Meccanica delle macchine - Appunti completi

VIBRAZIONI MECCANICHE

Vibrazione: moto di oscillazione delle parti costituenti un sistema meccanico intorno a una configurazione di equilibrio

reso possibile dalla deformabilità dei corpi.

Deformabilità corpi (energia potenziale elastica) ↔ Moto dei corpi (energia cinetica)

Libera - Il moto di oscillazione è mantenuto per effetto di azioni di richiamo elastico o gravitazionale

Vibrazione dipendenti dai componenti del sistema meccanico, in assenza di fonti eccitatrici esterne

(assenza di energia fornita dall’esterno al sistema)

Forzata - Il moto di oscillazione avviene sotto l’azione di fonti eccitatrici esterne che permangono nel

tempo, fornendo energia al sistema

Non smorzata - I fenomeni di dissipazione di energia dovuti ad azioni resistenti al moto sono trascurabili

Smorzata - I fenomeni di dissipazione di energia dovuti ad azioni resistenti al moto non sono trascurabili

Parametri concentrati - I gradi di libertà sono in numero finito (modello a parametri discreti)

Modello Modello a masse + molle + smorzatori concentrati

Equazioni differenziali ordinarie

Parametri distribuiti - I gradi di libertà sono in numero infinito (modello a parametri continui)

Modello inerzie + effetti elastici + effetti dissipativi distribuiti con continuità nel

sistema

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Lineare - Fenomeni con dipendenza lineare dai gradi di libertà o loro derivate

Non lineare - Fenomeni con dipendenza non lineare dai gradi di libertà o loro derivate

Elementi : Massa : corpi rigidi, proprietà inerziali

- Molle : rigidezza lineare

- rotazionali

Smorzatori : lineari

- rotazionali APPUNTI Pagina 14

Sistema MASSA - MOLLA - SMORZATORE a 1gdl

Sistema Equilibrio Equilibrio Equazione del moto :

(diff 2° a coeff cost, completa)

indeformato statico dinamico Equazione del moto in forma canonica:

gdl pulsazione naturale

az. forzante fattore di smorzamento

Sistema PENDOLO a 1gdl Equazione del moto:

Equilibrio Equilibrio

statico dinamico Equazione del moto in forma canonica:

pulsazione naturale

fattore di smorzamento

gdl

Sistema ASTA - MOLLE - SMORZATORE a 1gdl Equilibrio dinamico

Equilibrio statico gdl

azione forzante

Equazione del moto:

Equazione del moto

in forma canonica: pulsazione naturale

fattore di smorzamento

APPUNTI Pagina 15

Sistema VIBRANTE a 1gdl gradi di libertà

Equazione del moto in

forma canonica A=0 vibrazioni libere

termine forzante A≠0 vibrazioni forzate

pulsazione naturale

fattore di smorzamento (zita)

• Vibrazioni libere - equazione omogenea

ζ

• <1 sistema sottosmorzato (compie almeno 1 oscillazione attorno

all'eq)

ζ

• =1 sistema con smorzamento critico

ζ

• >1 sistema sovrasmorzato pulsazione

periodo

frequenza

Decremento logaritmico

Questa vibrazione generale è iniziale. Dopo un certo tempo, in base a quanto vale zita, essa scompare (più grande è

zita più in fretta il sistema va a equilibrio), resta solo la soluzione particolare.

• Vibrazioni forzate - eq. del moto in forma canonica

APPUNTI Pagina 16

Equazione del moto:

Risposta a regime:

Modulo della funzione

risposta in frequenza

Fase della funzione

risposta in frequenza

Eccitazione in risonanza quando

APPUNTI Pagina 17

Trasmissibilità di forza Equazione del moto

Risposta a regime

Azione forzante Forza trasmessa alla base

≈

Modulo della funz Trasmissibilità di Forza (ζ 0):

Trasmissibilità di spostamento Equaz del moto

Risposta a regime

Eccitazione con spostamento della base ≈

Modulo della funz Trasmissibilità di Spostamento (ζ 0):

