Analisi matematica 1- Appunti completi

Numeri naturali - cap 3

Naturali N = {0, 1, 2, 3, ... }

N.B. 0 ∈ N

Rappresentazione geometrica

Rappresentazione geometrica su una retta

0      1

• 0: origine (= zero)
• 1: unità (= 1)
• Verso di percorrenza: positivo
• Le sequenze vanno in N e N si studia ripetendo n volte il segmento OU nel verso 1 (es. 3: 3OU)

Numero primo: se è divisibile per 1 e sé stesso

Operazioni

Operazioni (intese come funzioni)

+ N x N → N₁     (n₁, n₂) ∈ N x N → n₁ + n₂ ∈ N

comp. addizione

somma

• N x N → N₁     (n₁, n₂) ∈ N x N → n₁ • n₂ ∈ N

comp. moltiplicazione

Somma

Somma

∑ a_i

i ∈ I

∑ a_i

I ⊆ N: indice finito ai indici

(a_i) ⊆ I: famiglia finita di numeri reali al variare di i in I

a₁ + a₂ + a₃ = ∑ a_i

Numeri naturali - cap 3

N = {0, 1, 2, 3, ... }

N.B. 0 ∈ N

Rappresentazione geometrica

OU - (= zero)(= 1)

Verso di percorrenza: positivo

Numero primo: se è divisibile per 1 e sé stesso

Operazioni intese come funzioni

Operazioni (intese come funzioni)

N x N → N

(n₁, n₂) ∈ N x N → n₁ + n₂ ∈ N

la somma è esterna a N

N x N → N

(n₁, n₂) ∈ N x N → n₁ · n₂ ∈ N

Somma

Somma

∑ a_i

i ∈ I

I ∈ N: indice finito a interi

(a_i): I → ℝ

famiglia finita di numeri reali al variare di i ∈ I

a₁ + a₂ + a₃ = ∑ a_i

Ogni k ∈ N ha all'interno di N il suo successore.

(I numeri naturali si ottengono a partire da somme successive.

(Ogni n = predecessore + 1)

Formulazione insiemistica

Principio di induzione: se S ⊆ N che gode di 2 proprietà:

1. 0 ∈ S;
2. ∀ n ∈ S ⇒ n + 1 ∈ S

allora S = N

N è l'unico sottoinsieme di N che gode delle 2 proprietà precedenti.

Formulazione in termini di predicati logici

2- Formulazione in termini di predicati logici -

∀ n ∈ N sia P(n) un predicato che dipende da n;

supponiamo che valgano 2 proprietà:

1. P(0) è vero per n=0
2. ∀ n ∈ N, P(n) ⇒ P(n + 1)

la validità di P(n) garantisce la validità di P(n + 1)

(Se è vero un predicato, è valido e ricorrente).

Tale formulazione è utilizzata per dimostrare teoremi validi ∀ n ∈ N

Formulazione insiemistica ⇔ Formulazione in termini di predicati logici

Dimostrazione della formulazione

Dimostrazione: formulazione in termini dei predicati si deduce da quella insiemistica

Sia data {P(n) | n ∈ N} che gode della proprietà 1^G = 2^G;

definisco S := { n ∈ N | P(n) è vero }

vedo che {P(n)}a ∈ U soddisfa 1^G e 2^G ⇒ S soddisfa anche 1 e 2.

S = N

Si usa il principio di induzione per dimostrare che P(k) è vera ∀ k ∈ ℕ

1. P(0) è vero per n = 0
2. P(n) ⟹ P(n + 1) ∀ n ∈ ℕ

Dimostrazione (1)

2ⁿ > n ∀ n ∈ ℕ

Secondo il principio di induzione:

Caso iniziale: se n = 0, P(0) è vera 2⁰ > 0 è vero 1 > 0

Passo induttivo: P(n) ⟹ P(n + 1) supponiamo che P(n) sia vera; dimostriamo P(n + 1) 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2ⁿ + 2ⁿ P(n): 2ⁿ ≥ n+1 2ⁿ > n, sapendo che 2ⁿ ≥ n ∀ n ∈ ℕ => 2ⁿ⁺¹ ≥ n+1

Facendo riferimento al principio di induzione

2ⁿ > n

Dimostrazione (2)

∀ x ∈ ℝ, x ≥ -1

Disuguaglianza di Bernoulli

(1 + x)ⁿ ≤ 1 + nx ∀ n ∈ ℕ

1. Verifica il caso iniziale: se n = 0 ⟹ 1 ≥ 1 = 1 (→ è vera)
2. Verifica il passo induttivo: suppongo P(n); (n + 1)x ≥ 1 + nx dimostro P(n + 1)

(1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n+1) x

↓

⇛

(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)(1+x)ⁿ,

supponiamo che (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx (P(n))

e sappiamo di poter dire 1+x ≥ 0 (poiché x ≥ -1)

⇒ (