Analisi matematica 1- Appunti completi

Numeri naturali - cap 3

N = {0, 1, 2, 3, ...}

N.B. 0 ∈ N

Rappresentazione geometrica

su una retta

O = origine (= zero)

U = unità (= 1)

Verso di percorrenza: positivo

Le sequenze numeri m ∈ N si ottiene mettendo n volte il segmento OU in serie, (es. 3: 3OU)

Numero primo: se è divisibile per 1 e sé stesso

Operazioni (intese come funzioni)

• N × N → N;
• (n₁, n₂) ∈ N × N → n₁ + n₂ ∈ N
• la somma è interna a N

• N × N → N;
• (n₁, n₂) ∈ N × N → n₁ · n₂ ∈ N

Somatoria

Σ a_i

i ∈ I

I ∈ N: indice riferito ai indici

(a_i)_{i ∈ I}: famiglia finita di numeri reali al variare di i, in I

a₁ + a₂ + a₃ = Σ a_i

Ogni n ∈ N ha all'interno di N il suo successore.

I numeri naturali si ottengono a partire da 0 come successore. (Ogni n: predecessore +1)

Formulazione insiemistica

Principio di induzione: Se S ⊆ N che gode di 2 proprietà:

1. 0 ∈ S
2. ∀n ∈ S ⇒ n +1 ∈ S

⇒ allora S = N

N è l'unica sottoinsieme di N che gode delle 2 proprietà precedenti.

Formulazione in termini di predicati logici

∀n ∈ N, se P(n) un predicato che dipende da n, supponiamo che valgano 2 proprietà:

1. P(0) è vero per n = 0
2. ∀n ∈ N, P(n) ⇒ P(n +1)

La validità di P(n) garantisce la validità di P(n +1) (se il valore si propaga, il tutto si ricompone)

Tale formulazione è utilizzata per dimostrare teoremi validi ∀n ∈ N

Form.insicemntica ⇔ form.in termini di pred.o per un pred. P(n)

Dimostrazione: formulazione in termini del predicati si deduce da quella insiemistica

Se a_N data P(n) ∀n ∈ N che gode della proprietà 1°, 2°;definisco S = {n ∈ N | P(n) òò}

Vedo che P(u) ⟨0⟩ soddisfa la (1) ⇒ S ⇒ S soddisfa anche (2) ⇒ S = N

- Ogni numero razionale può essere scritto in potenza da 10 moltiplicato per un numero decimale compreso tra 0 e 9.

Rappresentazioni di un calcolatore

Esempio: ³/₄ = 0.75 = 0.10

- Una rappresentazione decimale si dice:

1. Limitata/Finita: se ha un numero finito di cifre dopo la virgola.

es. 18/23 = 1 + 5/10 + 7/10² + 0/10³ + 2/10⁴ + 8/10⁵

2. Illimitata: se ha un numero infinito di cifre dopo la virgola.

es. ²/₃ = 0.6666

Due numeri razionali possono sempre confrontare con la relazione d'ordine ≤

in conseguenza ℚ è totalmente ordinato ma non ben ordinato

non gode della proprietà del buon ordinamento

= vuol dire che esiste almeno un piccolo numero razionale negativo di zero

Da Q a R

non è possibile rappresentare fra elementi della realtà uno con i numeri razionali

Siccome ∇ x ∈ ℕ

x_n/ⁿ < 1, quindi x ≥ 1 è un maggiorante per A.

∀ x ∈ x è un maggiorante per a allora x ≥ 1 acquisisce due

premoli, dunque x ≥ m/(n+3) è un elemento di A, tale che x < m/(n+3).

∀ x ∈ m, x ∈ ℕ, n ∈ ℕ, x =_n/sup> a_{elemento specifico}

x_n/ⁿ < u

3x + x_n < u

m(1-x) > 3x

m > 3x/(1-x)

∀ x, y, ∃ n ∈ n ∈ m, m > 3x/(1-x)

unione A: ∃ x ∈ x ∈ m/

n+3 ha minoranti per x ≤ 0.

ESEMPIO

B = {x ∈ ℝ | x: 1 - 1/3ⁿ, n ∈ ℕ}

{x₁ x₂ x₃} x = 1

se n=1, x₁=1

se n=2, x₃=2, x₃=...

M(B) =

inf (B)

sup (B)

max (B)

B è inferiormente limitato: ∀x ∈ B, x > 0

0 è un minorante per B.

inf (B) = 0

1) propr. 1: perfezione

2) propr. 3: ∀ε > 0

equivalente ad affe

|x − ε ∉ ֒ : ← 0 ε ֒ ε : ε

∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ: -1/3ⁿ < ε

oppure

1/ε < 3ⁿ

n₂ = log₃(1 - 1/ε)

verificato per la propr. dell'inf

a = 1

b = log₃ (1/ε)

ASSIOMA DI COMPLETEZZA < ℝ

(azzurro/azzurro)

∀A ⊆ ℝ con A ≠ ∅

se A è superiormente limitato in ℝ → A ha ϭupA ∈ ℝ

se A è inferiormente limitato in ℝ → A ha ᵢnfA ∈ ℝ

Non significa che ogni insieme

abbia massimo o minimo.

Un insieme ha massimo/minimo ⇔ ϭupA/ᵢnfA ∈ A

Dimostrazione

sup A = +∞ se A non è superiormente limitato e A≠∅

• A non ha maggiorante in ℝ.
• Ha un sotto maggiorante in ℝ: +∞

sup A = +∞ é minimo dei maggioranti

inf A = -∞ se A non è inferiormente limitato e A≠∅

• A non ha minorante in ℝ.
• Ha minorante in ℝ = -∞ => siccome -∞ ∈ ℝ => inf A = -∞

sup(∅) = -∞

Siccome M(∅) =R il più piccolo dei maggioranti è -∞ => sup(∅) = -∞

inf(∅) = +∞

Siccome m(∅) = ℝ il più grande dei minoranti è +∞ => inf(∅) = +∞

Schema riassuntivo

ℝ è un insieme totalmente ordinato (posso sempre confrontare 2 elementi)

• Ogni sottoinsieme A⊆ℝ ha dei maggioranti:
• A≠∅, superiormente limitato in ℝ => sup A ∈ R (teorema della completezza)
• A≠∅, non superiormente limitato => sup A = +∞
• A=∅ => sup A = -∞

• L'insieme C è un CAMPO.
• La somma e il prodotto godono delle proprietà:
  1. commutativa
  2. associativa
  3. distributiva
• Esistono elementi neutri per + e ·
• Esistono elementi inversi per + e ·

Elemento neutro:

• + e lo 0 (zero)

z + 0 = z; 0 + z = z   ∀ z ∈ C

Opposto:

+ e -z

-z; (a) + -(-a)

Elemento neutro:

· e 1 (uno)

Reciproco:

∀ z ∈ C \ {0}, il reciproco

                ζ^-1 = ^a/_a²+b² - i· ^b/_a²+b²

Dimostrazione:

∀ z≠0, z = a + i·b

• z· ^a/_a²+b² - i· ^b/_a²+b² = 1

C.E. z≠0 (⇒ a≠0 oppure b≠0)

(a + i·b)·(^a/_a²+b² - i·^b/_a²+b²)=1

         ^a2/_a²+b² - i·^ab/_a²+b² + i·^ab/_a²+b² - b²  i²+1

          /&subsmall;a²+b²&subsmall; = 1