Appunti Completi del corso di Calcolo numerico

VIA FA

.

. ,

Norme Matricioli Indotte della somma

r

(massimo

lij

Norma Il All max degli elementi

dei

1 assoluti del e

valori

=

: colore) .

Algoritmo

Nowa A -1

=

Per 1

I M

= .....,

s 0

=

Per 1

, ....,

i M

= ldij)

s S +

= A

Nona allora Nowa

Se ACS S

=

, (autovalori ATA

IlAll

Norma (ATA) di

matti

2 =

: In laij (massimo

Il Alle max

Norma della assoluti

dei valori e

somma

: righe)

degli delle

elementi

Algoritmo

Si scambiavo della

quello 1

munua

: in

ej (Somma

I All

Frobenius

Norma = del

:

di di gli elementi

Tutti

: a matric elevati quachato

al poi

e

la del risultato

radio

Algoritmo

S 0

=

Per it .

, e m

...,

aij

S S +

=

Norewa F US

=

Proprietà delle indotte

matricioli

norve :

AzRMM ERM

IAXI All-III

1) x

,

Dimostrazione : lAlp-AXP Atp-slAll

- AxIl-Al

>I

Per e

XER"

definizione FO

X -

,

,

(MATRICE

I ERMM IDENTITA

II11

2) 1

= (massimo

3) Raggio A

Spettrale modulo

IIAll pCA) di

(Xi)

pCA) autovalore in

< max >

= -

, i 2 M

= ...,

,

Sia Valore E

esatto

X approssimazione

una sera

un e

Errore Errore

Relativo assoluto

: :

E(Xed

(x dall'ordine di

influenzato

R è

A E

1x >

- = - -

= grandezza del dato

| x .

ex

Vettori 1X-Ill

Tra : =

II X-XII indicano elencate

asterischi delle

che

gli

Ep estre una

può 3 nouve

-

= -prima

Xll

1/ * .

X /O

=

Errori nella rappresentazione :

1) (Non dalla Caratteristica

I dalla mantissa d

= dipende

xxo ma

, (Dipende conatteristical

A (X-fI dalla

=

ALGORITMO

Un algoritmo la

di modo

finita ambiguo

istruzioni assegnate

è successione in

una non

da problema

Ci (dati

di situazione del

iniziale

consente

esecuzione una

passare

(risultati) finito

ad Tempo

situazione finale un

in .

una

REQUISITI FONDAMENTALI :

-Generalità

Ottimalità

-

Metodo Triangolani

Si

di inferiori

applica matrici

avanti

sostituzione in : a

by -zekixi

X =

Metodo matrici

di triangolari

sostituzione all'indietro Si applica superior

a

:

-

bk

Xk Ukixi

= UkK

Teorema La

Fattorizzazione determinanti

di A FATTORIZZABILE

matric dei

se

è i

: (K=1

Ak

AERM -1)

matric

di Testa di

principali sono

minori una 2

, ......,

,

diversi da Zero .

Forma A

da

lineari risolvere determinare

sistemi

dei per

A Ci ci i

= .....,

=

, A-1

di

colore

ci >

· - ,.....

Vettori )

base

della (es (1 0)

4) 0

canomica

ei 0

(m

· > ei

>

- = =

: - , ,

,

Fattorizzazione di

LU matrice

una :

dice AeRmn LU 7

Si che matrici

ammette fattorizzazione 2

se : Gauss

Tutti multiplicatori di

RMxn TRIANGOLARE INFERIORE

Le da

costituita i

· Tal A LU

Che : Gauss

VERMAMTRIANGOLARE di

ottenuta metodo

SUPERIORE col

· .

GAUSS

SISTEMI METODO

LINEARI DI

COL

Per ridurre Gauss

matrice di

matric au triangolone il

A applico metodo

suphione

una

una .

Pivoting Classico

~

Metodo -Senza

Gauss Senza delle

di Piroting righe

scambio

Pivoting o

parziale

Trovare assoluto

il pivot valore

↑ massimo in

le

Scambiare il

righe

: che

Tal Pivot

modo

2 sopra

sia

in

Calcolare moltiplicatori sotto

.

5 al Pivot

Mo

m

i : = PIVOT

Fare

↳ che &

sotto

modo al Pivot

numhi

in i siamo

x-(Pirot) (mxy)

Utilizzando : I che O

deve

numho essere

Ky A-/11

(A) lIAll Il Condizionamento della 1

A

matric

>

= in

- nonva

IlA-Ya

Il

Ka(A) Allo Condizionamento A

della

- matric in co

.

= norma

Interpolazione 4.

4 (Xi

De di tal

il che

polinomio grado al

polinomio interpolante più

punti è

s

n + n

, o

x P

Azx

Yi Ax

00

P(xi) i

+

= + Ap 1

, . . .

= + M

=

.... ,

Il polinomio distinti

interpolante quando modi

è

ed xi

esiste unico : .

sono

Prendendo Tale dei otteniamo

l'interpolazione punti

ed

polinomio imponendone sistema

un

nella forma :

E nn Sistema lineare

do to

to di

A2 to " Yo

A A incognite

+ + met in

+...... + =

! che

equazioni

2

> rappresenta

n +

- le di

condizioni inthpolazione

Ym

A1Xm Xm2 XnM

do An

12

+ =

+ +.....