SDOF Resonance Vibration Test APPUNTI Pagina 18

SISTEMA MECCANICO

MOTORE - elemento del sistema che sviluppa forze (coppie) che compiono lavoro positivo (azioni motrici)

UTILIZZATORE - elemento del sistema sottoposto a forze (coppie) che compiono lavoro negativo (azioni resistenti)

TRASMISSIONE - insieme di organi di collegamento tra motore e utilizzatore atti a trasmettere potenza meccanica

Condizioni di funzionamento del sistema in TRANSITORIO (cambia nel tempo)

⇒

abs( Lavoro azioni motrici ) > abs( Lavoro azioni resistenti ) accelerazione del sistema

⇒

abs( Lavoro azioni motrici ) < abs( Lavoro azioni resistenti ) decelerazione del sistema

Condizioni di funzionamento del sistema a REGIME (condizioni STAZIONARIE)

⇒

abs( Lavoro azioni motrici ) = abs( Lavoro azioni resistenti ) moto a velocità costante nel tempo

Uno stesso dispositivo del sistema meccanico può svolgere la funzione motore/utilizzatore in base alle condizioni di

funzionamento del sistema!!!

Caratteristica meccanica - esempi MOTORE

Potenza meccanica = Coppia C (o Forza F) × Velocità (w o v)

Caratteristica meccanica: C = f(w), F = f(v)

Motore a Motore a Motore elettrico Motore elettrico a Motore elettrico a Motore

combustione combustione asincrono c.c con eccitazione corrente continua con idraulico

interna (ciclo otto) interna (diesel) separata eccitazione in serie

Caratteristica meccanica - esempi UTILIZZATORE

Potenza meccanica = Coppia C (o Forza F ) × Velocità (w o v)

Caratteristica meccanica: C = f(w), F = f(v)

Coppia utilizzatore costante Coppia utilizzatore lineare Coppia utilizzatore quadratico

APPUNTI Pagina 19

Accoppiamento MOTORE - UTILIZZATORE

Ai fini dello studio della trasmissione di potenza tra motore e utilizzatore, sui diagrammi di corpo libero degli elementi in

movimento si indicando solo le azioni coinvolte nella valutazione della potenza mecc nelle diverse sezioni del sistema

statore transitorio w transitorio w

rotore Motore Utilizzatore

utilizzatore Regime : condizione stabile

Agendo solo sul motore Cm posso

cambiare la condizione di funzionamento

Accoppiamento MOTORE - TRASMISSIONE - UTILIZZATORE

Motore Trasmissione Utilizzatore

Rapporto di trasmissione Esempio auto con 4 marce:

Riduttore di velocità il sistema di trasmissione diventa sempre meno

riduttore e la velocità di regime sale sempre più

Moltiplicatore di velocità

Applicando eqz. dell’energia alla trasmissione (ipotesi: assenza

azioni resistenti interne messe in movimento trascurabili):

APPUNTI Pagina 20

RENDIMENTO DI UN SISTEMA MECCANICO

Potenza dissipata Potenza in uscita

Potenza in ingresso abs(lavoro compiuto)

ingresso abs(potenza in uscita)

uscita

Sistema abs(lavoro assorbito) abs(potenza in ingresso)

meccanico

Una stessa trasmissione meccanica può funzionare sia come riduttore di velocità, sia come moltiplicatore di velocità, a

seconda di dove sono collegati gli elementi che svolgono la funzione di motore e di utilizzatore

ipotesi: rapporto di trasmissione τ<1

Flusso di potenza

motore trasmissione con funzione di riduttore di velocità w2 < w1 ;

utilizzatore rendimento ηR

Flusso di potenza trasmissione con funzione di moltiplicatore di velocità w1 > w2 ;

utilizzatore motore rendimento ηM

Caratteristica comune ai sistemi di trasmissione della potenza meccanica è che, a parità di tutte le altre condizioni, il

rendimento è migliore se la trasmissione opera come riduttore di velocità, rispetto al caso in cui la trasmissione stessa

operi come moltiplicatore di velocità.

