Appunti completi del corso di Fisica 1

Forza di attrito e piano inclinato

Quel valore limite oltre il quale il corpo inizia a muoversi è anch'esso proporzionale all'area di contatto.

La relazione tra l'azione di queste due forze in relazione alla forza applicata può essere riassunta come segue:

F_s = µ F_{as max} s N

Quindi la forza di attrito è di tipo statico e bilancia la forza applicata finché essa non supera il valore µ F_a; una volta superato il limite, la forza di attrito diventa di tipo dinamico ed è pari a:

F_d = µ F_a s N ( ≤ F se F µ F_a s N)

Questi concetti si possono adoperare per risolvere problemi legati al piano inclinato.

Scegliendo un sistema di riferimento ruotato come l'oggetto, si può scomporre il movimento lungo i due assi.

Lungo la verticale non c'è mai movimento, quindi la componente normale al vincolo della forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare:

y : P = N P

cos(θ) = N

nLungo l'orizzontale si può avere movimento solo se la forza applicata in quella direzione supera la forza di attrito statico massima⇒P > F mg sin(θ) > µ mg cos(θ) (40)

t a stan(θ) > µ (41)

Se tale condizione è verificata, si può scrivere l'equazione del moto grazie al secondo principio della dinamica −x : F = P F (42)

t a −ma = mg sin(θ) µ mg cos(θ) (43)

−a = g(sin(θ) µ cos(θ)) (44)

2.2.2 Forza di attrito viscoso

Quando un corpo scivola su un vincolo, l'attrito che esso applica al corpo non dipende dal modulo della sua velocità.

Invece, se un corpo si muove in un fluido, la forza d'attrito che esso genera sul corpo è proporzionale alla velocità del corpo ed è di segno opposto alla stessa.

−bv(t)F =av

Questa forza d'attrito prende il nome di attrito viscoso.

Questo concetto si può applicare al caso di un corpo che cade

verticalmente in un fluido

partendo da fermo F avx PSi noti che il moto è rettilineo quindi la notazione vettoriale diventa superflua.

Si può scrivere l’equazione del moto −F = P F (45)av−ma(t) = mg bv(t) (46)′ −mv (t) = mg bv(t) (47)

16 Dinamicache è un’equazione differenziale a variabili separabili che ha come soluzionemg −b t−v(t) = 1 e mb

2.3 Esempi di moto armonico

2.3.1 Moto del pendolo

Il primo esempio di moto armonico è il moto del pendolo semplice, ovvero un corpo di massam legato con una corda inestensibile e di massa trascurabile ad un vincolo che costringe ilcorpo a percorrere una traiettoria circolare ù θl T P nP t PScegliendo un sistema di riferimento solidale con il corpo, sull’orizzontale l’unica forza cheagisce è la componente orizzontale del peso.

Scrivendo l’equazione del moto, P sarà uguale alla massa per l’accelerazione tangenzialet x : F (t) = P (t) (48)t −mgma (t) = sin

θ(t) (49)T −glα(t) = sin θ(t) (50)≪Grazie al polinomio di MacLaurin e considerando angoli θ 1 radiante si può scrivere≃ −gθ(t)lα(t) (51)g′′ ≃ −θ (t) θ(t) (52)lche rappresenta l’equazione differenziale omogenea del secondo ordine caratteristica dei motiarmonici la cui soluzione è r r g gθ(t) = c sin t + c cos t1 2l l2.3.2 Forza elasticaSi dice forza elastica unidimensionale una forza di direzione costante sempre rivolta versol’origine e con modulo proporzionala distanza dall’origine che, per esempio, genera una molla17Dinamicadi costante elatica k a cui è attaccato un corpo di massa m.Scrivendo l’equazione del moto si ha −kx(t)F (t) = (53)−kx(t)ma(t) = (54)che rappresenta l’equazione differenziale omogenea del secondo ordine caratteristica dei motiarmonici la cui soluzione è ! !r rk kx(t) = c sin t + c cos t1 2m mSe si suppone che la posizione

1. ∆s = ∆s + ∆sA R t
2. v = v + vA R t
3. a = a + a

Nel moto di trascinamento per pura rotazione le equazioni di trasformazione sono:

∆s = ∆s + ∆sA R t

v = v + vA R t

2× −a = a + 2ω v + a ω r

A R R tg18 Dinamica

Moltiplicando per la massa del corpo interessato da quest’equazione a sinistra e destra si ottiene:

2× −ma = ma + m(2ω v + a ω r) (57)

A R R tgnX 2− × −F m(2ω v + a ω r) = ma (58)

RR tgi=12.5 Lavoro

Il lavoro elementare è definito come il prodotto vettoriale tra la forza applicata lungo una traiettoria infinitesima e il vettore che individua quel tratto infinitesimo:

y F 1 F 2θ1 θ) 2t )( t∆r +t(r x−ds = r(t + ∆t) r(t) (59)

·dL = F ds (60)

(61)Il lavoro totale compiuto dalla forza F tra due punti A e B di una traiettoria può essere scritto come la somma di tutti i lavori elementari:

n BZX · ⇒ ·L = F ds L = F dsA,B i i A,B Ai=1

Il lavoro può cambiare

scrivere l’espressione del lavoroB zZ Z B· −mg(z −L = P ds = P dz = z )A,B z B AA z A

Quindi il lavoro della forza peso dipende dalla differenza di quota della traiettoria che il corpo percorre.

Si consideri ora il lavoro della forza peso di un corpo che si muove dalla cima fino alla fine di un piano inclinato.

20 DinamicaNF a P tP n P θB hZ ·F ds = mg sin(θ)L = mg sin(θ)L = = mghA,B sin(θ)A

Quindi il valoro della forza peso non dipende dall’inclinazione del piano inclinato ma dalla sua altezza che conferma quanto trovato in precedenza.

2.5.2 Lavoro forza elastica

Si supponga di avere un corpo di massa m collegato tramite una molla di costante elastica ke massa trascurabile ad una parete.

Si supponga di spostare il corpo da una posizione A ad una posizione B

F elk m xx A F elk m xx B

Come visto precedentemente si scrive il vettore F nelle sue componenti cartesiane

elF = F î + F ĵ + F k̂el el el el

Il lavoro elementare si scrive

iniziale.2.5.4 Teorema del lavoro e dell'energia cinetica

Si supponga che un punto materiale percorra una traiettoria da un punto A ad un punto B grazie all'effetto della risultante R delle forze che agiscono sul corpo stesso.

La forza R, grazie al secondo principio della dinamica, può essere scritta come:

dvR = ma(t) = m dt

Il vettore velocità v(t) è definito come:

v(t) = ds/dt

Il lavoro elementare è definito come il prodotto scalare di R con ds:

dv · dt = mvdv

L = R · ds = m dt

Il lavoro da A e B si ottiene integrando rispetto alla curva tra quei punti il lavoro elementare:

vB 1 1 1