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Teoria di sperimentazioni di Fisica 1 "Fisichetta"
Presentazione di dati sperimentali:
X vero si trova tra questo intervallo:
X ± ΔX
ΔX → Incertezza assoluta
Miglior stima
La misura deve essere sempre associata ad una incertezza per poterle confrontare.
Sia X e ΔX devono avere le stesse cifre significative e stessa unità di misura.
ΔX / |X| Incertezza relativa (adimensionale)
Misure con incertezze assolute differenti possono avere stessa incertezza relativa.
# Cifre significative:
Sono le cifre certe + la 1° cifra incerta
Si ottiene contano da sx a dx cominciando dalla 1° cifra ≠ 0
Se lo zero è alla fine o nel mezzo conta come significativa.
Es:
- 1.48 Kg → 8 cifra incerta
- 1.480 Kg → 8 è cifra esatta e 0 è incerta.
δx viene fornita con una sola cifra
significativa: a meno che la prima cifra
significativa sia 1, in quel caso si arrotonda
ad 2 cifre
il valore della misura deve avere l'ultima
cifra sign. dello stesso ordine dell'incertezza.
Unità di misura
Scegliamo un'unità campione che deve essere
accessibile e invariante
Sistema Internazionale S.I. ha sette
grandezze fondamentali:
- Lunghezza in metri [m]
- Massa in chilogrammi [kg]
- Tempo in secondi [s]
- Temperatura in kelvin [K]
- Intensità di corrente in ampere [A]
- Quantità di sostanza in moli [mol]
- Intensità luminosa in candele [cd]
Sistema G.G.S. ha tre gran. fond.:
Lunghezza in centimetri [cm]
Massa in grammi [g]
Tempo in secondi [s]
se N è pari si prende la media tra i valori centrali (N/2) e (N/2 +1)
⚠️ La mediana non è sensibile agli outliers mentre la media si
la mediana considera solo il numero di dati indipendentemente dal valore, mentre la media sopresa ogni valore dei dati
Scarto:
Si = (Xi - A) A è un valore fissato
Lo scarto ci dice quanto ogni dato si discosta dal valore A
Per quale valore di A la somma di tutti gli Si è zero:
Σ Si = Σ (Xi - A) = Σ Xi - Σ A = Σ Xi - NA = 0
A = 1/N Σ Xi che è la def di media aritmetica
La media arit è sensibile a pochi dati outliers o ad una distribuzione asimmetrica.
La media è come una sorta di centro di massa
Kurtosis: γ4
Misura quanto è "importante" il picco di una distribuzione:
γ4 = 1/N ∑ (Xi – X̄)4 - 3 = (X0 – X̄)4/σ4 - 3
È la media degli scarti rispetto al valor medio elevati alla quarta potenza diviso per la deviazione standard alla quarta potenza, il tutto con la sottrazione di 3.
Il primo termine vale 3 per una gaussiana per questo si aggiunge il -3 ⇒ γ4 = 0 per una gaussiana
È adimensionale, γ4 di una gaussiana vale zero
γ4 = 0
γ4 > 0
γ4 < 0
Frequenze:
Frequenza assoluta: È il numero di volte che il valore Xi ricorre in un campione di dimensione N.
Frequenza relativa: È il rapporto tra la frequenza assoluta e la dimensione N del campione.
P(A) = ∑ P(A|Bi) P(Bi)
P(Bi|A) =
P(A|Bi) P(Bi)
∑ P(A|Bi) P(Bi)
Immaginiamo che A sia un dato osservativo e B la nostra ipotesi:
P(B|A) = la prob. che l’ipotesi sia giusta
P(B) = la prob. che associamo all’ipotesi senza conoscere i dati
P(A|B) = la prob. di ottenere il dato A assumendo l’ipotesi.
Distribuzioni di probabilità:
- La variabile aleatoria K può assumere valori discreti o continui
- Ogni K ha la sua P(K)
- P(K) ≥ 0
- L’insieme delle probabilità di tutti i valori di K è uno.
