Appunti completi del corso di Meccanica delle macchine

MECCANICA DELLE MACCHINE

CINEMATICA NEL PIANO DEL CORPO RIGIDO

TEOREMA METODO VETTORIALE:

Sia un vettore posizione rotante nel piano vettore r e con velocità angolare ω, allora:

d(r)/dt = ω∧r

METODO DEI VETTORI ROTANTI:

La formula fondamentale vale per qualsiasi vettore rotante nel piano con velocità angolare ω

POSIZIONE DEL CORPO RIGIDO:

Un corpo rigido è definito dal fatto che la distanza tra 2 punti interni ad esso non varia nel tempo

Consideriamo all'interno del corpo rigido

MOTO TRASLATORIO CORPO RIGIDO:

In un moto traslatorio tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità e accelerazione.

MOTO ROTATORIO INTORNO AD UN ASSE FISSO:

_{↦ripeto ad o}

↯_P = ↯_O + ω^✕(⇴-⇴_O) = ↩(⇴,•)

= ↯_P = ω^✕⇻(⇴-⇴_O) = ^d/_dt(⇴-⇴_O)

Il vettore ↯_P avrà modulo ωP_O,

direzione ⇴-⇴_O e verso ω^✕

In un problema c'è sempre moto il vettore posi“a zione e una tra

↯_P o ω

Lo stesso ragionamento si effettua rispettivamente anche per le accelerazioni α_P e ω_,• infatti:

=>

α_P = _d/_dt[_O^✕(⇴_-⇴_O)]

= α^✕(⇴_-⇴_O) + ω^✕(⇴_O)

- ω²[⇴_-⇴_O] + ω_,•^✕(⇴_-⇴_O)

Accelerazione centrifuga

Accelerazione tangenziale

MOTO PIANO GENERICO (ROTOTRASLAZIONE):

È la combinazione fra rotazione e traslazione

= {

∈_A|B = ∈_B^✕∈_A|B = ∈_B ^L ∈_B con calcolatore

=()

= ↯_A = ↯_B + ↯_{A|B A|B} con una B $/o e verso A

MECCANISMI ARTICOLATI

I meccanismi sono catene cinematiche dotate di un elemento rigido fisso, detto TELAIO DEL MECCANISMO

Un meccanismo per essere tale deve avere almeno un grado di libertà, sennò è una struttura

MANOVELLA:

corpo collegato al telaio da una cerniera che fa da centro di rotazione ed è possibile una totale rotazione intorno ad esso

BILANCIERE:

è lo stesso corpo della manovella con la differenza che ha una rotazione limitata

BIELLA:

corpo collegato con due cerniere ad altri due corpi mobili

EQUAZIONE DI GRÜBLER:

x = 3(m-1) - 2C1 - C2

Serve per calcolare i gradi di libertà che determinano poi il numero n°1 minimo per mettere in moto il sistema.

m: numero di corpi rigidi (comprensivo di telaio), C1,2: numero di coppie cinematiche che limitano il/je gr.

VELOCITÀ ASSOLUTA:

\[\vec{V}_{E,ass} = \vec{V}_{rel,p} + \vec{V}_{tr,p}\]

ACCELERAZIONE ASSOLUTA:

\[\vec{a}_{E,ass} = \vec{a}_{rel,p} + \vec{a}_{tr,p} + \vec{a}_{co,p}\]

ACCELERAZIONE DI CORIOLIS:

\[\vec{a}_{co,p} = 2 \vec{\omega}_{T,rel} \times \vec{V}_{rel,p}\]

Nei meccanismi chiusi, all'interno della definizione ci può essere anche una slitta: la guida è un corpo rigido o ai rilento.

CON SLITTA _{⇒ m = 6}

• C₁ = 7 (O₁, O, B, C, guida lungo i, cursore A, guida lungo ā)
• C₂ = 0

\[K = 3(m-1) - 2C_1 - C_2 = 1\]

SENZA SLITTA _{⇒ m = 5}

• C₁ = 5 (O₁, O, B, C, guida lungo i)
• C₂ = 1 (A)

\[K = 3(m-1) - 2C_1 - C_2 = 1\]

Stessi: gdl!

TERZA REGOLA

Se un corpo rigido è soggetto a tre forze:

• EQUILIBRIO ROTAZIONE: le tre forze devono passare per lo stesso punto ("
• EQUILIBRIO TRASLAZIONE: il triangolo formato dalle forze deve essere chiuso

Siano dati: F̅₁, la direz. e punto 1; opp1 di F₁, e F₂, il punto 2; opp2, di F₂. Si prolunghino le direz.1 di F̅₁ e F̅₂, tracciando il punto di intersez. E la direz.2 di F₂, che passa per E. Note tutte le direz. si ponga e F₃ che indeve si intersecan le direzioni di F₂ e F̅₃.

Resp. i vertici dei vettori che forma chiudere il triangolo triangolare con un cerchio, punta all’esterno dello spazio chiuso. Per chiudere il cerchio gialli: i versi dei vettori che formano chiudono il triangolo

5. Scrivere infine le equazioni che descrivono i combinati delle forze R̅_A e R̅_B isolate dalle lettere!

USO DELLE TRE REGOLE GRAFICHE:

1. Separare i corpi rigidi, in corrispondenza dei vincoli
2. Definire ogni regola che segui
3. Applicare la regola opportuna tracciando tutte le forze
4. Per ogni corpo rigido, scrivere le equazioni letterali delle
5. forze e le coppie, uguali su ciascuna parte
6. trasmesso da un corpo rigido ad un altro rispettando i principi di azione e reazione
7. Individuare le nome delle rette scambiee

Per trovare le reazioni vincolari applicate in un corpo ciso si stacca il corpo che si vuole considerare rispetto ai vincoli e si scrivono le tre equazioni della dinamica:

• ΣF_x + ΣF_ix = 0
• ΣF_y + ΣF_iy = 0
• ΣM_o + ΣM_i = 0

Scriviamo l’equazione di momento per l’asta OA

O: + l_Ga_α-R_aya_z + mj_ya_y

- I_Gω₃ - mg a_y + C_M = 0

DIAGRAMMA DI CORPO LIBERO

Se avessimo calcolato il momento rispetto al baricentro G, non avremmo dovuto includere l_Gmg e mj_ya_y

Le azioni siluristiche (forze e coppie) non considerano il movi. mento del corpo, ma solamente le rispettive accelerazioni (la forza siluristica è opposta ad a_ω, mentre la coppia è opposta a ω)

BARICENTRO:

Avendo un corpo con densità ρ = ^dm⁄_dv:

X_G = ^{∫x dm}⁄_M    y_G = ^{∫y dm}⁄_M

E la forza applicata è maggiore o minore di T

RULLO MOTORE:

Rullo messo in rotazione da una coppia Cm

• Per frenare Ẍ e θ̈ conviene cominciare a muoversi si deve supporre le condizioni 1: puro rotolamento

In questo caso T è fissato a Cm ma spesso concorde con lo spostamento del corpo

La T è fissato anche nel caso la coppia applicato è frenante

• Scriviamo quindi le equazioni dinamiche del corpo:

(Gi)

• Cm = Tℓ + I_Gθ̈

(→)

• T = mẌ

(↑)

• N = P

Ẍ = Rθ̈ ⇒ condizione di puro rotolamento

T= f_c0N

• T = f_c0.N ⇒ condizioni di aderenza
• T = f_d0.N ⇒ condizioni di slittamento

Si devono risolvere le equazioni perché non esiste più la condizione Ẍ = Rθ̈