Inoltre, il rendimento peggiora all’aumentare della differenza di velocità tra ingresso e uscita

ESEMPIO - leva con attrito al vincolo E’ presente attrito al vincolo O caratterizzato da raggio del cerchio di

attrito ρ.

La trasmissione trasmette il moto dal punto A al punto B, e viceversa.

La trasmissione funziona da:

Riduttore (xs<xf) Moltiplicatore (xf>xs)

rendimento riduttore rendimento moltiplicatore

APPUNTI Pagina 21

Accoppiamento MOTORE - TRASMISSIONE - UTILIZZATORE : funzionamento a regime

Motore - caratteristica di coppia motrice C (w1)

M

inerzia rotore I1

Riduttore - rapporto di trasmissione τ=w2/w1

rendimento η

Motore Riduttore Utilizzatore Tamburo - diametro D

caratteristica di coppia resistente C (w2)

T

inerzia intorno asse rotazione I2

Carico - massa m

Carico Equazioni di equilibrio

Motore Riduttore Tamburo Rapporti di trasmissione

Carico

Utilizzatore riduttore (1-->2) (tamburo-->carico)

Sistema equivalente ridotto all’asse motore 1 funzionamento a regime quando w1=0

funzionamento in transitorio quando w1≠ 0

Sistema equivalente ridotto all’asse tamburo 2 funzionamento a regime quando w2=0

funzionamento in transitorio quando w2≠ 0

Sistema equivalente ridotto all’asse del carico funzionamento a regime quando z=0

funzionamento in transitorio quando z≠ 0

APPUNTI Pagina 22

Percorso di carico

Effetto di trasmissione di azioni da un corpo all'altro quando essi interagiscono tra loro (principio di azione e reazione).

Si assume, per semplicità, condizione di funzionamento a regime.

Motore Riduttore Utilizzatore Motore - caratteristica di coppia motrice C (w1)

M

Riduttore - rapporto di trasmissione τ=w2/w1

rendimento η

Utilizzatore - caratteristica di coppia resistente C (w2)

R

Telaio

rotore utilizzatore

riduttore

statore telaio

telaio

telaio

Motore Riduttore Utilizzatore Linea di carico

(immaginaria)

Telaio

NOTA:

Ai fini dello studio della trasmissione di potenza tra motore e utilizzatore, si considerano i diagrammi di corpo libero

degli elementi in movimento, indicando solo le azioni coinvolte nella valutazione della potenza nelle diverse sezioni

del sistema meccanico.

NOTA:

Per rappresentare i diagrammi di corpo libero completi, bisogna considerare anche le azioni che non partecipano

direttamene alla valutazione della potenza nelle diverse sezioni del sistema meccanico (forza peso

APPUNTI Pagina 23

ESEMPIO E4/2

Un motore è collegato a un utilizzatore tramite un riduttore avente rapporto di trasmissione pari a τ=1/2. il motore

fornisce una coppia motrice Cm=Cm0-km wm in cui Cmo=45Nm, km=0,06Nm/rad e wm è la velocità angolare del motore.

L'utilizzatore crea una coppia resistente Cu=ku wu dove ku=0,8Nms/rad ed wu è la velocità angolare dell'utilizzatore.

Calcolare le velocità angolari del motore e dell'utilizzatore a regime e la potenza trasmessa.

Si conoscano i momenti di inerzia del motore Im=0,08kgm^2 e dell'utilizzatore Iu=0,15kgm^2. Determinare:

- l'accelerazione angolare del motore allo spunto

- l'accelerazione angolare del motore alla velocità angolare del motore pari alla metà di quella di regime

- il tempo necessario, partendo da fermo, per raggiungere il 90% della velocità di regime

Equazioni di equilibrio Sistema equivalent