Caratteristiche di una distrib. di prob. discreta
Condizione di normalizzazione:
∑i=1N P(Ki) = 1
oppure
∑i=1R Fi = 1
DISTRIB. NORMALE
DISTRIB. CUMULATIVA NORMALE
È IL GRAFICO DELL'AREA SOTTOSTA AL GRAFICO DELLA DISTRIB.
LA PROB. CUMULATIVA È QUANTA % DI AREA SOTTOSTA AL GRAFICO DI PARTENZA È AL DI SOTTO DI UN VALORE SCELTO.
Derivata Seconda Gaussiana
Punto di max è per x = μ (G' = 0)
Abbiamo 2 punti di flessi per x = μ ± σ (G'' = 0)
Valore di aspettazione della gaussiana:
<x> = ∫-∞+∞ x Gμ,σ(x) dx = 1/σ√(2π) ∫-∞+∞ x e-(x-μ)²/2σ² dx =
= 1/σ√(2π) ∫-∞+∞ (σz + μ) e-z²/2 σdx ← Cambio di variabile z = (x-μ)/σ
= 1/√(2π) [ ∫-∞+∞ σz e-z²/2 dz + ∫-∞+∞ μ e-z²/2 dz ]
= 0 + μ√(2π)
<x> = μ
Quando associato ad un valore
la sua barra di errore
intendiamo l'intervallo
di ± sigma rispetto al valore
di aspettazione.
Ovvero abbiamo il 68% che la misura si trovi
nell'intervallo dell'errore.
Per calcolare l'integrale degli errori o si
utilizza un programma informatico o le tabelle.
VALORE DI ASPETTATIVA DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE:
<K> = K=0m ∑ K B(K) = ∑ K m!/K!(m-K)! pK qm-K
= ∑ K m(m-1)!/K(K-1)!(m-K)! pK qm-K
CAMBIAMENTO DI VARIABILE: y = K-1
= ∑ m(m-1)! / y!(m-1-y)! py+1 qm-1-y
= mp ∑y=0m-1 B(y) = mp
SE RIPETIAMO m VOLTE (m GRANDISSIMO), IL NUMERO MEDIO DI SUCCESSO SARÀ PROPRIO LA PROB. DI SUCCESSO PER IL NUMERO DI EVENTI (m)
CON m FISSATO
p1 < p2 < p3
SIA IN QUESTO GRAFICO CHE IN QUELLO PRECEDENTE IL PICCO SI SPOSTA VERSO k MAGGIORE SIA SE AUMENTO p o m
<K> (PICCO) = mp
DEVIAZIONE STANDARD
σK = √mpq
CARATTERISTICHE DELLA POISSONIANA:
Pa(K) = aK⁄K! e-a = a⁄K (K-1)! e-a = a⁄K Pa(K-1)
TUTTI I TERMINI POSSONO ESSERE CALCOLATI IN MODO RICORSIVO.
È NORMALIZZATA?
∑K=0∞ Pa(K) = ∑K=0∞ aK⁄ K! e-a = e-a ∑K=0 aK⁄ K! = e-a ea = 1 ✓
SERIE DI MAC LAURIN: ex = 1 + x + x2⁄2! + .... = ∑n=0∞ xm⁄m!
VALORE DI ASPETTAZIONE DELLA POISSONIANA:
<K> = ∑K=0∞ K Pa(K) = ∑ K aK⁄K(K-1)! e-a =
= a e-a ∑K=0∞ aK-1⁄ (K-1)! → PONGO S = K-1 =
= a e-a ∑j=0∞ aS⁄ S! = a e-a ea = a
USANDO LA SERIE DI MAC LAURIN
VARIANZA DELLA POISSONIANA:
σK2 = <K2> − <K>2 = <K2> − a2
CALCOLIAMO ANCHE <K2>:
<K2> = ∑K=0∞ K2 aK⁄K! e-a = a ∑ K aK-1⁄(K-1)! e-a =
= (K-1) + 1
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