campionamento uguale al periodo

Analizzo il caso di una funzione cosinusoidale di periodo T , la cui trasformata è data da due

0

impulsi matematici allocati in 1/ T e -1/ T .

0 0

Faccio il campionamento nel tempo che fa sì che lo spettro originale venga replicato infinite

volte. In particolare:

➢ Il campionamento nel dominio del tempo non produce aliasing: la frequenza di

campionamento Fc è stata scelta abbondantemente maggiore di quella necessaria,

quindi le repliche risultano essere ben distanziate.

➢ il campionamento nel dominio del tempo produce una scalatura delle ampiezze nel

dominio delle frequenze per cui l’area originale (A/2) delle delta di Dirac viene ridotta del

fattore 1/T (e diventa dunque A/2T);

Prendo una “finestra di campionamento”, noto che nello spettro compare il ripple perché devo

fare la convoluzione tra la trasformata dell’impulso rettangolare e la delta di Dirac. Quindi la

funzione che ottengo, come conseguenza del troncamento, è ben diversa da quella che ci

aspettiamo. “finestra di campionamento”

Se prendessi la uguale ad un periodo avrò che il ripple, in

qualche passaggio successivo, sparisce perché vado a campionare la funzione (ottenuta

facendo la convoluzione in frequenza) utilizzando le Delta di Dirac che mi servono per il

campionamento in frequenza, per lo più nei punti in cui questa funzione è nulla.

Ripple

Funzione

Modulo Le Delta si

funzione trovano in

1/T ,2/T ,3/T ..

0 0 0

.

Ripple sparisce

La convoluzione nel dominio del tempo, conseguente al campionamento in frequenza, riproduce

(campionata) esattamente la funzione cosinusoidale assegnata; anche in questo caso infatti la sola,

marginale, differenza è nell’ampiezza, ora pari ad ATo.

è l’unica

La classe di funzioni presa in esame per cui trasformata discreta e trasformata continua

sono esattamente coincidenti (la discretizzazione, cioè, non introduce alcuna approssimazione).

delle trasformate richiede:

Riassumendo, l’equivalenza

✓ La funzione del tempo h(t) deve essere periodica;

✓ h(t) deve essere a banda limitata

✓ La frequenza di campionamento temporale deve essere almeno pari al doppio della

massima frequenza del segnale periodico;

✓ La finestra dii campionamento deve essere diversa da 0 su un intervallo esattamente pari

ad un periodo (o un multiplo intero di periodi) di h(t).

porzione di spettro nell’intorno

Analizzo la

dell’origine.

I due impulsi matematici allocati in ±1/To

corrispondono esattamente alla Trasformata di

Fourier originale, a meno del fattore moltiplicativo

To/T dovuto alle operazioni di campionamento e

troncamento. Questo fattore, peraltro, non è causa

di alcuna distorsione.

Forme d’onda periodiche a banda limitata: “finestra

b) di campionamento” diversa dal

periodo.

“finestra di campionamento”

Se la fosse diversa da un periodo, le considerazioni fatte in

precedenza non valgono più. “finestra di campionamento”

Suppongo di considerare la stessa situazione di prima, ma con la →

non includente più un periodo ma poco più di un periodo Gli zeri della funzione,

contrariamente a prima, non compaiono più in corrispondenza delle Delta di Dirac del

→

campionamento. Ho comunque la Delta a 1/T e -1/T ma ho anche le altre Delta non ho lo

0 0

spettro che mi aspetto.

Infatti la funzione g(kT) ottenuta, differisce considerevolmente dalla funzione iniziale: si

tratta ancora di una funzione periodica (conseguenza del campionamento in frequenza), ma

l’andamento all’interno di un periodo non è una replica (eventualmente a meno del fattore di

scala) della h(t).

Ciò ci porta a pensare che le trasformate delle funzioni h(t) e g(kT) siano diverse tra loro e

che la discretizzazione abbia introdotto un errore.

• Non ha valore medio nullo

• trasformata ha componente non nulla nell’origine

La sua

• Non ha derivata continua: ci sono punti in cui la derivata

dx è diversa da quella sx. (il coseno, invece ha derivata

continua)

Considerando il caso in cui T =3.5T (T periodo di h(t)).

0 1 1 Il risultato del campionamento in frequenza

è in generale diverso da zero per tutti i

valori di n/To;

Forme d’onda di durata finita

c) Considero la funzione h(t), suppongo che abbia durata limitata, allora la sua trasformata ha

In questo caso, allora, l’aliasing nel dominio della frequenza

sicuramente estensione illimitata.

sarà inevitabile e occorre scegliere il periodo di campionamento T in modo tale da

Scegli