In matriciale

forma si saile come :

a) i

"

I A

to

1 to ......

i

i Vander

Matrice di monde

Il Lagrange Newt

1

polinomio metodo

di

shitto

interpolante metodo col

col

può essas o :

G

Metodo Co

Lagrange

di 4 f(xy

G

P(x) 22 (x)42

(x41

140 (xym

m

+

+ +....

: +

= = -

T(t

f(x (0(

ti) ( (to-

x2)(X Xu) ...

- 4.

- -

=

= = (to x1) (to-te) (to-43)

-

Ej

i

4 xz)(X

( x0)(x

fj(Xi) f(x) xz)

+ d -

j

i -

-

=

= = ....

x0)(X

altrimenti (x xz)(Xx xz)

o - - -

fz(x) (x X0)(X Xe)(X X3)

= - -

- ....

È +1)(Xz

metodo comodo x0)(Xz ke)

OSS (t

un

: - - -

Tanti

ho Vi

se 0

= di Cj(x)

punti

Inoltre interpolare

da

di uguali cambiano

nodi =

gruppi

se sono > .

2

i non

PM(X) =

Metodo Ao

di Newton A1(-x0) (X

Ag(x An(x

A2(x Xn)

x0)(x xe)(X xy)

x0)(X

x0)(x xy) xz)

+

+ +

+ -

: - -

-

- -

- - ...

Per la differente

delle

tavola

il Az

di Ao utilizza

calcolo Ar An si .

,...,

, , aggiuntivi da interpolare

È punti

comodo

più se

Oss ci sono

: Si

Funzione consideri intervallo b]

[a modi

tratti

polinomiale un i

: e

a ,

modi Totali

b 2)

Zotel (m

Em

Em

a +

= =

s

+

......

-

interni

nodi

Dati modi

questi pomiano .

[zj

Ij 1]

25 5 0

, .....,

= 1

= m -

+

, ,

[z

Im 1]

Em

= +

m ,

Una di Pse

polinomiale tratti grado polimoi

funzione è

+(A) e

a un

una

Assegnato

Funzione Spline l'intervallo b]

[a Ents

modi

ed Zo E

i

: , , ....,

, di

dove P

grado

spline

funzione

D modi

ZoCZ1L

Qo SA)

Eme una e

: =

= ..... , Tale Che

zo modi

Ze interni

Emes all'intervallo

Em è

con :

,

....., . . . .

E 1)

,

P [zi [zm

Zi 2]

grado

polinomio

S() di te Em

i

per

è un exe

0

, ....,

+ = 1

m - +

, ,

2

CP b])

([a

-

s() e , Di di

definisa definita

P

funzione grado

spline funzione

una una o

,

En

Tratti derivabile passante

volte modi Zo E

per i

2

, ...,

,

, Tratti

polinomiole

funzione :

a

esempio E da

S2(x)

[xo bex

te) x3

S1() E a

x +

+ + c+x

s(x) = +

,

= bzx dz

t[xy azx

X2]

S2() S2(x) +

+ 2x +

+

=

,

-

↓

- cubica

spline

una se :

linS() Se(y

lins(x) SzEe)

=> =

· = +

x tyt

-

>x -

-

linskx licas')

· 32(t))

= 52'(xe)

=> =

xft

X X-

>xy

- >

- Sy(t) Sc"(xe)

S"(x)

lin s"(X) fin > =

-

· = xyt

Ex x >

- definita

funzione che

di funzione

p

polinomiale tratti tal

è

grado una per ogn

i

a

dove di

intervallo P

definita quado

è .

è sempre

essa essa

, lo

Il

Vettore deviazione Tra

vettore

deviazione valore di

rappresenta sconto il

: * dati assegnati

punti

AkX Vi

AX i 1

........,

+.....

P(x) ti i

do per

+ e

mei

= m

=

, .

Ym)

(P(Xz)

d

fora

Ha la -42

-41 P(Xz) P(Xm)

=

: , ...., -

,

Migliore quadrati

approssimazione ai minimi

yily

{(xi

Dati Calcolge

e polinomio

m il

punti y

Xi Ex

xi dei J

:

1

, ,

,

, ,

* di dei quachati

migliore nel

approssimazione ,

senso

Akx

Ao A

P(x) minimi

+ X +.... +

= , che della

Calcolare del

quadrato

modo il

significa Ao A sia 2

Ak in minimo nora

....,

,

deviazione

vettore =

. Ide .

(PCxi)-Yil Vettore

ak)

scao deviazione

d e

=

, ... Ym)

(p(x)

Co dm)

d da P(xm)

41 P(xz) 42

= ;

= ;

- - -

, ...., .

I della funzione

gradiente

il

di

valori ponendo contessa

calcolano o

Ak

00 a

as si

, ...,

(Ao Akl

s Ax . . . . ,

, -Slao Ak)

an

, ....,

AQo

(Ao ak)

US as a 0

= =

...

,

da V

+ Si

i facilmente

mostra che condizione

questa

-S (do af

Ax conduce al lineare

sistema

, ...., d

dak ....

ex

+ 4

x k

-

2 do

tiz i

:

1

i L

i =

=

E ti E xi xixi

i e O

Ax

..... =

I

i i

1 1

=

- x

- 2 Az Gi

..... in !

xi +

m K k K

+

m K

2

+ 2 ,

-

2 ti Ak P(X) Ax

do

.... + X

=

i

i 1

= -

La di

setta malrio

determinato

migliore da -

dei quachati

nel una 2x2

approssimazione sen